Стереометрия

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.

1.Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не при­надлежащие ей.

2. если две различные плоскости имеют общую точ­ку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3. если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку

Теорема

Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Пересечение прямой с плоскостью

Теорема

Если две точки прямой принадлежат плоскости вся прямая принадлежит этой плоскости.

Существование плоскости, проходящей через три данные точки

Теорема

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскос­ти и не пересекаются.

Теорема

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом толь­ко одну.

Теорема

Две прямые параллельные третьей прямой, параллельны.

Теорема

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Признак параллельности плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Теорема

Если две пересекающиеся прямые одной плоскос­ти соответственно параллельны двум прямым другой плоскости» то эти плоскости параллельны.

Существование плоскости, параллельной данной плоскости

Теорема

Через точку вне данной плоскости можно провес­ти плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Перпендикулярность прямых в пространстве

две прямые называются перпендикулярными, если они пересе­каются под прямым углом.

Теорема

Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

Прямая, пересекающая плоскость, на­зывается перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая ле­жит в данной плоскости и проходит через точку пересечения данной прямой и плоскости

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

перпендикуляром, опущенным из дан­ной точки на данную плоскость, называется от­резок, соединяющий данную точку с точкой плос­кости и лежащий на прямой, перпендикуляр­ной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуля­ра. Расстоянием от точки до плоскости называ­ется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проек­ции, то она перпендикулярна наклонной. И обрат­но: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Признак перпендикулярности

плоскостей

Две пересекающиеся плоскости назы­ваются перпендикулярными, если третья плос­кость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей» пересекает их по перпендикуляр­ным прямым.

Теорема

ЕСЛИ ПЛОСКОСТЬ проходит через прямую, перпен­дикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Двугранный угол

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ог­раничивающей их прямой. Полуплоскос­ти называются гранями, а ограничивающая их прямая — ребром двугранного угла.

Трехгранным углом

Трехгранным углом (abc) называется фигура, со­ставленная из трех плоских углов.

многограник

Многогранник — это такое тело, по­верхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского много­угольника на его поверхности.

призма

Призмой называется многогранник, ко­торый состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, со­единяющих соответствующие точки этих много­угольников.

Прямая призма

Призма называется прямой, если ее бо­ковые ребра перпендикулярны основаниям. В про­тивном случае призма называется наклонной

Призма в основании которой правильный прямоугольник наз-ся прямоугольной призмой

Правельная призма-правильный многоугольник.

Боковая поверхность призмы называется сумма площадей боковых граней.

Полная поверхность призмы равна сум ме боковой поверхности и площадей оснований.

Полная поверхность призмы-равна сумме площадей всех ее граней.

Теорема

Боковая поверхность примой призмы равна произволении» периметра основания на высоту призмы

, Т. е. на длину бокового ребра.

Высотой призмы наз-ся расстояние между его основаниями

Диагонали призмы наз-я отрезок соединяющий вершины не принадлежащие одной плоскости

Сечение проведенное вертикально будет прямоугольным

Сечение проведенное наклонно - параллелограмм

Параллельно основанию - равно основанию

Параллелепипед

Если основание призмы есть параллело­грамм,  то она  называется параллелепипедом.

Теорема

У параллелепипеда противолежащие грани парал­лельны и равны.

Теорема

Диагонали параллелепипеда пересекаются в точке и точкой пересечении делятся пополам.

Точка пересечения диагоналей параллепипеда является его центром симметрии.

Теорема

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его изме­рений.

Оюйем прямоугольного паралепипеда равен произведению трех его измерений.

Объем любого прал-да или объем призмы= произв. Площади основ. На высоту.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плос­кости основания, вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точ­ками основания.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плос­кости основания, вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точ­ками основания.

Высотой пирамиды называется перпен­дикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Отрезки, соединяющие вершину пира­миды с вершинами основания, называются боко­выми ребрами.

Усеченная пирамида

Теорема

Плоскость, пересекающая пирамиду и параллель на я ее основанию, отсекает подобную пирамиду.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоуголь­ник.

Высота боковой грани правильной пира­миды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Боковой поверхностью пирамиды назы­вается сумма площадей ее боковых граней.

Теорема

Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апо­фему.

Полная и баковая поверхность пирамиды = сумме площадей всех ее баковых граней т площади основания.

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильны­ми многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходит­ся одно и то же число ребер.

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис. 115): правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

У правильного тетраэдра грани — пра­вильные треугольники; в каждой вершине сходит­ся по три ребра. Тетраэдр представляет собой тре­угольную пирамиду, у которой все ребра равны.

У куба все грани — квадраты; в каж­дой вершине сходится по три ребра. Куб представ­ляет собой прямоугольный параллелепипед с рав­ными ребрами.

У октаэдра грани — правильные тре­угольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.

У додекаэдра грани — правильные пя­тиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. У икосаэдра грани — правильные треуголь­ники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каж­дой вершине сходится по пять ребер.

Цилиндр

Цилиндром называется тело вращения, которое состоит из двух кру­гов, не лежащих в одной плоскости и совмещае­мых параллельным переносом, и всех отрезков, со­единяющих соответствующие точки этих кругов.

Целиндр наз-ся прямым, ели его образующие перпендикулярны осноываниям.

Осевое сечение –прямоугольник

Параллельно оси - круг

Произвольно-овал

теорема

плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Призмой, вписанной в цилиндр, назы­вается такая призма, у которой плоскостями ос­нований являются плоскости оснований цилинд­ра, а боковыми ребрами — образующие цилинд­ра.

Конус

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основа­ния.

Сечение ч/з вершину треугол.

Сечение парл-но осн. –круг

Осевое сечение усеченного конуса явл. Трапеция.

Шар

Шаром называется тело, которое состо­ит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное рас­стояние — радиусом шара.

Граница шара называется шаровой по­верхностью или сферой.

Отрезок, соединяющий две точки ша­ровой поверхности и проходящий через центр ша­ра, называется диаметром.

Сечение шара плоскостью Теорема

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опу­щенного из центра шара на секущую плоскость.

Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Вписанные и описанные многогранники

Многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхнос­ти шара. Многогранник называется описанным около шара, если все его грани касаются поверх­ности шара.