МЕТОД ПИРСОНА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СМЕСИ И СПЛАВЫ

,

11 класс,

ГБОУ СОШ №11, г. о. Октябрьск,

Руководитель: ,

учитель математики ГБОУ СОШ №11, г. Октябрьск

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, всё более внедряется в традиционно далекие от неё области.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках.

Очень часто при решении задач приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определенной массовой долей растворенного вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. В некоторых случаях можно провести достаточно сложный арифметический расчёт. Однако это малопродуктивно. Чаще для этого лучше применить правило смешения (диагональную модель «квадрата Пирсона», или, что тоже самое, правило креста).

Карл Пирсон — английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики, один из основоположников биометрики. Автор свыше 650 опубликованных научных работ. В русских источниках иногда называется Чарлз Пирсон.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Родился в семье преуспевающего лондонского адвоката. Закончил Кембриджский университет в 1879 году. Затем изучал физику в Гейдельбергском и Берлинском университетах. С 1884 по 1911 год — профессор прикладной математики и механики Лондонского университета, с 1911 года — директор Лаборатории евгеники Лондонского университета, заслуженный профессор.

В 1896 году был избран членом Королевского общества, в 1898 году был награждён Медалью Дарвина. В 1900 году основал журнал «Biometrika», посвящённый применению статистических методов в биологии.

Позже – в своей первой книге, 'The New Werther', Карл признавался, что на тот момент мировая наука просто захлестнула его; он никак не мог расстаться с учебой, поскольку был не в состоянии счесть хоть какой-нибудь естественный или гуманитарный предмет ненужным.

Опубликовал основополагающие труды по математической статистике (более 400 работ). Разработал теорию корреляции, критерии согласия, алгоритмы принятия решений и оценки параметров. С его именем связаны такие широко используемые термины и методы, как:

    Кривые Пирсона Распределение Пирсона Критерий согласия Пирсона (критерий хи-квадрат) Коэффициент корреляции Пирсона и корреляционный анализ Ранговая корреляция Множественная регрессия Коэффициент вариации Нормальное распределение

и многие другие

Пирсон много усилий приложил для применения своих открытий в прикладных областях, прежде всего в биологии, евгенике, медицине. Ряд работ относится к философии и к истории науки.

Наукой Пирсон продолжал заниматься до самой своей смерти – даже после выхода на пенсию. Скончался Карл в 1936-м.

Теоретические основы решения задач «на смеси, сплавы» Примем некоторые допущения: Все получающиеся сплавы или смеси однородны. При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов. Определение. Процентным содержанием ( концентрацией) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах. Терминология: процентное содержание вещества; концентрация вещества; массовая доля вещества. Всё это синонимы.

Пусть требуется приготовить раствор определенной концентрации. В распоряжении имеется два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно. Если обозначить массу первого раствора через m1, а второго – через m2, то при смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс. Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе – щ1, во втором – щ2, а в их смеси – щ3. Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах: m1 щ1 + m2 щ2 = щ3(m1 + m2),  m1(щ1 – щ3) = m2(щ3 – щ2), Очевидно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси. Правило креста или квадрат Пирсона.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения или квадрат Пирсона. При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора. щ1 щ3 — щ2 щ3, щ2 щ1 — щ3.

Примеры решения задач.

Задача1.

Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Ответ: 7 килограммов.

Данный метод может использоваться и при решения задач на смеси и сплавы. Отлили часть раствора, отрезали кусок сплава. При этой операции остается неизменной концентрация веществ.

Задача 2.

Определите концентрацию раствора, полученного при слиянии 150 г 30%-го и 250 г 10%-го растворов какой-либо соли.

Дано:

m1 = 150 г, m2 = 250 г,

щ1 = 30%, щ2 = 10%.

Найти: щ3.

Решение.

Общая масса раствора: m3 = m1 + m2 = 150 + 250 = 400 г.

Массу вещества в первом растворе находим методом пропорций, исходя из определения: процентная концентрация раствора показывает, сколько граммов растворенного вещества находится в 100 г раствора:

100 г 30%-го р-ра – 30 г в-ва,

150 г 30%-го р-ра – х г в-ва,

х = 150 ∙ 30/100 = 45 г.

Для второго раствора составляем аналогичную пропорцию:

100 г 10%-го р-ра – 10 г в-ва,

250 г 10%-го р-ра – y г в-ва,

y = 250 ∙ 10/100 = 25 г.

Следовательно, 400 г нового раствора содержит 45 + 25 = 70 г растворенного вещества.

Теперь можно определить концентрацию нового раствора:

400 г р-ра – 70 г в-ва,

100 г р-ра – z г в-ва,

z = 100•70/400 = 17,5 г, или 17,5%.

Литература:

http://art-con. ru/node/3649 http://easyen. ru/load/math/ege/metod_pirsona_v_reshenii_zadach_na_smesi_i_splavy/43-1-0-12300 https://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D1%81%D0%BE%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D0%9F%D0%B8%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 http:///filecom. php? fileid=98680813