Лабораторная работа № 1.

Задание 1.

«Элементы теории множеств». В текстовом файле оформите анализ по принципу: задача – материал, копируя элементы данного файла и файла из кейса.

1.Множества и основные операции над ними

    Под множеством М понимается совокупность некоторых объектов, которые будут называться элементами множества М. Тот факт, что x является элементом множества М, будем обозначать через x∈M, в противном случае x∉M. Множество N или ω - множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество вещественных чисел, C – множество комплексных чисел. Задача.

Как называется множество царей (фараонов, императоров) данной страны, принадлежащих одному семейству? Приведите примеры.

Ответ. Это династия. Самыми крупными династиями, управлявшими нашим государством, были Рюриковичи и Романовы.

    Множество А называется подмножеством множества В (обозначается А⊆В), если все элементы множества А принадлежат В: A⊆ B⇔∀x (x∈A⇒ x∈B).
    Если А⊆В, то будем также говорить, что множество А содержится в В, или имеется включение множества А в В. Множества А и В называются равными или совпадающими (обозначается А=В), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если А⊆В и В⊆А. Таким образом, чтобы доказать равенство множеств, требуется установить два включения.
    Запись А⊂В означает, что А⊆В и А≠В (А не равно В), и в этом случае будем говорить, что А строго включено в В, или является собственным подмножеством В. Совокупность всех подмножеств множества А называется его булеаном или множеством-степенью и обозначается через Р(А) или 2А. Таким образом, Р(А)={B | B⊆A}. Существует множество, не содержащее ни одного элемента, которое называется пустым и обозначается через ∅. Ясно, что ∅⊆А для любого множества А. Множество, содержащее все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается через U.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Пересечение множеств А и В называется также их произведением и обозначается А⋅B, а объединение – суммой: А+В. Множество А\В=А-В={x | x∈A и x∉ B} называется разностью множеств А и В, множество А⊕ В=(А\В) ∪ (В\А) – кольцевой суммой или симметрической разностью множеств А и В, множество А =U\А – дополнением множества А в U(см. рис., на котором изображены так называемые диаграммы Эйлера - Венна, наглядно поясняющие соотношения между множествами).

    Основные свойства операций пересечения, объединения и дополнения:

1. Ассоциативность операций ∪ и ∩ :

А∪ (В∪ С)=(А∪ В) ∪ С,

А ∩ (В∩ С)=(А∩ В) ∩ С.

2. Коммутативность операций ∪ и ∩ :

А∪ В=В∪ А,

А ∩ В=В∩ А.

А∪В

3. Законы идемпотентности:

А∪ А=А, А ∩ А=А.

4. Законы дистрибутивности:

А∪ (В∩ С)=(А∪ В) ∩ (А∪ С),

А ∩ (В∪ С)=(А ∩ В) ∪ (А∩ С).

5. Законы поглощения:

А∪ (А∩ В)=А, А ∩ (А∪ В)=А.

6. Законы нуля и единицы: положим 0⇔∅, 1⇔U, тогда

А∪ 0=А, А ∩ 0=0, А ∪ 1=А, А ∩ 1=А, А ∪ А =1, А ∩ А =0.


    Упорядоченную последовательность из n элементов x1, x2,…, xn будем обозначать через (x1, x2,…, xn) или ⟨x1, x2,…, xn⟩.
    Будем называть такую последовательность упорядоченным набором длины n, кортежем длины n. Декартовым (прямым) произведением множеств A1, A2,…, An называется множество {(x1, x2,…, xn) | x1∈A1, x2∈A2,…, xn∈An}.

Задание 2. Решите задачи 1 и 4, приведенные выше. Решение оформите в текстовом файле.

Задача 1. Напишите все подмножества множества М, если М = {тетрадь, ручка, карандаш}.

Решение:

М={тетрадь}; {ручка}; {карандаш}; {тетрадь, ручка}; {ручка, карандаш}; {тетрадь, карандаш};  {тетрадь, ручка, карандаш}.

Задача 4. Множество А состоит из учеников данного класса, изучающих английский язык; множество В – из учеников, изучающих немецкий язык; множество С – из учеников, изучающих французский язык. Известно, что учащиеся могут изучать несколько языков. Представьте множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна и охарактеризуйте их:

а) ;

б) ;

в) .

Задача 3. Прочитайте файлы «Отображение множеств», «Общая схема анализа функции». Выполните в тетради анализ функций

1) 2)

1. y(x)=x^3-9*x^2+24*x-15

f'(x)=3x^2-18x+24

f'=0 x^2-6x+8=0

x1=2 x2=4

x1-не принадлежит отрезку

f(3)=27-81+72-1=17

f(4)=64-144+96-1=15 минимум

f(5)=125-225+120-1=19 максимум

2.  y(x)=(sin^2x)/(2+sinx)

Задачи:

2.Найдите сумму множеств:

а) А = {n / n = 2m}

B = {n / n = 2m}, m – натуральное число;

б) А = {простые числа}

А={12/2=2*3}

B = {нечетные числа}.

B={27/3=3^2}