Найдите все такие целые С, при которых дробь
является целым числом. Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 руб; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 руб; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 руб; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?
Число 56 разложите на два слагаемых так, чтобы одна третья первого слагаемого была равна одной четвертой второго.
Число a составляет 80% числа b, a число с оставляет 140% числа b. Найдите числа a, b, c, если известно, что c больше a на 72.
Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длинной 150 метров за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.
Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, которое делилось бы на число 33…3 (сто троек).
Два одинаковых катера, имеющие одинаковую скорость в стоящей воде, проходят по двум рекам одинаковое расстояние по течению и возвращаются обратно. В какой реке на эту поездку потребуется больше времени в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением?
Найдите цифры x и y, пятизначного числа, которое записывается 42x4y, если известно, что это число делится на 72.
Для нумерации страниц учебника потребовалось 411 цифр. Сколько страниц в учебнике?
Сколько бабушек и прабабушек было у ваших прабабушек и прадедушек?
№1
Основная идея состоит в том, чтобы отсеять ненужные решения. 
= 
+ 
= 1 + 
Данная сумма будет целым числом, если слагаемое 
тоже будет целым числом. Для этого достаточно, чтобы числитель 3 нацело делился на знаменатель С + 4.
Делители числа 3: ±1; ± 3.
Следовательно, рассмотрим четыре случая.
С + 4 = 1, С = 1 – 4, С = –3. | С + 4 = –1, С = –1 – 4, С = –5. | С + 4 = 3, С = 3 – 4, С = –1. | С + 4 = –3, С = –3 – 4, С = –7. |
Ответ. –7; –5; –3; –1.
№2
Решение.
1-й способ.
Вместе первый и второй мальчики купили пенал, 2 ластика и карандаш, заплатив 52 руб. за всю покупку. Третий мальчик заплатил 50 руб. за пенал, 2 тетради и карандаш. Значит, ластик дороже тетради на 1 руб. Если пенал и ластик стоят 40 руб., то пенал и тетрадь будут стоить на 1 руб. дешевле, то есть 39 руб.
2-й способ.
Введем обозначения: п – пенал, л – ластик, к – карандаш, т – тетрадь. По условию задачи составим систему уравнений:
{ | п + л = 40 | { | п = 40 - л |
л + к = 12 | к = 12 - л | ||
п + к + 2т = 50 | п + к + 2т = 50 |
Тогда 3-е уравнение можно записать в виде:
40 - л + 12 - л + 2т = 50,
2т - 2л = - 2,
л = т + 1.
Подставим в первое уравнение, получим:
п + (т + 1) = 40,
п + т = 39.
Ответ. Пенал и тетрадь стоят 39 рублей.
№3
Пусть 1-е слагаемое равно х. По условию сумма двух чисел равна 56, тогда 2-е слагаемое равно 56 – х. Известно, что одна третья 1-го слагаемого была равна одной четвертой 2-го. Следовательно, можно составить и решить уравнение 
х =
(56 – х), 
х = 14 – 
х, 
х + 
х = 14, 
х = 14 , х = 14 : 
, х = 24.
Итак, 1-е слагаемое равно 24, тогда 2-е слагаемое равно 56 – х = 56 – 24 =32.
Ответ. 56 = 24 + 32.
№4
По условию число a составляет 80% числа b, значит a=0,8b.
Число с оставляет 140% числа b, то есть c=1,4b.
Известно, что c больше a на 72, следовательно c = a + 72.
Отсюда 1,4b=0,8b + 72, 0,6b = 72, b =120.
a=0,8 ● 120=96
с=96+72=168
Ответ: a=96, b =120, с=168.
№5
Пусть S - длина поезда, V – скорость поезда.
Когда поезд проезжает мимо светофора, он проходит путь равный длине поезда, тогда скорость равна V = 
.
С другой стороны, проезжая мимо платформы длиной 150м, поезд проходит расстояние (150 + S) м за 15 с, следовательно, V = 
.
Так как поезд шел с одной и той же скоростью, то получим уравнение в виде пропорции 
=
.
15 S = 5(150 + S),
15 S = 750 + 5S,
15 S – 5S = 750,
10 S = 750,
S = 75.
Итак, длина поезда 75 метров.
Найдем его скорость по формуле V = 
.
V = 
м/с = 15 м/с=
км : 
ч= 54 км/ч
Ответ. Длина поезда 75м, скорость поезда 54 км/ч.
№6
= 3 ● 
, поэтому чтобы число an = 
делилось на 
, необходимо, чтобы an было кратно и 3, и 
.
Так как сумма цифр числа 
равна 
= n, то an кратно 3, если n нацело делится на 3. (*)
Выясним, при каких n число an = 
кратно числу a100 = 
.
Очевидно, что на a2 =11 делятся нацело числа вида 11, 1111, 111111, …, т. е. чтобы 11 укладывалось несколько раз в записи этого числа.
Аналогично на a3 =111 делятся нацело числа вида 
, 
, 
;
на a4 =1111 делятся нацело числа вида 
, 
, 
и т. д., где k – натуральное число.
Можно сделать вывод, что an делится на am тогда и только тогда, когда n делится на m или n= mk, где k – натуральное число.
Следовательно, an = 
будет кратно числу a100 = 
, если n кратно 100 или n=100 k, где k – натуральное число. (**)
Из утверждений (*) и (**) следует, что НОК (3; 100) = 300.
Ответ. Наименьшее число, записываемое одними единицами, которое делилось бы на число 33…3 (сто троек), имеет вид 
.
№ 7
Решение
Пусть скорость катеров v км/ч, скорость течения в первой реке v1 км/ч, а скорость течения во второй реке v2 км/ч. Пусть v1>v2 . Если обозначить расстояние, проходимое в одном направлении катерами, через S, то время, затраченное первым катером на весь путь,
t1=S/(v + v1)+S/(v – v1)=2Sv/(v2 – v12),
а время, затраченное вторым катером, t2=2Sv/(v2 – v22) .
Поскольку числители у обоих выражений одинаковы, то большей будет дробь с меньшим знаменателем, а так как знаменатели есть разности с равными уменьшаемыми, то знаменатель меньше у первой дроби, у которой вычитаемое v12 больше (по условию v1>v2 ).
Ответ. Больше времени потребуется на поездку в реке с более быстрым течением.
№8
_____
42х4у делится на 72 x, y -?
72=8Ч9
_____
72 делится на 9, то 42х4у кратно 9, тогда 4+2+х+4+у=(10+х+у) кратно 9.
Наибольшее значение (10+х+у) равно 28, поэтому 10+х+у = 27 или 10+х+у = 18, отсюда х+у=17 или х+у=8.
_____ __
72 делится на 4, тогда 42х4у, значит 4у делится на 4, значит у может принимать значения: 0,4,8.
Проверим для у=0:
х+у=17, х+у=8,
х=17. х=8.
17 – не является цифрой, Получаем число 42840,
следовательно не подходит. которое делится на 72
Проверим для у=4:
х+у=17, х+у=8,
х=13. х=4.
13 – не является цифрой, х≠у по условию, следовательно
следовательно не подходит. цифра 4 не подходит
Проверим для у=8:
х+у=17, х+у=8,
х=9. х=0.
Получаем число 42948, Получаем число 42048,
которое не делится на 72. которое делится на 72
Ответ: 42840 и 42048.
№9
Для нумерации первых 9-ти страниц учебника использованы 9 цифр.
Следующие 90 страниц занумерованы двузначными числами. Для этого потребовалось 90 · 2 = 180 цифр.
Остаток, приходящийся на трехзначные номера, составляет:
411 - (180+9) = 222 цифры.
Из этих цифр составлены 222:3 = 74 трехзначных номеров.
Итого число страниц в учебнике равно 9 + 90 + 74 = 173.
Ответ. В книге 173 страницы.
№10
У каждого человека может быть 4 прабабушки и 4 прадедушки. Всего их 4+4=8 человек. У каждого из них в свою очередь по 2 бабушки (а всего 8Ч2=16 бабушек) и по 4 прабабушки (т. е. 8Ч4=32 прабабушки).
32+16=48
Ответ: У моих прабабушек и прадедушек 16 бабушек и 32 прабабушки.
