ОПРЕЛЕНИЕ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТВЕРДЫХ ТЕЛ. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ.
Цель работы
Измерение модуля Юнга различных материалов. Измерение скорости распространения продольных колебаний в тонких стрежнях. Исследование явления акустического резонанса.
В работе используются: генератор звуковых частот, частотомер, осциллограф, электромагнитные излучатель и приемник акустических колебаний, набор образцов в виде стержней и «толстых» цилиндров из различных материалов (стали, алюминия, латуни, текстолита и т. д.).
Распространение продольных волн в тонких стержнях. Акустические волны, распространяющиеся в металлических стержнях, существенно отличаются от волн в неограниченной среде. Строгий анализ распространения таких волн связан с довольно громоздкими и трудными математическими расчетами. Будем рассматривать волны, длина которых л велика или сравнима с радиусом R стержня. Рассмотрим распространение продольной волны вдоль оси тонкого стержня постоянного сечения площадью S. Стержень считается тонким в том случае, когда радиус стержня R мал по сравнению с длиной волны л, т. е. 
. Направим ось x вдоль геометрической оси стержня (рис. 1).
|
Рис. 1. Силы, действующие на элемент стержня при продольных колебаниях. |
Под действием продольной силы F элементарный отрезок стержня Дx, ограниченный плоскостями Дx и x + Дx, растянется или сожмется на величину До. Относительное удлинение, т. е. деформация элемента стержня, равна ∂о/∂x. Напряжение у, т. е. сила, действующая на единицу поперечного сечения стержня, согласно закону Гука, равна:
(1)
Коэффициент пропорциональности Е носит название модуля Юнга и имеет размерность Н/м2.
В результате переменной деформации вдоль оси стержня будет распространяться продольная волна. Действительно, в сечениях x и x + Дx напряжения будут различными, а их разность можно записать следующим образом:
(2)
Эта разность напряжений вызовет движение элемента стержня массой m = SсДx вдоль оси x (с - плотность материала стержня). Используя соотношения (1) и (2), на основании второго закона Ньютона уравнение движения этого элемента можно записать в виде:
(3)
Обозначив Е/с через (сст)2, выражение (3) запишем в следующем виде:
(4)
Это уравнение носит название «волнового уравнения». Оно, в частности, описывает распространение продольных волн в стержне. Общее решение волнового уравнения можно представить в форме двух бегущих волн, распространяющихся в обе стороны вдоль оси x со скоростью сст:
(5)
где f и g - произвольные функции. В случае гармонического возбуждения колебаний функции f и g являются синусоидальными 
. Параметр ccm в выражениях (4) и (5) имеет смысл скорости распространения волны. В рассматриваемом нами случае 
скорость распространения упругой продольной волны стремится к величине
(6)
В данной работе используются именно такие волны. Отметим, что в высокочастотном пределе при 
скорость акустических волн в стержне стремится к скорости продольных волн в неограниченной среде:
( 7 )
где, µ - коэффициент Пуассона.
Измерение скорости распространения продольных волн в стержне.
Зная плотность материала и величину скорости cст можно по формуле (6) вычислить модуль Юнга материала Е. Для определения скорости cст в данной работе используется метод акустического резонанса. Это явление состоит в том, что при определенных частотах гармонического возбуждения колебаний волны, распространяющиеся по стержню в противоположные стороны, оказываются в одинаковой фазе, что приводит к резкому увеличению амплитуды колебаний.
В данной работе возбуждение колебаний происходит посредством воздействия на торец стержня периодической силой, направленной вдоль его оси. Возбуждаемая при этом волна испытывает многократные отражения от торцов стержня. При этом прямая и отраженная волны оказываются в фазе и усиливают друг друга, если на длине стержня укладывается целое число полуволн, т. е. 
, где L – длина стержня, а n – произвольное целое число. Число n называют номером гармоники. Зная номер гармоники и частоту fn, на которой наблюдается резонансное усиление амплитуды колебаний, вызванных периодическим воздействием на торец стержня можно рассчитать скорость распространения продольных волн в стержне:
(8)
Таким образом, для того, чтобы измерить скорость сст, нужно измерить частоты, на которых наблюдаются акустические резонансы и, зная номера гармоник и геометрические размеры стержня, рассчитать скорость по формуле (8). Далее, по формуле (6) можно рассчитать и модуль Юнга материала, из которого изготовлен стержень. Этот метод определения модуль Юнга материала является одним из самых точных.
Описание экспериментальной установки
Схема экспериментальной установки приведена на рисунке 2. Исследуемый образец 5 в виде тонкого стержня или цилиндра закрепляется при помощи двух опорных призмах на стойке 10. Рядом с торцами стержня расположены электромагниты 4 и 6. Крепления электромагнитов (9, 11) дают возможность регулировать их расположение по высоте, а также перемещать вправо-влево по направляющей 12.
Электромагнит 4 служит для возбуждения упругих механических колебаний в образце. Он создает переменное синусоидальное магнитное поле, которое воздействует на небольшой магнит, вмонтированный в торец стержня. Сигнал на возбуждающий электромагнит подается с генератора звуковой частоты 1. Также сигнал с генератора поступает на частотомер 2 и вход канала I осциллографа 3.
Приемный электромагнит 6 служит для преобразования механических колебаний в электрические. Сигнал от него поступает на усилитель звуковой частоты 7, а с выхода усилителя - на вход канала II осциллографа.
Рис. 2: Схема установки.
1 - генератор звуковой частоты, 2 - частотомер, 3 - осциллограф, 4 - электромагнит-возбудитель, 5 - образец, 6 - электромагнит-приемник, 7 - усилитель звуковой частоты, 8 - блок питания усилителя, 9,11 - стойки крепления электромагнитов, 10 - стойка крепления образца, 12 - направляющая.
Задание
Задания, отмеченные звездочкой, выполняются по указанию преподавателя.
Включить питание всех приборов и дождаться их прогрева (3-5 минут). При помощи осциллографа проконтролировать наличие сигнала генератора. Установить на генераторе частоту 1000 Гц. Отдодвинув среднюю стойку, сдвинуть электромагниты на расстояние 10-15 см. Проконтролировать сигнал с приемного электромагнита на экране осциллографа. При этом как и во всех следующих опытах рекомендуется использовать сигнал генератора в качестве опорного для синхронизации осциллографа. * Определить рабочий диапазон частот установки. Для этого, понижая частоту генератора, добиться падения амплитуды принятого сигнала в два раза по сравнению с амплитудой на частоте 1000 Гц. Найденное значение частоты принять за нижнюю границу диапазона. Аналогично, повышая частоту, найти верхнюю границу. * Измерить зависимость сдвига фаз между сигналом с генератора и сигналом с приемного электромагнита от частоты. Вернуть среднюю стойку в исходное положение. Разместить при помощи опорных призм один из стержней так, чтобы его центр тяжести находился между призмами. Т. е. Зафиксировать стержень в точке, являющейся его центром масс. Выставить электромагниты напротив торцов стержня так, чтобы зазор между полюсами электромагнита и торцевой поверхностью составлял 1-3 мм. Не допускать соприкосновения электромагнита со стержнем!5. Медленно перестраивая звуковой генератор в диапазоне от 2000 до 6000 Гц, найти резонанс, наблюдая за амплитудой колебаний на экране осциллографа. При приближении к резонансу амплитуда принятого сигнала резко возрастает. Точно найденный резонанс характеризуется следующими признаками:
- амплитуда принятого сигнала достигает максимума; амплитуда не меняется во времени (отсутствуют «биения»);
Внимание! Для металлических образцов резонансная кривая имеет очень острый пик, его ширина составляет единицы герц. Перестройку генератора необходимо производить максимально плавно и медленно.
6. Считать значение резонансной частоты fрез с индикатора частотомера и записать в лабораторный журнал.
6б*. Перестраивая генератор в близи частоты равной fрез/2, добиться возбуждения резонансных колебаний в стержне. Сигнал с приемного электромагнита при этом будет иметь частоту fрез, т. е. в два раза превышать частоту возбуждающего сигнала. Постарайтесь объяснить это явление.
7. Получить резонанс на частотах, соответствующих следующим гармоникам Для этого, плавно перестраивая генератор в районе частоты 2 fрез, добиться резонанса, аналогично п. 5. Записать точное значение частоты в лабораторный журнал. Пронаблюдать возникновение резонансов на частотах 3 fрез, и 4 fрез и т. д. в пределах рабочего диапазона, найденного в п. 3. При этом гармоники четных номеров будут гораздо слабее. Объясните, почему. По результатам постройте график зависимости fрез(n), где n – номер гармоники.
8. Измерить длину стержня или цилиндра и записать в лабораторный журнал.
9. Повторить п. п. 4-8 со всеми остальными образцами.
10*. Определить декременты затухания из опытов на тонких стержнях.
11. Определить плотность материала каждого из образцов. Для этого необходимо взвесить образец и измерить его линейные размеры. Диаметр образца измерять в пяти местах: два у торцов образца, один в середине длины и два между этими точками. Зная массу m, длину l и средний диаметр d, вычислить плотность по формуле:
12. Вычислить скорость звука, модуль Юнга для каждого из образцов, используя формулы (6) и (8) для тонких стержней. Рассчитать погрешности измерения. Представить результаты в виде таблиц и графиков. Сравнить полученные величины модулей Юнга с табличными значениями.
