Множества и отношения

Тема 2. Множества и отношения

Тема 2.1. Множества. Операции над множествами

Решение  задач на доказательство равенств, следует начинать с построения кругов Эйлера для левой и правой части равенства. Если картинки не совпали, то пример уже решен и доказано, что равенство не имеет места. В противном случае рекомендуется перейти к свойствам операций над  множествами.

Пример.

Доказать, что .

Решение.

Построим круги Эйлера для левой и правой частей:

Левая часть:

Правая часть:

Перейдем к  свойствам операций над  множествами: .

Пример.

Найти (BD)\C,        (AB)\C,        (CD)(B\A), если  , , , .

Решение.

Найдем  (BD)\C. Для наглядности изобразим множества интервалами:         

  BD =   (BD)\C =

Найдем  (AB)\C.        

 

  (AB) =   (AB)\C =

Найдем  (CD)(B\A).                

 

  CD = Ш         B\A =

(CD)(B\A) = Ш (B\A) = B\A = .

Тема 2.2. Мощность множества

Пример.

В школе 1400 учеников, из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 на коньках, ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60. Сколько учащихся умеют кататься и на лыжах и на коньках?

U={школьники},  В={на коньках},  А= {на лыжах},  С={не умеют}.

=1400,  =952,  =1250,  =60.

= 1400-60 = 1340 - те кто умеет кататься

Пример.

В заметке студенческой газеты были приведены следующие данные: 420 учатся на хорошо и отлично; 580 посещают спортивные секции, 283 играют на музыкальных инструментах. При этом  195 студентов  посещают спортивные секции и играют на музыкальных инструментах, 35  учатся на хорошо и отлично и  играют на музыкальных инструментах, 155 учатся на хорошо и отлично и посещают спортивные секции. Сколько студентов  учатся на хорошо и отлично, посещают спортивные секции и играют на музыкальных инструментах, если в техникуме 1013 человек, из которых 100 студентов, которые не учатся на хорошо и отлично, не посещают спортивные секции, не  играют на музыкальных инструментах?

Решение.

Введем следующие обозначения:

O − множество студентов, которые учатся на хорошо и отлично.

|O| = 420.

S − множество студентов, которые посещают спортивные секции.

|S| = 580.

M − множество студентов, которые  играют на музыкальных инструментах.

|M| = 283.

− множество студентов, которые или учатся на хорошо и отлично, или  посещают спортивные секции или  играют на музыкальных инструментах.

= 1013 −100 = 913.

− множество студентов, которые  посещают спортивные секции и играют на музыкальных инструментах.

= 195.

− множество студентов, которые учатся на хорошо и отлично и  играют на музыкальных инструментах.

= 35.

− множество студентов, которые учатся на хорошо и отлично и посещают спортивные секции.

= 155.

− множество студентов, которые учатся на хорошо и отлично, посещают спортивные секции и играют на музыкальных инструментах.

.

= 283 + 580 −195 = 668.

= 420 + 580 − 35 = 965.

= 283 + 420 − 155 = 548.

= 420 + 580 + 283 − 965 − 668 − 548 + 913 = 15.

Задание.

В студенческой группе из 30 человек 10 юношей. На экзамене по  математике пятерки получили 13 человек, из них 4 девушки. На экзамене по  физике пятерки получили 18 человек, из них 7 девушек. Сколько студентов получили пятерки по математике и физике, если 12 человек  не получили ни одной пятерки?

Решение. Введем следующие обозначения:

G − множество студентов группы, | G | = 30.

Y − множество юношей группы, |Y| = 10.

D − множество  девушек группы, |D| =| G | − |Y| = 20.

F − множество студентов, получивших пятерки по физике, |F | = 18.

M − множество студентов, получивших пятерки по математике, |M| = 13.

DF − множество девушек, получивших пятерки по физике, |DF| = 7.

DM − множество девушек, получивших пятерки по математике, |DM| = 4.

Доделайте задания самостоятельно.

Тема 2.3. Отношения на множества

Пример. 

Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие сле­дующим бинарным отношениям на множествах  U = {1, 3, 5, 7} и  V = {2, 4, 6}:

(а)         = {(x, y): х + у = 9};

(б)         = {(х, у) : х < у}.
Решение.

(а)         состоит из пар: (3, 6), (5, 4) и (7, 2);

(б)         = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 4), (3, 6), (5, 6)}.

Задание. 

Множество = {(х, у) : х — делитель у} определяет отношение на множестве А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Найдите  упорядоченные пары, ему принадлежащие.

Пример. Найдите ○, ○, если ,, .

Решение:

Чтобы найти композицию ○ будем брать пару , подбирать к ней «подходящую» пару и записывать новую пару . Получаем: .

Аналогично найдем ○, выбирая первую пару из множества , а вторую из – : .

Задание.

Определите свойства отношения , если  , .