УДК 517.5г


Днепропетровский национальный университет

ОБОБЩЕНИЕ  НЕРАВЕНСТВА  А. А. ЛИГУНА НА ПРОСТРАНСТВА Lq,

  Отримано узагальнення на ненормовані  Lq - простори  відомої  нерівності для похідних періодичних функцій.

  Символом G обозначим отрезок, действительную ось R, или единичную окружность , реализованную в виде отрезка с отождествленными концами. Будем рассматривать пространства , , измеримых функций , таких что ,  где

 

и, если, , то

  .

Через  обозначим пространство функций , таких что локально абсолютно непрерывна и . Положим и через обозначим множество функций , таких, что . Ясно что, если , то   и . Вместо будем писать . Символом обозначим -й – периодический интеграл со средним значением на периоде равным нулю от функции .

Для функций хорошо известно и имеет много интересных приложений следующее неравенство [1]

  ,  q,  k, r k < r.  (1) 

В данной работе доказано,  что (1) сохраняет силу и  для , если r и k  удовлетворяют неравенству

  .  (2)

Условие  (2)  выполнено,  в частности,  в  следующих  случаях:  1) r 2, k = r–1;  2) r 3, k = r–2.

  Нам потребуются некоторые вспомогательные сведения. Будем говорить, что функция является функцией сравнения для функции , если , и из условия , ,, вытекает неравенство (если указанные производные существуют) .

  Пусть q, , а функция удовлетворяет условиям почти всюду на (0, 1) ,  и

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

    (3)

Через обозначим класс функций , таких что почти всюду на (0, 1), для которых является функцией сравнения.

Лемма А [2]. Пусть q,, а функция удовлетворяет описанным выше условиям. Тогда для любой функции выполнено неравенство

  .  (4)

  Для функции символом [0, b–a] обозначим ее убывающую перестановку  [3]. Положим  и пусть – сужение сплайна на [б, б + р/л], где б – нуль .

  Лемма 1. Пусть щ = р, и для чисел k, r , k < r, выполнено условие (2). Тогда функция , определенная на [0,1], удовлетворяет условиям леммы A, т. е. , t(0, 1), и  выполнено  неравенство  (3)  с  г =  =(r–k)/ (r–k+1) .

  Доказательство. Выполнение соотношений , t(0, 1), очевидно. Докажем неравенство (3). Для этого заметим, что

 

и

 

  =

Из этих равенств видно, что для данной функции ц условие (3) совпадает с условием (2). Лемма доказана.

  Теорема 1. Пусть k, r , k < r, удовлетворяют неравенству (2).  Пусть  далее , а  числа  a, b  таковы,  что  x(k)(a) = x(k) (b) = 0,  и | x(k)(t)| > 0  для  t(a, b).  Тогда  для  любого  q (0,1)

  .  (5)

  Доказательство. Фиксируем , и числа a и b, удовлетворяющие условиям теоремы. Так как неравенство (5) однородно, то можно считать, что

  = 1.  (6)

Тогда , и  (5)  можно  переписать  в  виде

  ,  (7)

причем, легко проверить, что правая часть (7) не зависит от щ. Заметим далее, что и левая  часть  неравенства  (7)  инвариантна  относительно  преобразования  xг(t):=

= г–r x(гt).  Поэтому мы можем считать, что  b – a = 1.

  Выберем  л из условия

    (8)

и рассмотрим два случая:  1) 1= b–a р / л;  2) 1= b–a > р / л. 

  Пусть сначала л р. Заметим, что из условия (8) ввиду теоремы сравнения Колмогорова [4] вытекает неравенство

  .  (9)

Пусть б – нуль сплайна . Переходя, если нужно, к сдвигу функции x, можно считать, что [a, b] [б, б + р/л]. Тогда из (9) и условий x(k)(a) = x(k)(b) = 0 вследствие  теоремы сравнения Колмогорова  вытекает неравенство  |x(k)(t)|   |(t)|,  t(a, b). Поэтому для любого q > 0

  .  (10)

Выберем  c [a, b] так, чтобы

  .  (11)

Ввиду (10) и (11) существует y [0, р/(2л)], такое что

  .

Отсюда, в силу теоремы сравнения Колмогорова, вытекают  неравенства  c – a y,  b – c y. Кроме того,  для любого y [0, р/(2л)]  выполнено неравенство

 

(ввиду монотонного возрастания по y левой части последнего неравенства). Поэтому

 

 

  .

Следовательно,

  .  (12)

Из  (8) и (12)  выводим

  .

Отсюда,  ввиду  (6),  следует (5)  в случае л р.

  Пусть теперь л > р. Так как  b – a = 1 согласно предположению, то, переходя, если нужно, к сдвигу функции x,  можно считать, что a=0, b=1. Вместо неравенства (7) докажем в рассматриваемом случае более сильное неравенство

  ,  (13)

где в – нуль сплайна , причем нетрудно видеть, что правая часть (13) не зависит от щ. Тот факт, что неравенство (13) сильнее, чем (7),  вытекает из неравенства Колмогорова

 

(здесь  мы  учли  (6)). Пусть – сужение x на [0,1], а – сужение на  [в, в+р/щ]. Перепишем  (13)  в виде

  .

Пусть  – сужение на  [б, б+р/л], где б – нуль сплайна . Ввиду неравенства (9) и теоремы сравнения Колмогорова сплайн является функцией  сравнения для . Тогда  согласно  теореме  о  производной перестановки [3, предложение 1.3.2], функция , определенная на [0, р/л], является функцией сравнения для перестановки ,  определенной  на  [0, 1]. Ввиду  предположения л > р. Положим щ = р. Тогда щ < л и, следовательно, функция тем более будет функцией сравнения для . Переходя к возрастающим перестановкам и , получим функции , удовлетворяющие условиям леммы А с г = (r–k)/ (r–k+1) (если принять во внимание лемму 1). По лемме А имеет место неравенство (4), которое, в данном случае, равносильно неравенству (13). Тем самым неравенство (7) и теорема 1  доказаны. 

  Теорема 2. Пусть k, r , k < r, удовлетворяют  неравенству (2).  Тогда  для  любой  функции и  произвольного  q [0,1)

  .  (14) 

  Неравенство (14) точное и обращается в равенство для функций вида x(t) =

= aцr(nt+b), a, b R,  nN.

  Доказательство. Так как для любой функции (T) имеет место равенство [5, с. 188], то достаточно доказать (14) для q (0,1).

  Фиксируем и  пусть c –  произвольный нуль производной . Рассмотрим  совокупность  всех  отрезков  [a j, b j] [c, c+2р],  таких,  что x(k)(a j) = = x(k) (b j) = 0,  | x(k)(t)| > 0 ,  t(a j, b j).  Ясно, что

  ,  .  (15)

Оценим интегралы в (15) при помощи неравенства (5). Положим 

  .

Заметим, что . Теперь из (15) выводим оценку

  ,

которая  равносильна неравенству (14). Точность неравенства (14) очевидна.  Теорема доказана.

  Через S n,  r  обозначим множество 2р-периодических сплайнов порядка r дефекта 1 с узлами в точках  iр/n,  i Z.

  Теорема 3. Пусть n, k, r, k < r, и k, r удовлетворяют  неравенству (2).  Тогда  для  любого сплайна s S n,  r  и  произвольного  q [0,1)

  .  (16) 

  Неравенство  (16)  точное  и  обращается  в  равенство  для  сплайнов s(t) =  = aцn, r(t),  a R.

  Неравенство  (16)  в  случае  q ≥ 1 доказано ранее для всех  k, r , k < r,  [6] (q = ∞)  и  [7]  ( q [1, ∞) ) .

  Теорема  3  выводится  из  теоремы  2  точно  так  же,  как  и  в случае q ≥ 1  [8, теорема 8.2.1].

Библиографические ссылки

Ligun A. A. Inequalities for upper bounds of functionals. // Analysis Math.– 1976.–2, №1.– C.11 – 40. Кофанов для производных в пространствах Lp // Укр. мат. журн. – 2008. – принято в печать. Корнейчук свойства полиномов и сплайнов / , , . – К., 1992, – 304 с. Колмогоров труды. Математика, механика. – М., 1985, – 470 с., С 252 – 263. Харди / , ,  Г. Полиа. – М., 1948, – 456 с. Тихомиров множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений. // Успехи мат. наук.– 1960.–15, №3.– C.81– 120. Лигун неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы. // Мат. заметки.– 1976.– 19, №6.– C.913 – 926. Бабенко для производных и их приложения / , , .– К., 2003.–592 с.

Надійшла до редколегії 13.03.08


© 2008