Тема 3. Формулы сложения для тригонометрических функций

Тема 3. Формулы сложения для тригонометрических функций

В этой теме Вы ознакомитесь с формулами сложения для косинуса, синуса, тангенса и формулами приведения к острому углу, узнаете, чему равно значение .

09-03-01. Формулы сложения

Теория

1.1. Напомним значения тригонометрических функций для основных углов

	0				1	0	-1	0
	1				0	-1	0	1
	0				–	0	–	0
	–				0	–	0	–

В таблице приведены значения синуса и косинуса тех углов, при изображении которых на единичной окружности соответствующие абсциссы и ординаты находятся из несложных геометрических рассуждений.

Например, для точки единичной окружности (рисунок 1), задающей угол , ордината равна проекции отрезка на ось . Треугольник прямоугольный и равнобедренный, откуда . Так как ордината точки по определению есть синус угла , то приходим к равенству: .

1.2. Формулами сложения для косинуса называются формулы, выражающие косинусы углов и через косинусы и синусы углов и .

Докажем следующую основную теорему.

Теорема. Для любых значений и справедливо равенство

.                (1)

Доказательство. Рассмотрим рассуждения на конкретном примере. Пусть , . Изобразим на единичной окружности (рисунок 2) углы:

По определению синуса и косинуса получаем, что точка имеет координаты , точка имеет координаты и точка имеет координаты .

При повороте с центром на угол против хода часовой стрелки луч , расположенный под углом к лучу , перейдет в луч, расположенный под углом к лучу . Значит, при этом повороте точка переходит в точку .

Луч , расположенный под углом к лучу , при этом повороте перейдет в луч, расположенный под углом . Значит, при этом повороте точка переходит в точку . 

В результате получаем, что при рассмотренном повороте отрезок переходит в отрезок , откуда , .

По формуле для квадрата расстояния между двумя точками координатной плоскости имеем:

Учитывая, что

запишем равенство

и раскроем скобки

Так как

,

,

,

то полученное равенство можно записать в виде

Отсюда следует равенство

Так как мы рассматривали , , то

Поэтому

Аналогичные рассуждения можно провести при любых значениях и и тем самым доказать формулу

в общем случае.

1.3.* Рассмотрим произвольные углы и . Пусть угол получается некоторым поворотом с центром единичного отрезка оси в единичный отрезок (рисунок 3), а угол получается другим поворотом с центром единичного отрезка в единичный отрезок (рисунок 4). Сумму этих углов определяют следующим образом: сначала единичный отрезок переводят поворотом, задающим угол , в единичный отрезок , а затем единичный отрезок переводят поворотом, задающим угол , в единичный отрезок (рисунок 5). Оказывается, что при таком определении сумма углов и геометрически представляется в координатной плоскости как угол , а алгебраически соответствует повороту единичного отрезка на величину . Доказывать это мы не будем.

В частном случае, когда , сумма алгебраически равна . Это означает, что сумме соответствует угол , то есть отрезок оси . Геометрически сумма получается поворотом на угол единичного отрезка такого, что (рисунок 5).

Вернемся к доказательству теоремы 1.2, которое разбиралось на конкретном примере. Если теперь взять произвольные углы и , то можно провести в точности такие же рассуждения, как в предыдущем пункте, и тем самым доказать формулу

1.4. Рассмотрим формулу

Подставим вместо выражение . Получим

С учетом того, что , , последнее равенство запишется в виде

Для удобства вместо переменной подставим переменную и получим формулу косинуса разности двух углов

               (2)

Пример 1. Вычислим .

Представим угол в в виде разности . Тогда

1.5. Рассмотрим формулу

при . Тогда

Заменяя для удобства переменную на переменную , приходим к формуле:

               (3)

Переставим местами правую и левую части этой формулы:

Подставим вместо выражение , и получим

Заменяя для удобства переменную на переменную , приходим к формуле 

               (4)

Полученные формулы (3) и (4) являются основными формулами приведения.

1.6. Формулы сложения для синуса имеют следующий вид:

               (5)

               (6)

Докажем формулу (5). Из формулы (3) имеет

Тогда по формуле (2) получим

Так как по формуле (3) , а по формуле (4) , то получаем

что и требовалось доказать.

1.7. Пусть для углов и определены значения , и . Тогда имеется следующая формула сложения для тангенса:

Доказательство.

Контрольные вопросы

1. Чему равно значение:

а) ;         б) ;         в) ?

2. Какая функция называется четной?

3. Какая функция называется нечетной?

4. Как выглядит формула для ?

5. Как упростить выражение

6. Докажите формулу косинуса суммы двух углов.

7. Какие формулы приведения рассматривались в этом параграфе?

8. Какие формулы сложения для синуса Вы знаете?

9. Какие формулы сложения для тангенса Вы знаете?

Задачи и упражнения

1. Чему равно значение:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

2. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Докажите тождество:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

5. Докажите тождество:

а) ;

б) ;

в) .

6.* Запишите и докажите формулы сложения для котангенса.

7. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в) .

8.** Докажите, что произведение комплексных чисел и равно комплексному числу .

б) .

Ответы и указания