Задания

Докажите, что разность любых двух целых чисел и разность их остатков имеют одинаковые остатки при делении на натуральное число d.
Докажите, что произведение любых двух целых чисел и произведение их остатков имеют одинаковые остатки при делении на натуральное число d.
Докажите, что nі + 2n делится на 3 при любом натуральном n.
Докажите, что n5 + 4n делится на 5 при любом натуральном n.
Докажите, что nІ + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном n.
Докажите, что nі + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном n.
Докажите, что сумма квадратов трех натуральных чисел не может иметь остаток 7 при делении на 8.
Докажите, что из 52 различных натуральных чисел не превосходящих 100

всегда можно выбрать два, одно из которых на три больше другого.

Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами, есть число, которое делится на 1987.
Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.
Докажите, что существует степень тройки, оканчивающаяся на 001.