Можно получить ещё одно важное свойство функции Для этого рассмотрим параллелограмм со сторонами и острым углом

Диагональделит параллелограмм на два равных треугольника

Аналогично диагональ делит параллелограмм на два других равных треугольника

Следовательно,

Отсюда вытекает важное свойство функции

Уже на этой стадии получаем ряд интересных общих результатов как для функции так и для связей между элементами треугольника, выраженных через эту универсальную функцию:

А.                из общих соображений о площади любого треугольникаи (3.2)

B.                ,

C.                

и важные результаты cдля прямоугольного треугольника:

D.                

       

где – радиус описанной окружности.

7.Здесь необходимо сделать важное замечание. Будет ошибкой считать соотношение

непосредственно вытекающее из формул D.,  определением функции Эта универсальная функция пока не определена. Именно нахождение явного выражения этой функции и есть наша основная задача, которая будет последовательно решаться. Пока известны лишь свойства А. и В. этой функции, а также выражение с её помощью связей между собой некоторых элементов любого треугольника. Именно элементы выражаются через неё, а не она определяется через них.

Ещё раз вспомним о прямоугольном треугольнике.

       

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Выполним одно дополнительное построение – опустим перпендикуляр на гипотенузу из вершины прямого угла. Очевидно, что все образовавшиеся прямоугольные треугольники подобны. Запишем для каждого прямоугольного треугольника выражение для его площади в соответствии с формулой (5.4) и с учетом того, что во всех случаях угол – прямой, поэтому

Очевидно, что по свойству аддитивности площади

+

Подставляя в эту формулу соответствующие выражения и выполнив необходимое сокращение, получимутверждение теоремы Пифагора

При таком подходе теорема Пифагора является не следствием ортогональности метрики, а следствием определения площади и её свойства аддитивности.

Воспользуемся соотношением D.

Или:

Отсюда можно получить явное выражение для значений нашей главной функции для второго угла, дополняющего первый до прямого:

Учитывая очевидную неотрицательность нашей функции в интервале , выбираем (при значениях аргумента в этом интервале) перед корнем знак плюс.

Для завершения обсуждения прямоугольного треугольника запишем основные соотношения между его сторонами.

Известна гипотенуза и острый угол :

, 

Известен один катет и противолежащий острый угол б:

Известен один катет и прилежащий острый угол :

Бросается в глаза то, что выражения получаются относительно громоздкие, и это наводит на мысль об упрощении формул. Как это можно сделать? Если сохранить только одну функцию, упростить формулы нельзя. Выход видится в том, чтобы ввести дополнительные функции и определенную связь между ними с тем, чтобы достичь максимальной простоты в формулах. Меняет ли это что-нибудь в принципе? Абсолютно ничего. На первый план выходит вопрос простоты формул.

Введем новые функции следующим образом.

В этих обозначениях:

….  (9.1)

Есть очень большое желание сразу назвать эти новые функции теми именами, какие за ними будут закреплены позднее – sin, cos, tg, ctg, но мы наберемся терпения для того, чтобы эти имена не мешали общим рассуждениям. В известном смысле последуем крылатой мудрости –Nominasuntodiosa. Ведь до сих пор про основную функциюфактически не известно ничего, кроме того, что она и ее «родственники» очень полезны для выражения связей между элементами треугольников. Но совершенно не понятно, ни как находить их значения при любых значениях аргумента, ни какие у этих функций свойства… Поэтому об этом и другом немного позднее.

Теперь вернемся к п.3.

Треугольник задан двумя сторонами и углом, заключенным между ними - В этом случае для определения неизвестных элементов цепочка равенств оказывается беспомощной, и нужно искать иной путь решения задачи.

Воспользуемся снова методом размерностей. Неизвестная сторона должна иметь размерность длины. Но в нашем случае есть два равноправных элемента, имеющих размерность длины – стороны Подход с использованием размерности даёт непосредственный ответ:

Равноправность известных сторон накладывает ещё одно ограничение на первый аргумент неизвестной функции . Выражение не симметрично по , поэтому оно не может быть аргументом функции, определяющей величину третьей стороны. Но из общих соображений следует, что от отношения сторон обязательно должно зависеть значение третьей стороны. Выражением, удовлетворяющим требованиям симметрии и учитывающим отношение известных сторон, является, как и в п.3, выражение

Итак, запишем окончательно:

Явное выражение функции пока не определено. Важно, что это должна быть универсальная функция, не зависящая от конкретного вида треугольника. В частности, она может быть применена и к прямоугольному треугольнику. Но для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, которую мы запишем в двух видах – выражение гипотенузы через известные катеты и выражение одного катетов через известный другой и гипотенузу:

, где и

Эти выражения позволяют сделать вывод относительно функции

=

Тогда выражение неизвестной третьей стороны через известные две и угол между ними можно записать:

Очевидно сходство с известной «теоремой косинусов».Аналогичное сходство и «теоремой синусов» можно увидеть и цепочке равенств, полученных в п.3.:

В очередной раз напомним, что до сих пор ничего существенного о самих функцияхи не известно. Названия «теорема синусов», «теорема косинусов» пока совершенно условны.