Пример. Вычисление коэффициентов парной, множествен­ной и частной корреляции.

В таблице 5.3.1 представлена информация об объемах продаж и затратах на рекламу одной фирмы, а также индекс потребительских расходов за ряд текущих лет.

Определить степень влияния индекса потребительских расходов на объем продаж (вычислить коэффициент парной корре­ляции). Оценить значимость вычисленного коэффициента парной корреляции. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции по трем переменным. Найти оценку множественного коэффициента корреляции. Найти оценки коэффициентов частной корреляции.

  Таблица 5.3.1

Объем продаж

(У)

Затраты на рекламу (Х1)

Индекс потребит. расходов %(Х2)

Объем продаж (У)

Затраты на рекламу (Х1)

Индекс потребит. расходов % (Х2)

126

4

100

367

19,8

108,3

137

4,8

98,4

367

10,6

109,2

148

3,8

101,2

321

8,6

110,1

191

8,7

103,5

307

6,5

110,7

274

8,2

104,1

331

12,6

110,3

370

9,7

107,0

345

6,5

111,8

432

14,7

107,4

364

5,8

112,3

445

18,7

108,5

384

5,7

112,9

Решение.

Вычислим коэффициент корреляции между переменными Х2 (индекс потребительских расходов) и У (объем продаж).

Средние значения случайных величин Х2 и У, характеризующие последовательности х1, х2, …,х16  и у1, у2, …,у16, рассчитаем по формулам:

=107,23;  =306,81

Дисперсии характеризуют степень разброса значений х1, х2, …,х16  и у1, у2, …,у16  вокруг своего среднего ( соответственно):

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Sx2=

Sy2==10581,23

Стандартные ошибки случайных величин Х2 и У рассчитываем по формулам:

Sx==4,51;  Sy==102,87.

Коэффициент парной корреляции:

ry, x===0,816

Оценка значимости коэффициента корреляции.

Находим значение t-статистики:

tрасч==5,282.

Табличное значение критерия Стьюдента tтабл (б=0,1; х=n-2=14) равно1,7613. Сравниваем числовые значения критериев: tрасч > tтабл, т. е. полученное значение коэффициента корреляции значимо.

Таким образом, индекс потребительских расходов оказывает весьма высокое влияние на объем продаж.

Матрица R коэффициентов парной корреляции для трех факторов:

R=

Множественный коэффициент корреляции У с Х1 и Х2:

R1,2,3==0,9269,

где - определитель корреляционной матрицы R – равен 0,1304, R11 –алгебраическое дополнение элемента r11 матрицы R равен 0,925.

Коэффициент частной корреляции:

r12(3)= - =0,706;

r12(3)= - =0,871,

где R12, R13 –алгебраические дополнения элемента r12, r13 матрицы R, а R22 –алгебраическое дополнение элемента r22 матрицы R.

Для решения примера средствами Excel, можно воспользоваться функцией         =КОРРЕЛ(), указав адреса двух столбцов чисел.

(Примечание. Аргументы функции  =КОРРЕЛ() должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если массив1 и массив2 имеют различное количество точек данных, то функция КОРРЕЛ возвращает значение ошибки # н/д. Если массив1 или массив2 пуст или если у (стандартное отклонение) их значений равно нулю, то функция КОРРЕЛ возвращает значение ошибки # дел/ у!).

Критическое значение  t-статистики Стьюдента может быть получено с помощью функции СТЬЮДРАСПРОБР пакета Excel. В качестве аргументов функции необходимо задать число степеней свободы равное n-2 и уровень значимости б (0,1; 0,05).

Пример. Оценить тесноту связи между объемом выпуска продукции и температурой определенного технологического процесса. Данные, полученные в результате эксперимента, представлены в таблице 5.4.1.

Таблица 5.4.1

Температура Х, С0

600

625

650

675

700

725

750

775

800

825

850

Объем выпуска продукции У, шт

127

139

147

147

155

154

153

148

146

136

129

Решение.

Значение результативного признака У разобьем на пять групп, т. е. k=5. В основе группировки – исследуемый фактор Х. Вычисления в  таблице 5.4.2.

Таблица 5.4.2

Номер группы

Кол-во элементов в j–й группе  mj

Значения yi попавшие в j-ю группу

Среднее значение У в j–й группе

(-)2

1

2

127; 139

133

17689

2

2

147; 147

147

21609

3

3

155; 154; 153

154

23716

4

2

148; 146

147

21609

5

2

136; 139

132,5

17556,25

Общая средняя: =1/11(2*133+2*147+3*154+2*147+1*132,5)=143,727.

Межгрупповая дисперсия: Syj2==841,6816/ 11=76,5165 

Общая дисперсия: Sy2==942,18/11=85,6529.

Корреляционное отношение: Ю==0,945.

Значение Ю=0,945 свидетельствует о наличии сильного нелинейного влияния температуры на объем выпуска продукции.