ФГБОУ ВПО «Российская академия народного хозяйства и
государственной службы при Президенте РФ»
Поволжский институт управления им. ,
410031, Саратов, Россия.
e-mail: *****@***ru
Введение.
Настоящая работа посвящена задаче о распространении света в пространстве-времени, кривизна которого определяется не материальными источниками, а самой распространяющейся световой волной. Поскольку основные результаты, полученные в работах [1-6], известны, главное внимание будет сосредоточено на некоторых вопросах методологического характера, которым в указанных работах не было уделено достаточного места.
Как известно, решение поставленной задачи требует нахождения решений системы связанных уравнений Максвелла-Эйнштейна:
(1)
Здесь R – след тензора Риччи Rik: R = Rii, gik - метрический тензор; Tik и Fik– тензор энергии-импульса и электромагнитный тензор; Гikl – символы Кристоффеля; с - скорость света в вакууме, K – постоянная тяготения; индексы i, k, l пробегают значения 0, 1, 2, 3; по повторяющимся индексам предполагается суммирование; запятая означает обычную, т. е. не ковариантную производную [7]. Исследовались решения (1), соответствующие наличию на пространственной бесконечности сферических электромагнитных волн (ЭМВ).
Тензор Tik имеет вид [7]
(2)
При решении системы (1) был сделан ряд предположений, требующих детального обоснования.
Было предположено, что метрика, соответствующая искомому решению (решениям) (1) сферически симметрична, т. е. зависит только от сферической координаты r.То, что это предположение требует обоснования ясно с самого начала – непонятно почему решения уравнений Эйнштейна (компоненты метрического тензора) не зависят от угловых координат, если источник гравитационного поля – тензор энергии импульса ЭМВ (2) от них зависит.
При решении уравнений Эйнштейна постоянная, входящая в выражение для метрики, определялась из уравнений Максвелла, аналогично тому, как подобная процедура в ходе решения шварцшильдовской задачи привлекала уравнения Ньютона [7].Действительно, привлечение уравнений Ньютона не вызывает вопросов, поскольку они являются предельным случаем уравнений Эйнштейна для плоского пространства-времени, в то время как использование для аналогичной цели уравнений Максвелла требует обоснования.
Предполагается, что решения уравнений МЭ, переходящие на пространственной бесконечности в сходящуюся и расходящуюся электромагнитные волны, относятся к разным вакуумам теории и не могут классическим образом перейти одно в другое.Этот тезис по сути дела связан с проблемой фокусировки сферической ЭМВ. Ее решение, предложенное в работах [1-6] требует пересмотра взглядов на топологию пространства.
Без обоснования перечисленных предположений решение поставленной задачи выглядит неубедительным и вызывает возражения специалистов1.
Сферически симметричная метрика.
Прежде всего, напомним, что в работе [1] рассмотрение проводилось в системе координат, в которой проекция момента ЭМВ на ось OZ равна нулю, что позволяет устранить зависимость поля ЭМВ от азимутального угла ~ eimц, положив m = 0. Подобные состояния описаны в [8]. Соответствующим преобразованием системы координат общий случай сферической волны с m ≠ 0 может быть сведен к рассматриваемому. При этом используется возможность, предоставляемая ОТО, решения поставленной задачи в произвольной системе отсчета, в той, которая наиболее удобна для этого. Такой прием сокращает число символов Кристоффеля, необходимых для записи уравнений Эйнштейна.
Можно предложить альтернативный способ рассуждений. Рассмотрим симметрию обобщенных уравнений Максвелла (и Максвелла-Эйнштейна), т. е. учитывающих наряду с электрическими зарядами и токами еще и магнитные, относительно дуального преобразования 
, где 
- электрическое и магнитное поле ЭМВ до преобразования и 
- после, б – дуальная фаза. Устранить зависимость от азимутального угла в выражениях для полей можно, положив б= - mц. Как показано в работе [9], из условия сохранения формы2 уравнений Максвелла относительно дуальных преобразований следует уравнение для б: 
, где 
(в системе Хевисайда-Лоренца). Для рассматриваемого случая сферической ЭМВ это уравнение выполняется для б= - mц, что легко можно показать, например, для ЭМВ, возбуждаемой элементарным электрическим диполем [10].
Займемся теперь непосредственно вопросом метрики. В работе [1] метрика определялась видом интервала
(3)
н = н(t, r, и), л = л(t, r, и); x0 =ct, t –время; x1= r, x2 = и, x3 = ц – сферические координаты. Для разделения переменных накладывалось дополнительное условие: л =б(r, t)+в(и), н = - б(r, t)+в(и). Согласно [1], угловая часть поля ЭМВ определяется известными шаровыми функциями, характеризуемыми набором величин: j, l, m, задающими полный и орбитальный моменты и проекцию полного момента на ось OZ, при условии в = 0. После этого в левой части уравнений Эйнштейна зависимости от r и и входят аддитивно, а в правой – мультипликативно, что ведет к противоречию, для устранения которого выполнялось усреднения по и.
Для обоснования этой процедуры усреднения рассмотрим наблюдателя, помещенного в точку воображаемого фокуса сходящейся сферической ЭМВ. Освещенность, которую он наблюдает, без учета эффектов ОТО будет в соответствии с характером шаровых функций иметь максимумы, соответствующие экстремумам шаровых функций, разделенные угловым интервалом Ди=р/l для функции с орбитальным числом l. Такая картина соответствует пренебрежению эффектом отклонения луча света в искривленном пространстве-времени. Учет этого эффекта [5] приведет к перекрытию соседних максимумов освещенности для 
3. Так что, для больших l, реально наблюдатель “видит” равномерно освещенную сферическую поверхность, соответствующую фронту сходящейся ЭМВ4. Таким образом, процедура усреднения по углу и получает физическое обоснование. Приведем окончательный вид метрики, полученной в [1]:
(4)
щ – частота сферической ЭМВ. Как отмечалось в работе [2], этот результат может быть получен с помощью одних только уравнений Максвелла, записанных в искривленном пространстве-времени, на что указывает отсутствие гравитационной постоянной в (4). Для этого надо воспользоваться равенством компонент тензора энергии-импульса T22 = T33, которое является следствием изотропии пространства. Это лишний раз подчеркивает сходство электромагнитных и гравитационных явлений. Искривление метрики в этом приближении названо в работе [2] “дифракционным”, поскольку отклонение луча света в метрике (4) напоминает эффект самодифракции в нелинейной оптике.
Какие есть альтернативы этой процедуре? Самая простая и правильная – использовать точную метрику для задачи. К сожалению, на сегодня она неизвестна.
Скажем два слова об асимптотическом характере решения (4). Оно получено из уравнений Максвелла для радиальной части F01=Ш(r, t)Pl(и), где – Pl(и)полином Лежандра порядка l [1]:
(5)
В работе [1] это уравнение решалось в приближении малости члена ~ бґ, возникающего при вынесении e-б за знак производной по r в первом слагаемом в (5) (штрих означает производную по r), которое приводит к условию r > c/щ и которое заведомо выполняется при r > rc для всех l.
Определение постоянной в выражении для метрики.В работе [2] было получено уточнение (4) с использованием полной системы уравнений МЭ, которые с учетом сделанных предположений после усреднения по углу и имеют вид
(6)
G – амплитуда сферической ЭМВ, не зависящая от r. Уравнения (6) приводят к выражению для метрики
(7)
Постоянная С должна быть определена. Если выбрать С = - rc /rs. то (7) примет вид:
(8)
что в асимптотике r > rc >> rs совпадает с найденным ранее асимптотическим значением exp(-rc /r) ≈ 1 - rc /r. Какие есть основания для использования асимптотики (4) для определения постоянной С?
Строго говоря, если оставаться в рамках 3+1 теории, то никакими строгими методами вышеприведенную процедуру обосновать не удается. Единственный способ сделать это – предположить, что гравитационное и электромагнитное поля составляют вместе некое единое поле. На наш взгляд, наиболее естественный выбор – 4+1-мерная теория Калуцы-Клейна [11, 12].
Топология реального пространства-времени.
В последнее время повысился интерес к исследованию топологии реального пространства в связи с доказательством в 2003 г. Г. Перельманом гипотезы Пуанкаре [13], сформулированной им в 1904 г., суть которой сводится к тому, что если произвольный одномерный замкнутый контур в n - мерном многообразии может быть стянут в точку, то такое многообразие гомеоморфно n - мерной сфере (имеет топологию сферы).
В многочисленных популярных изложениях (см., напр., [14]), посвященных этому вопросу, делаются попытки применить полученный математический результат к реальному пространству и «доказать» факт, считающийся очевидным, а именно, что наша Вселенная напоминает сферу, а не, например, тор. При этом, в свойственной математикам манере, вопрос о физической реализации подобных доказательств не рассматривается5.
В докладе [4] исследованы различные физические способы проверки этого результата и показано, что все они несостоятельны – во всех случаях контуры, реализованные с помощью физических объектов (световых лучей) не могут быть использованы для поставленной цели по причинам, не связанным с топологией.
В докладе [4] исследован также вопрос о топологии пространства с помощью другого гомотопического отображения - сферы в сферу. Согласно работам [1-6], фронт сходящейся сферической ЭМВ не может быть стянут в точку. Этот вопрос тесно связан с вопросом о фокусировке сферической ЭМВ. Как утверждается в работах [1-6], сходящаяся ЭМВ не может классическим образом преобразоваться в расходящуюся. Это связано не столько с сингулярностью решений уравнений МЭ, сколько с захватом некоторых лучей метрикой (7) [2]. Процесс преобразования идет квантовым образом через промежуточное состояние – инстантон, который за счет туннелирования связывает решения исходных уравнений МЭ, реализующиеся вблизи разных вакуумов.
Иными словами, искривление пространства-времени, связанное со сферическими ЭМВ приводит к перестройке вакуума теории. Сходящаяся и расходящаяся ЭМВ существуют каждая в своем вакууме, переход между которыми осуществляется с помощью инстантона. Обращает на себя внимание косвенный характер доказательства этого утверждения – если есть инстантон, то должны быть и различные вакуумы, которые он связывает. Непосредственного доказательства этого утверждения сегодня нет. Можно, однако, поставить вопрос об изменении характера электромагнитного вакуума вблизи горизонта событий.
Рассмотрим классическое действие для электромагнитного поля [7]
(9)
где g – определитель, составленный из величин gik. С учетом сказанного выше (9) можно записать в виде 
- присоединенный полином Лежандра)
(10)
Выполняя интегрирование по угловым координатам, приведем (10) к виду
(11)
Выражение в фигурных скобках представляет (с точностью до множителя) плотность лагранжиана электромагнитного поля сферических волн с амплитудой f(x0, с), а V(f, r(с)) - плотность потенциальной энергии. По ее поведению, точнее по поведению 
можно судить о характере устойчивости вакуума электромагнитного поля6. Беря для e-б выражение (8), в котором для простоты положим rs = 0 приходим к выводу, что для 
7электромагнитные волны устойчивы, а для 
- нет, что и является причиной появления неволновых решений уравнений Максвелла, которые были в работах [1-6] отождествлены с инстантонами8.
Поскольку все описываемые явления разыгрываются на расстояниях порядка rc, на которых собственно гравитационные явления еще не сказываются (они начинают сказываться на расстояниях rs << rc ) можно говорить не об инстантонах уравнений Максвелла-Эйнштейна, а об инстантонах уравнений Максвелла. Формально уравнение для инстантона уравнений Максвелла получается из условия T00 = T11, которое выполняется для сферически симметричной метрики [1].
Инстантон является решением уравнений МЭ (и Максвелла) неволнового характера. Он подробно описан в работе [3]. Изучение гравитационных инстантонов восходит еще к работе С. Хокинга [16]. Заметим, что большинство работ по гравитационным инстантонам, например, доступных на ресурсе [17], посвящены классификации инстантонных решений уравнений Максвелла-Эйнштейна на многомерных римановых многообразиях и их приложениям к физике черных дыр.
Гомотопия, о которой говорилось выше, касается стягивания фронта сферической ЭМВ, которое может быть выполнено только до размеров инстантона. Невозможность стягивать фронт далее обусловлена тем, что на меньших расстояниях волн не существует. Хотя этот факт и не имеет прямого отношения к теореме Пуанкаре, он также связан с топологией пространства. Полученный результат говорит о том, что физическое пространство негомеоморфно сфере, а имеет более сложную топологию.
Другим указанием на это является нарушение инстантонами уравнений МЭ т. н. “слабого энергетического условия” Tбв об ов > 0 [3. 18], где Tбв - тензор энергии-импульса электромагнитного поля, а о – любой непространственноподобный 4 – вектор [19]. Как известно, выполнение этого условия связано с требованием отсутствия т. н. “кротовых нор” [20], представляющих топологические особенности пространства-времени.
Заключение.
В настоящей работе подводится итог работам автора по исследованию распространения света в пространстве-времени, искривленном электромагнитным полем самой волны. Как подчеркнуто, решение этой задачи связано с принятием ряда предположений. Некоторые из них удается обосновать в рамках общепризнанных теорий, другие ведут к изменению представлений о структуре пространства-времени, характере распространения электромагнитных волн и их связи с гравитационными явлениями.
Особо следует остановиться на результатах, описанных в разделе 2. Теория Калуцы-Клейна, в отличие от аналогичной теории Вейля не противоречит фактам. Единственным возражением против нее является то, что она не выполняет требований, предъявляемых ко всяким новым теориям – она не предсказывает никаких новых результатов. Если принять во внимание, что рассматриваемая задача не может быть решена вне рамок объединения электромагнитных и гравитационных явлений, то ее решение можно рассматривать как тот самый новый результат, который необходим для признания данной теории.
До недавнего времени считалось, что единственное решение системы (1) – статическое и соответствует метрике Нордстрема-Рейсснера, создаваемой массивным заряженным телом. Совпадение полученного решения (8) по форме с указанной метрикой, хотя и выглядит случайным, в действительности является указанием на ограниченность электродинамики Максвелла-Эйнштейна при решении данной задачи расстояниями порядка длины волны и на необходимость на расстояниях порядка rs использования для этого неабелевых калибровочных теорий [21].
Благодарности.
Автор благодарит и за в.
за внимание к работе.
Литература.
Зайко решения уравнений Максвелла-Эйнштейна. Известия Саратовского Университета, сер. Физика, 2010, Т. 10. Вып. 1- с. 15-21. Зайко полноты передаваемой информации. Известия Саратовского Университета, сер. Физика, 2013, Т. 13. Вып. 2- с. 50-58. Зайко уравнений Максвелла-Эйнштейна. Известия СГУ, сер. Физика, 2014, Т. 14, вып. 2, с. 29-36 Зайко реального пространства. Евразийский союз ученых. Сборник «Современные концепции научных исследований», Труды IV Международной научно - практической конф.,Ч.2, № 4, с. 165-168, М. 25.06.2014. Zayko Y. N. Electromagnetic Fields of Eigenmodes in Spherical Resonators. Physical Science International Journal, 2015, №5(1), pp.18-25. Zayko Y. N. Synchronization of Sources of Radiation with the Help of Tunneling. Physical Science International Journal, 2014, 4(7), pp.954-961. , . Теория поля. М.: Наука, 1967.-460 с , , Переломов , реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М. : Наука, 1971.-544 с Зайко дуальной фазы. Известия СГУ, сер. Физика, 2012, Т. 12, вып. 1, с. 25-39. Николис, Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционное представление/пер. с англ. . М.: Мир, 1989.- 486 с. проблеме единства физики. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сб. статей. М.: Мир, 1979.С.529-534. еория Калуцы-Клейна: общий обзор. УФН, Т. 146, № 4, 1985, с. 647-654. Perelman, Grisha (Nov. 11, 2002), "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications", arЧiv:math. DG/0211159 [math. DG]; (Mar. 10, 2003), "Ricci flow with surgery on three-manifolds", arЧiv:math. DG/0303109 [math. DG]; ACADEMIA. Садовничий В, В. От гипотез и ошибок - к научной истине. Взгляд математика. 2-я лекция, http:// http://tvkultura. ru/video /show/ brand_id/20898/episode_id/975155 , Питаевский квантовая теория. Часть 2. М.: Наука, 1971. S. W. Hawking. Gravitational Instantons. Phys. Lett., A60 (1977), p. 81. Cornell University Library: http://arxiv. org. Zayko Y. N., Non-wave Solutions of the Maxwell-Einstein Equations, Phys. Sci. Int. Journ, 2014, №4(9), pp. 1280-1292. С. Хокинг, Дж. Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени/пер. с англ. под ред. , М.: Мир, 1977. , Рубин по гравитации и космологии. М.: МИФИ, 2008. О пондеромоторной силе, действующей со стороны электромагнитной волны на пробную частицу, в печати.1 E. Weinberg, Editor Physical Review D (private communication)
2 Т. е. содержащих только электрические или только магнитные заряды
3 Если учесть, что отклонение следует учитывать дважды, т. е. для соседних максимумов, то условие выглядит иначе: l ≥2 (, не опубликовано).
4 Исключение составляют волны с малыми l = 1,2 [5] (или, по уточненным данным l=1)
5 Веревка, фигурирующая в [14], не более чем метафора.
6 Обычно неустойчивость вакуума связывают с рождением пар частиц [15], что можно учесть, добавляя к (9) слагаемое первого порядка по ћ. Здесь термин “неустойчивость” понимается в несколько ином смысле, а именно в смысле устойчивости (или неустойчивости) волновых решений полевых уравнений. Можно показать, что учет упомянутой поправки не меняет настоящих выводов.
7 В сделанном приближении (rs = 0) горизонт событий расположен при rc.
8 Хотя в этом есть некоторая натяжка, далее эти решения продолжают называться инстантонами.
