Задачи для школьников

Четвертый класс

4.1. На листе бумаги нарисованы квадрат и прямоугольник. Квадрат имеет площадь25

см2. Одна из сторон прямоугольника на 1 см больше стороны квадрата, а другая сторона на 2

см меньше стороны квадрата. Найдите площадь этого прямоугольника.

Ответ. Не может.

Решение. Сторона квадрата равна5см. Поэтому стороны прямоугольника равны6см и

3 см, а его площадь равна 18 см2.

Восстановите пример на сложение, где цифры слагаемых заменены звездочками:

+ ** = 197.

Ответ. 99+98=197.

4.3. Разрежьте фигурку	на четыре равных клетчатых фигурки.

Ответ.    .

4.4. Петя сказал, что у него братьев и сестер поровну, а Маша сказала, что у нее братьев

три раза больше, чем сестер. Сколько детей в семье, если Маша и Петя – брат и сестра? Ответ. 5детей– 3мальчика и2девочки.

Пятый класс

5.1. Поставьте вместо звездочек знаки арифметических действий так, чтобы получилосьверное равенство: 1*2*3*4*5=6 .

Ответ. 1+2⋅3+4-5=6.

5.2. Поросята Ниф-Ниф и Нуф-Нуф бежали от Волка к домику Наф-Нафа. Если быпоросята не убегали, а стояли на месте, Волк добежал бы до них за 4 минуты. Поросятам бежать до домика Наф-Нафа 6 минут. Волк бежит в 2 раза быстрее поросят. Успеют ли поросята добежать до домика Наф-Нафа?

Ответ. Успеют.

Решение. От места расположения поросят до их дома волку бежать6:2=3минуты, т.е.

всего ему бежать 4+3=7 минут.

5.3. Разрежьте квадрат на семь треугольников, среди которых есть шесть одинаковых.

Решение. Один из возможных способов разрезания приведен на рисунке.

5.4. Джузеппе делает одного Буратино за1час45минут. После каждых трех сделанныхБуратино Джузеппе вынужден отдыхать полчаса. Папа Карло принес Джузеппе заказ на 10

Буратино. Во сколько Карло может прийти за выполненным заказом, если сам заказ он принес в 18 часов 30 минут?

Ответ. 13:30следующего дня.

Решение. Один Буратино делается за1час45минут, то есть за105минут. Тогда10

Буратино делаются за 1050 минут. При этом Джузеппе вынужден будет отдохнуть 3 раза по

30 минут, то есть 90 минут. Итого на весь заказ уйдет 1140 минут. Это составляет ровно 19

часов. Если он начинает в 18:30, то заканчивает в 13:30.

Шестой класс

6.1. Петя, Вася и Толя–три брата. Известно, что Вася в2раза старше Пети, Толя в5

раз старше Пети, и Вася на 6 лет младше Толи. Сколько лет каждому из братьев?

Ответ. Пете2года, Васе4года, Толе10лет.

Решение. Разница в возрасте Толи и Васи составляет3возраста Пети. Значит, Пете2

года. Тогда Васе 4 года, а Толе – 10 лет.

6.2. Запишите числа1, 2, 3, 4, 6, 8, 9в строку так, чтобы из любых двух соседних чиселодно делилось бы на другое.

Ответ. Например: 9, 3, 6, 2, 4, 8, 1.

6.3. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду и лжецы, которые всегдалгут. Встретились три островитянина: Петя, Вася и Толя. Петя сказал: "Мы все лжецы". Вася на это ему ответил: "Нет, только ты". Может ли Толя быть лжецом?

Ответ. Не может.

Решение. Если Толя лжец, то и Вася лжец. Но тогда Петя не может быть ни лжецом

(так как он тогда бы сказал правду), ни рыцарем (так как он тогда бы солгал). Значит, Толя не может быть лжецом.

6.4. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на три равные части(разрезать можнотолько по границам клеток).

Решение. Один из возможных способов разрезания приведен на рисунке.

6.5. Перед распродажей ложка и вилка стоили одинаково. На распродаже цену ложкиуменьшили на 1 рубль, а цену вилки – в 10 раз. Могло ли случиться, что ложка на распродаже продавалась дешевле вилки?

Ответ. Могло.

Решение. Пусть перед распродажей ложка и вилка стоили по1рублю10копеек. Тогдана распродаже цена ложки была 10 копеек, а вилки – 11 копеек..

Седьмой класс

Гвоздь, три винта и два шурупа вместе весят 24 грамма; два гвоздя, четыре шурупа

пять винтов вместе весят 44 грамма. Сколько весит винт?

Ответ. 4грамма.

Решение. Из первого условия следует, что два гвоздя, четыре шурупа и шесть винтоввместе весят 48 граммов. Значит, винт весит винт 48 – 44 = 4 грамма.

7.2. Вставьте в окошки цифры1, 2, 3,…, 9,используя каждую ровно один раз, чтобы

получились верные неравенства: .

Решение. Например,16789.5 4 3 2

7.3. Разрежьте квадрат3×3на две части и квадрат4×4на две части так, чтобы изполученных четырех кусков можно было сложить квадрат.

Решение. Два возможных варианта показаны на рисунке.

7.4. В новогоднюю ночь на подоконнике стояли в ряд(слева направо)фикус, ирис икактус. Каждое утро Маша, вытирая пыль, меняет местами цветок справа и цветок в центре.

Днем Таня, поливая цветы, меняет местами тот, что в центре, с тем, что слева. В каком порядке будут стоять цветы через 365 дней в следующую новогоднюю ночь?

Ответ. Ирис-кактус-фикус.

Решение. Проследим закономерности, по которым меняется набор цветов на балконе:

ФИК→ФКИ→КФИ→КИФ→ИКФ→ИФК→КИФ. Далее всё будет повторяться и цветы будут возвращаться на исходные места каждые трое суток. Это значит, что через 363 дня порядок будет тот же, а ещё через двое суток (через четыре перестановки) порядок будет таким: ирис-кактус-фикус.

7.5. У Пети в4карманах лежит несколько монет достоинствами в2, 5и10рублей. В

трёх карманах денег поровну, а в четвёртом – вдвое больше, чем в третьем. Могут ли ровно 7

из Петиных монет быть двухрублёвыми?

Ответ. Не могут.

Решение. Общая сумма денег у Пети впятеро больше, чем сумма, лежащая в первомкармане, то есть кратна 5. Если бы у него было ровно 7 двухрублёвых монет, общая сумма денег не делилась бы на 5, так как достоинства остальных его монет делятся на 5.

Восьмой класс

8.1. Петя считает пальцы на левой руке от большого пальца до мизинца и обратно отмизинца до большого. Каждый следующий счет приходится на другой палец. На какой палец придется число 2016? (Счет: 1 – большой, 2 – указательный, 3 – средний, 4 – безымянный, 5

– мизинец, 6 – безымянный, 7 – средний и т. д.)?

Ответ. Указательный.

Решение. На большой палец приходится счет1, 9, 17, 25, …, 2009так как2009 =

8⋅251+1.

8.2. Докажите, что еслиa+2b=3cиb+2c=3a, тоc+2a=3b.

Решение. Сложив два данных равенства, получимa+3b+2c=3c+3a, откудаc+2a=3b.

Замечание. Решая систему методом подстановки, получим:a=b=c, откуда такжеследует доказываемое равенство.

8.3. На сторонахАВиADквадратаABCDвне него построены равносторонниетреугольники АВK и ADM. Докажите, что треугольник KСМ также равносторонний.

B	C
K
A	D
M
Решение.  Заметим,	что  ∠KBC= ∠CDM= 90° + 60° =150°.  Равнобедренные
треугольники KBC и CDM  равны по двум сторонам и углу между ними, а значит, СK=СМ.
∠BCK = ∠DCM =180° -150°	: 2 =15° ,  тогда	∠KCM =90° -15° -15° =60°.Треугольник
(	)

KCMявляется равнобедренным с углом60°,т. е.равносторонни

B        C

K

A

D

M

8.4. В формулу линейной функцииy=kx+bвместо буквkиbвпишите числа от1до10(каждое по одному разу) так, чтобы получилось пять функций, графики которых проходят через одну точку.

Решение.  Например, графики  функцийy=x+10,y=2x+9,y=3x+8,y=4x+7,y=5x+6,

проходят через точку (1,11).

8.5. Грани игрального кубика занумерованы числами от1до6.Петя сложил из восьмиигральных кубиков куб вдвое большего размера так, что числа на прилегающих друг к другу гранях кубиков одинаковы. Может ли сумма всех 24 чисел, написанных на поверхности сложенного Петей куба, равняться 99?

Ответ. Не может.

Решение.  Сумма  чисел, записанных  на  гранях  всех  игральных  кубиков  равна

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ⋅ 8 , то есть четному числу. Так как числа на прилегающих друг к другу гранях кубиков одинаковы, то они все числа внутри большого куба разбиваются на пары одинаковых. То есть сумма всех чисел внутри большого куба четна. Значит, и сумма всех чисел на поверхности большого куба также должна быть четной (как разность четных чисел)

и не может равняться 99.

Девятый класс

9.1. На прямой через равные промежутки поставили сто точек, и они заняли отрезокдлины a. Затем на прямой через такие же промежутки поставили десять тысяч точек, и они заняли отрезок длины b. Во сколько раз b больше a?

Ответ. В101раз.

Решение. Обозначим длину промежутка заx. Сто тогда делят отрезок длиныaна99

промежутков, а 10000 точек делят отрезок длины b на 9999 промежутков. Поэтому a=99x, b=9999xиb=101a.

9.2. Среднее арифметическое двух чисел составляет60%от большего из них. Восколько раз среднее арифметическое этих чисел больше меньшего числа?

Ответ. В3раза.

Решение. Обозначим наши числа черезa(меньшее число)и(большее число)b. Тогда

по условию	a + b	= 0,6b⇔b= 5a. Тогда	a + b	= 3a.
2	2

9.3. Продавец на рынке хочет разложить кучку из41ореха на41кучки по одномуореху. Ему разрешается разделить любую кучку на две, но, если при этом получились две неодинаковые кучки, он должен заплатить хозяину рынка 1 рубль. Как ему выполнить свою задачу, заплатив всего 2 рубля?

Решение. Например, продавец может сделать так. Сначала он разделит кучку из41

ореха на две кучки: из 1 ореха и из 40 орехов. Затем кучку из 40 орехов он разделит на две кучки: из 32 орехов и из 8 орехов. За эти операции продавец заплатит 2 рубля. Дальше он бесплатно может делить оставшиеся кучки пополам, пока не получатся кучки из 1 ореха.

9.4. В прямоугольный треугольник с катетами5см и12см вписана полуокружность,

как показано на рисунке. Найдите радиус полуокружности.

Ответ. 313 .

Решение. Обозначим вершины треугольника и проведем радиус в точку касанияполуокружности со стороной АВ. АС=АК=5 как касательные, проведенные из одной точки,

тогда КВ=13–5=8. Угол ОКВ равен 90°, тогда треугольники АСВ и ОКВ подобны по двум

углам.	Пусть	СО=ОК=х  .Из	подобия	треугольников	следует	,  что
OB	=	KB	⇒	12 - x	=	8	⇒ 3 x=10 ⇒x= 3	1	.
AB	CB	13	12	3
А
К
С	О	В
Замечание.  Другое  решение  можно  получить, отразив  картинку  симметрично
относительно	катета	BC	и	посчитав	площадь	двумя	способами:

=12⋅10 ⋅12 =12⋅(10 +13 +13) ⋅r.

Дан график функции  y=x2+ax+a (см. рис.). Найдите a.

Ответ. 4.

Решение.  График  касается  осиOx, поэтому  дискриминант  трехчлена  равен  нулю:

D= a2–4a = 0.Отсюдаa=0илиa=4.Но из графика следует, чтоa≠0.(Нарисован график

трехчлена y=x2+4x+4=(x+2)2 ).

Десятый класс

10.1. На доске написано число543254325432.Некоторые цифры стерли так, чтобыполучить наибольшее возможное число, делящееся на 9. Чему равно это наибольшее число?

Ответ. 5435432532.

Решение. Из признака делимости на9следует, что сумма стертых цифр должна бытьравна 6. Из двух чисел больше то, в записи которого больше цифр. Поэтому нужно стереть две цифры – либо 3 и 3, либо 2 и 4. Из двух десятиразрядных чисел больше то, у которого в старших разрядах стоят большие цифры. Поэтому нужно стереть первую двойку и последнюю четверку.

10.2.        Найдите  все  пары  чисел  x,  y,  для  которых  выполнено  равенство

x-y+ y-x=x+y+1.

Ответ. x=y=–0,5.

Решение. В силу неотрицательности подкоренных выражений должны одновременновыполняться неравенства x≥y, x≤y, откуда и следует x = y = – 0,5.

10.3. Существует ли треугольник, у которого длины всех сторон и всех высот являютсяцелыми числами?

Ответ. Существует.

Решение. Годится, например, прямоугольный треугольник со сторонами15, 20и25.

Две его стороны одновременно являются высотами, а высота, проведенная к гипотенузе,

равна h=ab=15⋅20=12 . c25

10.4. Петя составляет«таблицу умножения».Слева от таблицы он написал натуральныечисла от 10 до 75 включительно, сверху – от 11 до 48 включительно. После чего записал в таблицу соответствующие произведения пар чисел. Сколько из выписанных произведений являются четными числами?

Ответ. 1881.

Решение. Заметим, что произведение двух чисел будет нечетным, если обасомножителя нечетны, и четным в остальных случаях. Всего в таблице записано

(75 -10 +1) ⋅ (48 -11 +1) = 2508 произведений. Заметим, что среди чисел от 10 до 75 будет 33

нечетных числа, а среди чисел от 11 до 48 – 19 нечетных чисел. Поэтому в таблице будет

33 ⋅19 = 627 нечетных произведений. Остальные 2508 - 627 =1881 будут четными.

10.5. ТочкаD–середина стороныACтреугольникаABC, DEиDF–биссектрисытреугольников ADB и CDB. Докажите, что EF⊥AC.

Решение.        По        свойству        биссектрисы        треугольника

BE:EA=BD:DA=BD:DC=BF:FC. Отсюда следует, чтоEF⊥AC.

Одиннадцатый класс

По дороге едут велосипедисты: на запад – Вася и Петя с равными между собой скоростями, а на восток – Коля и Миша с равными между собой скоростями. Вася встретился

Мишей в 12.00, Петя с Мишей – в 15.00, Вася с Колей – в 14.00. Когда встретились Петя с Колей?

Ответ. в17.00.

Решение. Расстояние между Мишей и Колей и их скорости не меняются, а скоростиВаси и Пети равны. Вася встретил Колю через 2 часа после Миши, значит, Петя встретят Колю тоже через 2 часа после Миши, т. е. в 17.00.

В мешке лежат 26 синих и красных шаров. Среди любых 18 шаров есть хотя бы один синий, а среди любых 10 шаров есть хотя бы один красный. Сколько красных шаров в мешке?

Ответ. 17.

Решение. Так как из18шаров найдется хотя бы один синий, то красных не более17,а

из любых 10 шаров найдется хотя бы один красный, то есть синих не более 9. Так как всех шаров 26, то синих – 9, а красных – 17.

⎧⎪x-a=1

11.3.  При  каких  значениях  параметраасистема  уравнений⎨        имеет

⎪⎩x+ a=1

решения?

Ответ. Приa=0.

Решение. Из условия следует, чтоxиa–неотрицательные числа. Тогда из равенства

x - a
x-a=(x-a)(x+a)следует, что	x -	a =	=1 . Но  x+a=1. Поэтому
x +
a

x+ a= x - aи2a=0.То естьa=0.Осталось заметить, что приa=0система имеетрешение x=1.

11.4. Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно15.Найдитенаибольшее возможное значение наибольшего из этих чисел.

Ответ. 105.

Решение.

Сумма данных чисел равна 150. Так как все числа различны, то сумма девяти наименьших из них не меньше, чем 1 + 2 + ... + 9 = 45. Следовательно, наибольшее число не может быть больше чем 105.

Это возможно: (1 + 2 + ... + 9 + 105) : 10 = 15.

11.5. В

высота ADMD/BD.

Ответ:

правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной SSA/AB=2. Проведены треугольника SAB и медиана BM треугольника ABC. Найдите отношение

102.

Решение. Обозначим длину отрезкаABза1,тогдаSA=2.Найдём прежде всего длиныотрезков BD и SD. Пусть BD=x. Тогда, применяя теорему Пифагора к треугольникам ABD и

ASD, получаем AD2=1–x2 = 4 – (2–x)2⇒BD=x=1/2. Далее в треугольнике BMD	BM =	3	и,
2
для того чтобы воспользоваться теоремой косинусов, достаточно найти косинус угла MBD.
Но	из	прямоугольного	треугольника	SBM	получаем:
cos ∠SBM=	3	⇒ DM 2=	1	+	3	- 2 ⋅	1	⋅	3	⋅	3	=	5	⇒ DM =	10	.
4	4	2	4
4	2	8	4

S

D

A          M    C

B