111
Сердюков нефтегазовой геологии и геофизики,
3, просп. Коптюга, 630090, Новосибирск, Россия
тел. +7(383)330 69 71
e-mail: *****@***org
Использование метода разделения переменных при численной реализации миграции в обратном времени
Аннотация. Работа посвящена численному методу реализации построения изображений с помощью миграции в обратном времени. Предложено вычислять корреляцию волновых полей в прямом и обращенном времени на основе применения метода разделения переменных Фурье ([3]). При этом решения соответствующих задач вычисления волновых полей ищутся в виде рядов по собственным функциям соответствующей краевой задачи для волнового уравнения. Привлекательным моментом данного подхода является возможность многократного использования одних и тех же собственных функций для различных расстановок источников и приемников. Приводятся результаты численных экспериментов для одномерного и двумерного случаев (однородная вмещающая среда).
Описание метода
Рассмотрим пространство, заполненное акустической средой, скорость распространения волн в которой представляется в виде суммы 
=
, где 
предполагается известной (гладкая составляющая или скоростная модель во вмещающей среде), а 
некоторое «малое» возмущение, подлежащее определению (отражающий/рассеивающий/дифрагирующий объект). Предполагается, что в точке 
расположен приёмник, регистрирующий волновое поле 
(0<t<T), созданное действием источника и являющееся решением следующей начально-краевой задачи:
(1)
(2)
(3)
То есть 
. Заметим, что наряду с условием свободной границы z=0 мы используем условие Дирихле на границе 
, предполагая, что она удалена на достаточное расстояние с тем, чтобы избежать возвращения отраженных от нее волн в приемник до момента времени T. Именно введение такой границы позволяет применить обобщенный ряд Фурье для представления решения.
Рассмотрим теперь задачу:
(4)
где w(t) есть именно та функция, которая регистрируется приемником. Краевые условия остаются прежними (2), а начальные условия следующие:
(5)
Решение этой задачи есть данных 
зарегистрированных в приёмнике, во вмещающую среду в обратном времени. Построение изображения с помощью миграции в обратном времени состоит в вычислении в каждой точке целевой области интеграла (см. [1] или гл. 9 кн. [2]):
(6)
где 
есть решение задачи (4), (2), (5), а 
является волновым полем, созданным во вмещающей среде (скорость распространения 
) тем же самым источником.
Волновые поля 
и 
будем искать методом разделения переменных (гл.5 кн. [3]) в виде:
(7)
где 
собственные функции соответствующего дифференциального оператора по пространственным переменным с краевыми условиями (2). Требуя выполнения условий (3), (5), находим 
и 
. После подстановки рядов (7) в (6), преобразуя далее полученное выражение, получаем формулу для интеграла:
(8)
где 
а множители 
есть:
(9)
корни из модулей собственных значений соответствующих дифференциальных операторов, а 
преобразование Фурье функции 
.
Численные эксперименты
Рассмотрим в качестве примера одномерный случай однородной вмещающей среды с единичной скоростью распространения волн. Синтетические данные 
для точечного рассеивающего объекта находящегося на глубине 
=1.4. Целевая область (область построения изображений) взята интервалом [0, 1.8], в то время как область 
, для которой решение ищется в виде обобщенного ряда Фурье, представляет собой отрезок [0, 2.0]. В качестве зондирующего импульса 
взят импульс Рикера с доминирующей частотой 30Hz. Остальные параметры выбраны следующим образом: 
Верхняя граница временного интервала 
взята так, отраженная от границы 
волна не успела вернуться до приёмника. Результат восстановления объекта 
показан на рис.1:
Суммирование в (9) велось по всем парам 
и 
от значения 
=40 до 
=250. Соответсnвующий интервал собственных значений для одномерного оператора Лапласа содержит в себе значимую часть спектра импульса Рикера.
На рис. 3 изображена матрица 
при 
, определяемая формулами (9). Видно, что матрица обладает диагональным преобладанием. Поэтому представляется разумным вести суммирование в (8) не по всем элементам, а только по главным диагоналям. В рассматриваемом здесь одномерном случае достаточно вести суммирование всего лишь по трём главным диагоналям. В качестве иллюстрации на Рис.2 приведены вычисления изображения при суммировании лишь по трём главным диагоналям:
Рис.2 Результат восстановление по трём главным диагоналям.
Рассмотрим выражение, входящее в формулу (9):
(10)
Оказывается, что данное выражение представляет собой волну, бегущую по отрезку от 0 к 
со скоростью Ѕ. Для построения изображения эту волну надо умножить на данные 
и проинтегрировать по времени. Это явление называется иногда «взрывом границы».
Заключение
Заметим, что в соответствии с нашими численными экспериментами, матрица 
имеет диагональное преобладание и в двумерном и трехмерном случаях. Поэтому суммирование в (9) можно производить лишь по элементам нескольких главных диагоналей. Уже в двумерном случае собственных значений получается существенно больше и то, что можно брать не все элементы суммы оказывает существенное влияние на время работы программы реализующей построение изображения.
Литература
[1] A. Tarantola Inversion of seismic reflection data in the acoustic approximation //
Geophysics. - 1986. - Vol. 51 .-№ 10. – P.1893-1903.
[2] Jon F. Claerbout, James L. Black Basic Earth Imaging - 2007, chapter 9
[3] Владимиров математической физики. –М.:Наука, 1972. гл. 5
