Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

XXVIII Ставропольская краевая открытая научная конференция школьников

секция «Математика»

Название работы: «Необыкновенные обыкновенные

аликвотные дроби»

Автор работы:

Место выполнения работы: ст. Григорополисская

МОУ СОШ № 2, 5 класс.

Научный руководитель: Колбасова

Лариса Александровна, учитель математики МОУ СОШ № 2

Ставрополь, 2017

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………..4 Основная часть:

2.1 Происхождение аликвотных дробей.………………………………………………4

2.2 Основные операции над аликвотными дробями…………………………………..6

2.3 Применение аликвотных дробей …………………………………...………………8

2.4. Решение задач на применение аликвотных дробей………………………………..

2.5 Решение олимпиадных задач ……………………………………………….………9

3.Заключение……………………………………………………………………………10

Библиографический список……………………………………………………………11

Приложение………………………………………………………………………………..

Введение

В этом году мы начали изучать обыкновенные дроби. Очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними. Я узнала, что первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot – «несколько»). Единичные дроби встречаются в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках. Мне захотелось больше узнать о таких дробях. Тема «Аликвотных дробей» является интересной темой для исследования дробей. Столкнувшись с этим термином впервые, понимаешь, почему в Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Задачи с использованием в решении аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Это прежде, всего, задачи, в которых требуется разделить какие либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Объект исследования: аликвотные дроби

Предмет исследования: основные операции с аликвотными дробями

Цель исследования: изучить аликвотные дроби.

Задачи исследования:

Узнать происхождение аликвотных дробей. Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями. Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

Практическая значимость исследования: с помощью аликвотных дробей можно решать сложные олимпиадные задачи.

Методы исследования:

Анализ математической литературы по данной теме; Отбор конкретных задач прикладного характера по данной теме

2.Основная часть.

2.1. Происхождение аликвотных дробей

Аликвота - (лат. aliquoties, «несколько раз;несколько частей»)

Аликвотная дробь - дробь, числитель которой равен единице.

Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности. Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.1

Аликвотные дроби в Древнем Египте

Аликвотные дроби появились раньше других дробей. В Древнем Египте математики “ настоящими “ считали только аликвотные дроби. Это дроби вида 1/n.

Египтяне все дроби записывали как суммы долей. Например: 8/15=1/3+1/5. Дроби 1/n ( где n - натуральные число ), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными ( от латинского aliguot - " несколько''). То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1. И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например,

1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20

Египтяне ставили иероглиф «Глаз Хора» - единица для измерения ёмкостей и объемов,

представляла собой дробь , так как согласно мифам глаз Хора ( в некоторых источниках Гора) был выбит, а затем восстановлен на . Каждая часть глаза соответствовала определённой дроби и была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом: + + + + + = .

Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того:

1. чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.

2. чтобы поделить основную меру объёма в Древнем Египте - «хекат». 2

Египетская дробь — в математике сумма нескольких аликвотных дробей вида 1/n. Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример : Ѕ +1/3+1/16.

Египетская дробь представляет собой положительное вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби.

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой(позиционная система исчисления)

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» - это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.3

2.2 Основные операции над аликвотными дробями

Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301.Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.

Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

1/(n*(n+1))=1/n -1/(n+1)

Т. е. аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых, являются последовательные числа равна их произведению.

Вернемся к формуле и докажем это равенство:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

(1/(n+1)) +(1/n*(n+1)) , приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

( n+1 )/((n+1)*n) после сокращения получаем: 1/n.

Итак, получается, что 1/n=1/n. Наша формула верна.

При разложении 1 на два слагаемых получается:

1=1/2+1/2 (Наша формула действует!).

Чтобы разложить 1 на 3 слагаемых, мы возьмем одну аликвотную дробь и по формуле разложим ее еще на две аликвотные дроби:

Ѕ=1/3+1/6 =Ѕ=1/3+1/6 => 1=1/2+1/3+1/6;

Чтобы разделить на 4 слагаемых, делим еще одну дробь на две аликвотные дроби:

1/3=1/4+1/12 => 1=1/2+1/4+1/12+1/6;

На 5 слагаемых: 1/6=1/7+1/42 => 1=1/2+1/4+1/12+1/7+1/42.

Открытые проблемы

Гипотеза Эрдёша-Страуса утверждает, что для всякого целого числа

n ≥ 2, существуют положительные целые x, y и z такие, что

4/n=1/x+ 1/y+ 1/z

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ≤ 1014, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N такое, что для всех n ≥ N существует разложение4

k/n=1/x+1/y+1/z

2.3.Применение аликвотных дробей

Есть известная восточная притча о том, что отец оставил сыновьям 17 верблюдов и велел разделить между собой: старшему половину, среднему - треть, младшему - девятую часть. Но 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. Сыновья обратились к мудрецу. Мудрец был знаком с дробями и смог помочь в этой затруднительной ситуации.

Он пустился на уловку. Мудрец прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда их стало 18. Разделив это число, как сказано в завещании, мудрец забрал своего верблюда обратно. Секрет в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1. Действительно, 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

На машиностроительных заводах есть очень увлекательная профессия, называется она - разметчик. Разметчик намечает на заготовке линии, по которым эту заготовку следует обрабатывать, чтобы придать ей необходимую форму.

Разметчику приходится решать интересные и подчас нелегкие геометрические задачи, производить арифметические расчеты и т. д.
"Понадобилось как-то распределить 7 одинаковых прямоугольных пластинок равными долями между 12 деталями. Принесли эти 7 пластинок разметчику и попросили его, если можно, разметить пластинки так, чтобы не пришлось дробить ни одной из них на очень мелкие части. Значит, простейшее решение - резать каждую пластинку на 12 равных частей - не годилось, так как при этом получалось много мелких долей. Как же быть?
Возможно ли деление данных пластинок на более крупные доли? Разметчик подумал, произвел какие-то арифметические расчеты с дробями и нашел все-таки самый экономный способ деления данных пластинок.
Впоследствии он легко дробил 5 пластинок для распределения их равными долями между шестью деталями, 13 пластинок для 12 деталей, 13 пластинок для 36 деталей, 26 для 21 и т. п.

Оказывается, разметчик представил дробь 7/12 в виде суммы единичных дробей 1/3 + 1/4. Значит, если из 7 данных пластинок 4 разрезать на три равные части каждую, то получим 12 третей, то есть по одной трети для каждой детали. Остальные 3 пластинки разрежем 4 равные части каждую, получим 12 четвертей, то есть по одной четверти для каждой детали.

Аналогично, используя представления дробей в виде суммы единичных дробей 5/6=1/2+1/3; 13/12=1/3+3/4=1/2+1/3+1/4; 13/36=1/4+1/9.

2.4 Решение задач на применение аликвотных дробей

Из математического сборника олимпиады, я нашла интересную задачу, требующую знание по аликвотным дробям.

Задача №1.Петя тратит 1/3 часть своего времени на занятия в школе, ј часть – на игру футбол, 1/5 – на прослушивание пластинок, 1/6 – на телевизор, 1/7 – на решение задач по математике. Можно ли так жить?

Задача № 2. Задача из папируса Ахмеса: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».
Разделить 7 хлебов между 8 людьми. Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так: 7/8= 1/2 +1/4 +1/8. Значит, каждому человеку нужно дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Задача № 3.Стас принёс в школу 5 яблок. Как разделить их поровну между 12 мальчиками, не разрезая ни одного из них на 12 части?

Решение. Каждый должен получить по яблока. Но , значит, 3 яблока нужно разделить на 4 части и 2 яблока на 6 частей.

Задача № 4. Представьте в виде суммы различных аликвотных дробей следующую дробь:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) ; б) ;

в) ; г) .

Задача № 5. В детский сад утром привели 90 детей. В 17.00 забрали из сада половину детей. В 18.00 забрали третью часть детей. В 19.00 забрали шестую часть детей. Сколько детей забирали из сада в разное время?

Решение. , 1/2=45 детей, 1/3=30 детей, 1/6=15 детей.

Ответ. В 17.00 из сада забрали 45 детей, в 18.00 – 30 детей, в 19.00 – 15 детей.

2.5 Решение олимпиадных задач.

Задача №1

Найди сумму
1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=?
Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100
И вычесть из нее сумму
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10
99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0.09
Задача № 2. Найти сумму:

1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90=

Ответ: 0,9

Задача № 3. Решите в натуральных числах уравнение

, где m > n.

Воспользуемся правилом разложения обыкновенной дроби на сумму двух аликвотных дробей. Умножим числитель и знаменатель аликвотной дроби на сумму двух взаимно простых делителей её знаменателя. Полученную дробь заменим суммой двух дробей, знаменатели которых равны знаменателю полученной дроби, а числители - слагаемым вышеупомянутой суммы. После сокращения дробей (или одной дроби) получится сумма аликвотных дробей.

Если знаменатель исходной дроби составное число, то количество возможных вариантов замены исходной аликвотной дроби суммой двух аликвотных дробей равно числу пар взаимно простых делителей знаменателя исходной дроби.

У знаменателя дроби 1/25 имеются две пары взаимно простых делителей: 1 и 5; 1 и 25. Следовательно, данная дробь может быть представлена суммой двух аликвотных дробей двумя способами.

Ответ: m = 650, n = 26 или m = 150, n = 30.

Знание аликвотных дробей мне потребуется и при решении заданий повышенного уровня сложности на экзамене в 11 классе, это задания № 19 из 2 части профильного ЕГЭ по математике, этому мне еще предстоит научиться, но я думаю, что эту вершину я смогу одолеть.

Заключение

Таким образом, при разработке данной темы, я узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т. д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т. д.

Я сделала вывод, что история обыкновенных дробей - это извилистая дорога со многими препятствиями и трудностями. Познакомилась с первыми дробями, которыми оперировали люди, с понятием аликвотная дробь, узнала новые для меня имена ученых, внесших свой вклад в развитие учения о дробях. Сама попробовала решать олимпиадные и занимательные задачи, самостоятельно подбирала примеры разложения обыкновенных дробей на аликвотные дроби, разбирала решение приведенных в текстах примеров и задач.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек. И я считаю, что на эти дроби в школьном курсе нужно обращать как можно больше внимания, ведь в учебниках даже нет понятия «аликвотные дроби».

В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

С Древних времен тема «Дроби» считалась одной из самых сложных, поэтому, когда человек попадал в трудное положение, говорили «Попал в дроби». Для того чтобы в жизни у нас все получалось, нужно знать и изучать дроби!

Библиографический список.

Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989. Левитас задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА,2007. , и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 1994. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008. Фарков олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005. Петерсон . 5класс. – М.:Ювента, 2009.

Приложение

Задачи из журнала «Квант». Решение задач.

Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

А) трёх слагаемых:

1 = .