Глава 8 Свободные и вынужденные колебания си-стем с одной степенью свободы. Резонанс (стр. 9 )

.  (8.168)

Система уравнений (8.163) – (8.168) позволяет получить зависимость средней мощности вынуждающей силы от частоты p. Для нахождения искомого в задаче отношения средней за период мощности силы F при частоте, соответствующей резонансу смещения, к максимальной средней мощности этой силы необходимо найти максимум средней мощности, а также дополнить полученную систему уравнений выражениями (8.45), (8.46) и (8.48) для амплитуды вынужденных колебаний , фазы и резонансной частоты при резонансе смещения:

,  (8.169)

.  (8.170)

.  (8.171)

III. Интегрируя (8.168) с учетом (8.167) и заданного в задаче закона изменения вынуждающей силы F(t), получаем:

.  (8.172)

Найдем , входящий в формулу (8.172), воспользовавшись (8.170):

.  (8.173)

Подставляя (8.173) и (8.169) в (8.172), получаем зависимость средней мощности вынуждающей силы от частоты:

.  (8.174)

Частоту вынуждающей силы , при которой ее средняя мощность достигает максимума, находим из условия :

.  (8.175)

Заметим, что частота совпадает с частотой, соответствующей резонансу скорости (см. п. 8.1.3).

Подстановка (8.175) в (8.174) дает выражение для максимальной средней мощности вынуждающей силы:

.  (8.176)

Выражение для средней мощности вынуждающей силы при частоте, соответствующей резонансу смещения, находим подставляя (8.171) в (8.174):

.  (8.177)

Искомое отношение средней за период мощности вынуждающей силы F(t) при частоте, соответствующей резонансу смещения, к максимальной средней мощности этой силы находим, воспользовавшись (8.176) и (8.177):

.  (8.178)

Заметим, что полученное соотношение мощностей справедливо при . При значениях коэффициента затухания в колебательной системе резонанс смещения не наблюдается (а резонанс скорости существует).

Задача 8.10

(Свободные незатухающие колебания системы

с двумя степенями свободы)

Два маленьких шарика массой подвешены к потолку на невесомых стержнях длиной , образуя два математических маятника. Эти маятники связаны между собой легкой пружиной жесткостью (см. рис. 8.31). В положении равновесия пружина не растянута, а точки ее крепления к стержням находятся на расстоянии от точек шарнирного подвеса стержней к потолку. Определить законы изменения углов отклонения маятников от положения равновесия и при малых колебаниях в трех случаях:

1) оба маятника отклонили в одну сторону на одинаковый угол от положения равновесия в момент времени и отпустили с нулевой начальной скоростью;

2) маятники отклонили в разные стороны на одинаковые углы от положения равновесия в момент времени и отпустили с нулевой начальной скоростью;

3) в начальный момент времени одному из покоящихся в положении равновесия шариков сообщили начальную скорость , направленную от положения равновесия.

Решение

I. На каждый маятник действуют в процессе движения три силы: сила тяжести , сила упругости со стороны пружины (i = 1, 2) и сила реакции потолка, не изображенная на рис. 8.31. Силами трения о воздух и в подвесе пренебрегаем. В соответствии с начальными условиями, сформулированными в задаче, маятники колеблются в плоскости, совпадающей с плоскостью чертежа (рис. 8.31). Задачу решаем динамическим методом в инерциальной лабораторной системе отсчета, жестко связанной с потолком.

II. Запишем уравнение моментов (см. (6.48) в п. 6.1.2. Главы 6) для каждого из маятников относительно неподвижных осей, проходящих через точку их крепления к потолку перпендикулярно плоскости колебаний (см. рис. 8.31):

,  (8.179)

.  (8.180)

При малых углах отклонения маятников от вертикали пренебрегли отклонением пружины в процессе колебаний от ее горизонтальной ориентации в положении равновесия. При записи уравнений (8.179) и (8.180) учтено также, что моменты сил реакции потолка относительно выбранных осей равны нулю.

Сила упругости, действующая со стороны пружины на первый маятник, в соответствии с законом Гука (см. (2.5) в п. 2.1.2 Главы 2), равна:

.  (8.181)

Поскольку пружина невесома, то согласно второму закону Ньютона силы, действующие со стороны стержней на пружину, равны, а, следовательно, равны и силы, действующие на стержни со стороны пружины (в соответствии с третьим законом Ньютона):

.  (8.182)

Подставляя (8.181), (8.182) в (8.179), (8.180) и учитывая малость углов отклонения стержней от вертикали (, ), получаем систему связанных дифференциальных уравнений второго порядка:

,  (8.183)

.  (8.184)

Делая замену переменных

,  (8.185)

,  (8.186)

получаем два независимых уравнения гармонических колебаний (8.1) для новых переменных и :

,  (8.187)

.  (8.188)

Следовательно, при колебаниях маятников переменные и изменяются по гармоническим законам:

,  (8.189)

,  (8.190)

где частоты колебаний и в соответствии с (8.187) и (8.188) определяются параметрами маятников и пружины:

,  (8.191)

.  (8.192)