ВАРИАНТ №9
Задача 1. Найти датированную сумму на конец 3 лет при эффективных 6%, эквивалентную 10 млн. рб с процентами за 10 лет при j2=5%
Решение:
Чтобы показать, что при годовой ставке сложных процентов i вычисление сложных процентов производится m раз в году по ставке i/m эту ставку обозначают jm. По условию сложные проценты начисляются 2 раза в год. Наращенная сумма сложных процентов, начисляемая m раз в год, определяется по формуле:
где S(0) – начальная сумма вклада;
jm = 5% = 0,05 – годовая ставка сложного процента, начисляемая m=2 раз в год, в долях;
S(10) = 10 000 000 рб – сумма на конец 10 года;
Найдём начальную сумму вклада:
Определим сумму на конец 3 лет по формуле наращенной суммы сложных процентов:
где i = 6% = 0,06 – эффективная норма процента
Ответ: S(3) = 7 248 424,57 рб
Задача 2. Контракт предполагает платежи по 1 млн. рб в конце каждого квартала в течение следующего года и дополнительный заключительный платёж 5 млн. рб в его конце. Какова стоимость этого контракта наличными, если деньги стоят j4=5%?
Решение:
Годовая норма j4=5% называется номинальной ставкой, означает, что годовая номинальная норма 5% конвертируется 4 раза в год, и что i =0,05/4=0,0125 является нормой процента за один квартал.
Стоимость контракта определим по формуле:
где S(t) =1 000 000 рб – сумма, выплачиваемая в конце каждого квартала;
i = 0,0125 – норма процента за один квартал;
S = 5 000 000 рб – заключительный платёж;
n = 4 – количество кварталов в рассматриваемом периоде;
t = 1 … 4 – квартал.
= 8 635 679 (рб)
Ответ: начальная стоимость контракта составляет 8 635 679 рб
Задача 3. Преобразовать общий аннуитет с полугодовыми платежами по 10 млн. руб. а простой аннуитет а) если деньги стоят j1 = 6%, б) если деньги стоят j4 =6%
Решение: Введем обозначения:
W = 10 000 000 рб - платежи общего аннуитета;
p=2 - количество платежей общего аннуитета в год;
R - платежи обыкновенного простого аннуитета, который является эквивалентной заменой общего аннуитета, делаемые m раз в год.
i - норма процента за период конверсии;
m - число периодов начисления процента в год;
а) по условию: j1 = 6%, m=1
i = jm / m = 0,06 / 1 = 0,06
а) по условию: j4 = 6%, m=4
i = jm / m = 0,06 / 4 = 0,015
Ответ: а) R = 20 295 630 рб, выплачиваемые 1 раз в год.
б) R = 4 962 779 рб, выплачиваемые 1 раз в квартал
Задача 4. Некто будет выплачивать долг 6 млн. рб с процентной ставкой j4= 6% равными ежеквартальными платежами в течение 8 лет. Какими будут эти платежи?.
Решение:
Определим норму процента за квартал
i = jm /m = 0.06 / 4 = 0.015
Ежеквартальные платежи аннуитета определим по формуле:
где А= 6 000 000 рб – сумма долга;
i =0,015 – норма процента за квартал;
n= 8 *4= 32 квартала – срок аннуитета.
Ответ: ежеквартальные платежи составят 237 462,58 рб
Задача 5. Оборудование стоимостью 100 млн. рб приобретается выплатой 10 млн. рб наличными и десятью полугодовыми платежами по 10 млн. рб Найти процентную ставку j2.
Решение:
Формула начальной стоимости аннуитета:
где А – начальная стоимость аннуитета;
R = 10 млн. рб – величина полугодового платежа;
i – норма процента за полугодие;
n= 10 полугодий – срок аннуитета.
Стоимость оборудования: СО = 100 млн. рб
Первоначальный взнос: ПЗ = 10 млн. рб
СО = ПЗ + А
Используя метод подбора значений в Exel находим i = 0,01963
j2 = i * m = 0,01963 * 2 = 0,03926
Ответ: j2 = 0,03926
Задача 6. Некто занимает 10 млн рб под проценты j2=5% и начинает выплачивать долг полугодовыми взносами по 500 тыс. рб. После 10 платежей он желает изменить размер платежей, чтобы ликвидировать долг пятнадцатью взносами. Какими должны быть новые платежи?
Решение:
Определим невыплаченную сумму долга после выплаты 10-го платежа
где i = j2 / 2 = 0,05 / 2 = 0,025 – норма процента за полгода;
А = 10 000 000 рб – сумма долга;
R = 500 000 рб – полугодовые взносы;
n = 10 – количество полугодовых платежей.
Величину пятнадцати полугодовых платежей определим по формуле:
где n= 15 – количество платежей.
Ответ: R=581450.20 рб – величина нового полугодового платежа.
Задача 7. Сумма аннуитета, выплачивающего по 100 тыс. рб через каждые полгода, в конце 35 лет равна 200 млн. рб. Найти процентную ставку j12.
Решение:
где S = 200 000 тыс. рб – сумма в конце 35 года;
R = 100 тыс. рб – полугодовой платёж;
n = 35*2 = 70 – количество платежей
i – полугодовая норма процента
Используя метод подбора значений в Exel находим i = 0,07423
j2 = i * m = 0,07423 * 2 = 0,14846
Используя правило эквивалентности ставок, находим j12
Ответ: j12 = 0.14407
Список использованной литературы.
Кочетыгов математика. – Ростов н/Д: Изд-во «Феникс», 2004. – 480с. Медведев курс финансовой математики: Учебное пособие – М.: ТОО «Остожье», 2000 – 267с. Одинец финансовой математики для предпринимателей. Сывтывкар: Изд-во Коми пед. ин-та, 2008. Фомин математика 300 примеров и задач. М.: Гном-пресс, 2000