Классификация текстовых задач

Классификация текстовых задач

Традиционно в России задачи в обучении занимали одно из ведущих мест. С древнейших времен люди сталкивались с необходимостью решения различных практических задач. Приходилось отыскивать всё новые способы их решения, поэтому текстовые задачи изначально были «движущей силой» развития математики.

Первая причина большого внимания к задачам заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определенного круга вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики - линия числа - еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.

Второй причиной повышенного внимания к использованию текстовых задач  является то, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения.

Что же такое «математическая задача»? Среди множеств определений этого понятия (, , и многие другие) ближе всего нам показалось следующее: математическая задача – это требование осуществить некоторую математическую деятельность в указанных условиях.

В классификации задач используются разные основания, например:

по теме задачи (на движение, на работу, на проценты, на смеси и сплавы); по уровню сложности (простые, сложные, олимпиадные); по методам поиска решения (алгоритмические, типовые, эвристические); по требованию задачи(на построение, вычисление, доказательство) и т. д.

В процессе выбора основания для классификации математических задач мы познакомились с книгой и «Изложение основ арифметики и алгебры в учебниках Л. Эйлера и . Сходство и различие», в которой приводится классификация задач на основе содержательной направленности.

В первом и втором номерах журнала «Математическое образование» за 1915 год была опубликована статья русского математика «Классификация арифметических задач», в которой автор обосновывает преимущество классификации арифметических текстовых задач по методам решения, а не по фабуле (теме) или материальной форме задачи. Несмотря на то, что с момента публикации данной статьи прошло более 100 лет, она и сейчас остаётся актуальной. Вслед за  Иваном Ивановичем Александровым мы предлагаем классификацию математических задач на основе метода решения.

Заметим, что некоторые задания, предложенные в разделе «Пример решения задачи», могли быть отнесены в несколько разделов классификации. Этим и интересна математика – выбор всегда за тем, кто решает!

КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

(на основе выбора метода решения)

Сборник арифметических задач и упражнений. Издательство Учпедгиз, 1940 год

Метод решения задачи	Краткая характеристика метода решения	Пример решения задачи
Арифметический*	Ответ на требование задачи получают посредством последовательного выполнения арифметических действий над числами.	На первой полке стоит 24 книги, на второй – на 13 книг больше, чем на первой, а на третьей – на 5 меньше, чем на второй. Сколько книг на трёх полках? Решение. 24+13=37 (кн.) – на второй полке. 37-5=32 (кн.) – на третьей полке. 24+37+32=93 (кн.) Ответ:на трёх полках 93 книги.
Алгебраический	Ответ на требование задачи получают, составив и решив уравнение (неравенство) или систему уравнений (неравенств).	За 7 топоров и 9 сох заплатили 41 руб., а за 5 топоров и 9 сох по тем же ценам заплатили 37 руб. Сколько стоит один топор и одна соха? Решение. Пусть х (руб.) стоит один топор, у (руб.) – одна соха. Составим и решим систему уравнений.   7х+9у = 41;  х = 2;   5х+9у = 37.  у = 3. Ответ:один топор стоит 2 руб., одна соха стоит 3 руб.
Геометрический	Ответ на требование задачи получают, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.	Охотник вышел из дома и прошёл 6 км на север и 8 км на восток. На каком расстоянии от дома находится охотник? Решение.   8 км 6 км  ? км Искомое расстояние – длина гипотенузы прямоугольного треугольника с известными катетами. По теореме Пифагора находим расстояние: 10 км. Ответ:охотник находится на расстоянии 10 км от дома.
Исключение неизвестных	Ответ на требование задачи получают, заменив одно неизвестное другим.	Смешали 9 фунтов орехов первого сорта с 11 фунтами второго и 7 фунтами третьего сорта. Сколько стоит фунт орехов каждого сорта, если вся смесь стоит 6 руб. 61 коп., а фунт первого сорта дороже фунта второго на 15 коп., а фунта третьего – на 17 коп.? Решение. Заменим орехи первого и второго сорта орехами третьего сорта. Рассчитаем, на сколько понизится стоимость смеси: 17·9+2·11=175 (коп.). Стоимость смеси составит: 661-175=486 (коп.) – 27 фунтов орехов третьего сорта. 486:27=18 (коп.) – стоит фунт орехов третьего сорта. 18+17=35 (коп.) - стоит фунт орехов первого сорта. 35-15=20 (коп.) - стоит фунт орехов второго сорта. Ответ:первый сорт - 35 коп., второй сорт -20 коп., третий сорт – 18 коп. за фунт.
«Обратный ход»	Ответ на требование задачи получен в результате выполнения действий в порядке, обратном указанному в условии задачи.	Иванистратил 30 руб., после чего удвоил оставшиеся деньги. Затем он истратил 60 руб., после чего опять удвоил оставшиеся деньги. Когда он еще истратил 90 руб., у него осталось 70 руб. Сколько денег было вначале? Решение. Выполним действия в обратном порядке. Берем оставшиеся 70 р., добавляем к ним истраченные 90 р. (160 р.), затем делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как второй раз удвоили оставшиеся деньги (80 р.). После этого добавляем 60 р. и находим, сколько денег было до того, как истратили 60 р. (140 р.). Делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как первый раз удвоили оставшиеся деньги (70 р.), прибавляем истраченные в первый раз 30 р. и находим первоначальное количество денег (100 р.). Ответ:первоначально было 100 рублей.
Метод проб и ошибок**	Ответ на вопрос задачи угадывается. Основной момент решения - выбор пробного ответа на вопрос задачи и последующая проверка соответствия условию. В случае неудачи выдвигается новое предположение и т. д., пока не будет получен верный ответ.	В клетке находятся фазаны и кролики, у всех животных 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке кроликов и фазанов? Решение. Предположим, что в клетке находятся только фазаны. 35·2 = 70 (ног) – не соответствует условию. 94-70 = 24 (ноги) – надо «добавить». Так как у кролика на две ноги больше, чем у фазана, значит, 24 ноги будут добавлены за счёт добавления 12  кроликов. Проверка: 12·4 + (35-12)·2 = 94 (ноги). Ответ:12 кроликов, 23 фазана.
Практический***	Ответ на требования задачи получен в результате выполнения практических действий с предметами или их копиями (моделями, макетами и т. д.).	Крестьянин купил на базаре 12 птиц. Из них 4 курицы, 5 уток, остальные – гуси. Сколько гусей купил крестьянин? Решение. Обозначим каждую птицу кружком. Нарисуем 12 кружков и обозначимих: к - куры, у - утки.   к  к  к  к  у  у  у  у  у Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество купленных гусей соответствует тем кружкам, которые не обозначены (их 3). Ответ: 3 гуся.
Комбинированный	Ответ на вопрос задачи получен сочетанием нескольких методов.	Извозчик берёт за проезд 10 верст 25 копеек с одного человека. Сколько копеек надо заплатить за поездку 4 господам, если проехали они 15 вёрст? Решение. Начнём решать задачу алгебраическим методом: пусть х (коп.) заплатит один господин за поездку. 10 = 25 15 х   х = 37,5 (коп.) Продолжим решать задачу арифметическим методом: 37,5 · 4 = 150 (коп.) Ответ:150 копеек.

_____________

Арифметический* - данный метод можноохарактеризовать более подробно, например, включить методы решения «на части», «на уравнивание» и т. д.

Метод проб и ошибок** - похожий метод описан в старинных учебниках как «фальшивое правило».

Практический***- этот метод в основном используется для решения текстовых задач в начальной школе.