Задачи

РАЗДЕЛ 1

Задача 2.

Из приведенных утверждений не является высказыванием:

«Война и мир» - интересная книга

дважды два – четыре

дважды два – семь

Лондон – столица Франции

Задача 4.

В ящике 8 стандартных и 4 бракованных детали. Найти вероятность того, что среди трех вынутых деталей 2 стандартных.

Задача 5.

В поисках нужного товара покупатель может обойти три магазина. Найти вероятность того, что он купит нужную вещь, если вероятность ее наличия в каждом магазине равна 0,3.

Задача 6.

Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,47. Найти вероятность попадания при выстреле первого орудия, если для второго орудия она равна 0,7.

Задача 7.

В ящике 15 деталей, изготовленных в цехе №1, 5 деталей, изготовленных в цехе №2, и 30 деталей, изготовленных в цехе №3. Вероятность брака для деталей цеха №1 равна 0,02, цеха №2 – 0,05 и цеха №3 – 0,01. Из ящика вынута деталь. Найти вероятность того, что она доброкачественная.

Задача 8.

Имеются три одинаковые урны, в первой из которых два белых и один черный шар, во второй один белый и два черных и в третьей три белых шара. Из наугад выбранной урны вынут белый шар. Найти вероятность того, что шар взят из второй урны.

Задача 9.

Для поражения трех целей орудие может произвести не более 5 выстрелов. Вероятность поражения цели при любом выстреле равна 0,4. Определить вероятность того, что будет поражено 2 цели.

Задача 10.

Из полного набора костей домино наугад выбираются две. Найти вероятность того, что выбранные кости можно приставить друг к другу.

Задача 11.

Двое договорились встретиться в определенном месте между 10 и 11 часами, причем пришедший первым ждет второго в течение 10 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если время прихода каждого равновозможно в течение часа.

Задача 12.

В урне содержится 7 белых, 5 черных и 8 красных шаров. Шары выбираются наугад, причем белый или черный шар в урну не возвращается, а извлеченный из нее красный шар после проверки его цвета укладывается назад в урну. Найти вероятность того, что среди первых двух последовательно вынутых шаров будет один черный.

Задача 13.

В первой урне 4 белых и 5 черных шаров, во второй – 6 белых и 3 черных. Из первой урны переложили один шар во вторую, затем из второй урны вынули наудачу 2 шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары разных цветов.

Задача 14.

В группе 5 хорошо подготовленных к экзамену студентов, 12 – подготовленных средне и 3 – слабо подготовленных. Вероятности правильного ответа на вопрос из экзаменационного билета равны для этих категорий студентов соответственно 0,95, 0,7 и 0,2. Случайно выбранный студент не ответил на вопрос. Найти вероятность того, что он подготовлен слабо.

Задача 15.

Попадание случайной точки в любое место области равновозможно, а область состоит из четырех частей, составляющих соответственно 50, 30, 12 и 8% всей области. При испытании имело место событие , которое происходит только при попадании точки в одну из этих частей с вероятностями соответственно 0,01, 0,05, 0,2 и 0,5. В какую из частей области вероятнее всего произошло попадание?

Задача 16.

Волейбольный матч играется до трех побед. Вероятность победы одной из команд в каждой партии равна 0,7. Найти вероятность того, что матч закончится со счетом 3:2 в пользу этой команды.

РАЗДЕЛ 3

Задача 1.

Дана выборка: 5, 4, 4, 2, 4, 7, 4, 5, 6, 4. Найти выборочное среднее.

Задача 2.

Дан статистический ряд выборки:

Найти исправленную выборочную дисперсию.

Задача 3.

Дана выборка значений случайной величины:

18.3 15.5 24.5 24.7 18.0 13.3 15.4 10.1 23.1 19.3 5.7 11.6 14.3 -4.5 20.3 32.3

Найти исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Задача 4.

Пассажир, приходящий в случайные моменты времени на автобусную остановку, в течение пяти поездок фиксировал свое время ожидания автобуса:

5,1; 3,7; 1,2; 9,2; 4,8 (мин).

Известно, что автобус ходит с интервалами в минут. Оценить методом наибольшего правдоподобия.

Задача 5.

Дана выборка значений случайной величины Х, распределенной по нормальному закону:

Методом моментов найти оценку параметра

Задача 6.

Дана выборка значений нормально распределенной случайной величины:

18.3 15.5 24.5 24.7 18.0 13.3 15.4 10.1 23.1 19.3 5.7 11.6 14.3 -4.5 20.3 32.3

Найти доверительный интервал для математического ожидания при доверительной вероятности 0,95.

Задача 7.

Дана выборка значений нормально распределенной случайной величины:

8.0 -1.1 13.5 10.0 2.4 4.1 20.0 12.4 13.4 4.8 7.8 0.0 10.9 13.7 6.6

Найти доверительный интервал для среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 0,999.

21.2.

Дополнительные задачи

Задача 8.

Дана выборка значений случайной величины:

2.0 4.8 5.2 3.8 3.5 3.2 3.2 3.9 4.9 2.8 3.7 1.8 3.4 2.3 3.2 4.5 0.5 3.3 2.8 2.5 1.4 3.2 3.5 2.2 2.3 3.5 3.5 4.1 4.4 2.3 1.9 2.2 3.8 3.4 2.2 3.1 2.1 2.1 3.2 2.5 2.1 2.9 2.8 3.1 4.3 2.8 4.0 2.3 2.7 2.4 2.4 2.3 2.4 2.9 2.2 3.6 2.1 3.2 2.3 2.9 2.0 4.7 3.5 2.8 3.0 -0.2 3.6 3.1 3.3 1.4 2.6 2.6 1.8 4.3 1.8 0.7 4.6 3.0 1.9 3.7 3.2 2.6 2.6 4.2 2.9 2.3 5.4 3.3 3.1 2.8 2.7 2.7 1.8 2.8 4.6 2.7 1.4 3.9 3.7 2.5

Найти выборочное среднее.

Задача 9.

Дана выборка значений случайной величины:

34.0 36.1 34.3 34.4 34.1 35.6 35.9 34.4 35.2 34.2 35.8 35.2 34.3 34.8 35.1 34.5 34.6 34.2 34.4 34.2 34.8 35.0 34.8 37.7 34.3 36.0 36.0 35.1 34.2 34.2 34.4 34.3 34.0 34.0 36.4 34.1 35.1 34.7 34.1 34.1 34.2 34.2 34.6 35.0 36.5 34.1 34.4 34.2 34.6 35.0 34.1 35.0 34.6 34.3 34.3 34.3 34.1 36.5 34.2 34.8 34.5 34.8 34.1 36.2 34.0 34.2 34.7 35.8 35.1 35.3 34.4 35.2 35.9 35.7 34.7 34.9 35.0 35.8 35.1 35.5 34.8 34.8 36.4 34.9 34.5 34.5 34.6 34.4 35.0 34.1 35.2 34.6 34.3 34.9 34.1 34.2 35.1 37.5 35.1 34.0

Найти выборочную дисперсию.

Задача 10.

Дана выборка значений двумерной случайной величины:

X 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0

Y 16.9 19.5 24.5 31.0 35.2 41.3 48.2 57.0 64.6 72.3

Используя метод наименьших квадратов, выбрать наилучший вид зависимости y = f (ax + b) и найти оценку параметров а и b.

Задача 11.

Дана выборка значений нормально распределенной случайной величины со средним квадратическим отклонением = 9:

38.3 26.1 10.5 26.9 25.4 12.1 12.3 15.1 14.0 21.6 23.5 13.0 21.4 24.1 26.6 25.8 12.7 15.2 32.9 22.1 25.7 13.6 27.8 22.8 10.1 27.8 23.8 19.8 24.7 29.2

24.4 5.6 19.4 30.1 15.3 8.4 14.2 22.8 30.8 36.2 22.0 20.5 14.1 18.6 14.7 24.1 26.9 26.2 8.8 22.5 26.3 37.0 37.3 25.1 17.4 37.1 29.6 27.9 30.1 6.2

20.8 27.0 19.2 20.9 28.0 22.2 12.7 15.5 19.6 24.5 24.2 35.4 34.7 25.1 14.1 19.6 40.8 18.4 30.1 26.1 43.0 40.3 27.4 20.1 29.2 25.0 31.5 34.7 5.1 24.6

8.1 33.7 32.2 10.3 29.0 12.6 26.0 28.4 11.1 33.4

РАЗДЕЛ 4

Задача 1.

Проведено 100 независимых испытаний, и относительная частота появления события А оказалась равной 0,14. Проверить при уровне значимости = 0,05 нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе

В ответе указать значение и сделать вывод о принятии или отклонении нулевой гипотезы.

Задача 2.

В серии из 500 независимых испытаний событие А появилось 391 раз, в серии из 700 испытаний – 523 раза. При уровне значимости = 0,04 проверить нулевую гипотезу (о равенстве двух вероятностей биномиальных распределений) при конкурирующей гипотезе

В ответе указать значение и сделать вывод о принятии или отклонении нулевой гипотезы.

Задача 3.

По выборке из 64 значений нормально распределенной случайной величины с дисперсией, равной 1600, найдено выборочное среднее

При уровне значимости = 0,01 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе . В ответе указать значение и сделать вывод о принятии или отклонении нулевой гипотезы.

Задача 4.

Имеются независимые выборки значений нормально распределенных случайных величин

Х: 13.2 115.7 68.9 13.1 58.1 110.7 48.1 35.9 8.6 109.4

и

Y: 24.3 88.9 79.6 8.8 58.0 56.0 64.6 34.2 36.9 48.2 66.0 65.1 58.5.

Проверить для уровня значимости = 0,03 при условии равенства генеральных дисперсий нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе

В ответе указать значение и сделать вывод о принятии или отклонении нулевой гипотезы.

Задача 5.

Имеются независимые выборки значений нормально распределенных случайных величин:

39.5 53.9 59.0 29.8 73.9 42.7 40.5 47.0 45.3 59.1

и

61.4 50.3 78.7 16.6 77.0 34.3 101.6 21.9 40.1 130.9.

Проверить при уровне значимости = 0,1 нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. В ответе указать значение и сделать вывод о принятии или отклонении нулевой гипотезы.

Задача 6.

Дана выборка значений непрерывной случайной величины:

12.3 19.9 17.4 9.7 14.7 18.6 23.8 14.1 17.6 17.6 9.6 12.4 6.4 10.3

13.3 26.3 15.0 11.1 14.7 32.0 10.0 29.4 11.7 31.0 23.2 19.9 28.4 12.9

8.6 23.1 22.7 23.2 7.2 11.3 22.0 17.6 26.9 12.6 13.2 16.1 8.0 27.8

16.3 0.5 14.5 16.5 19.6 10.3 26.7 20.6 30.3 30.5 25.1 7.8 15.6 17.8

18.3 5.5 33.3 19.6 19.3 0.8 17.2 19.6 7.0 18.9 26.7 26.4 14.9 13.0

26.1 18.5 3.0 3.7 18.8 25.4 16.9 15.1 16.1 4.7 9.7 33.7 35.3 31.4

5.6 21.6 23.1 26.2 26.9 4.5 16.3 18.4 -3.1 30.7 22.2 1.4 13.1 9.6

24.9 -7.5

Проверить при уровне значимости = 0,05 гипотезу о нормальном распределении рассматриваемой случайной величины. В ответе привести наблюдаемое значение критерия Пирсона и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.

Задача 7.

По данным двух выборок:

Выборка 1: 63 28 92 36 90 40 7 75 53 12 14 30 17 93 86 64

Выборка 2: 58 31 4 60 30 92 59 27 82 56 52 95 54 8 49 36

вычислить коэффициент ранговой корреляции Кендалла.

Задача 8.

По данным выборки двумерной случайной величины

( 51.2,-104.1) ( 58.0,-118.4) ( 55.1,-111.9) ( 52.7,-107.1) ( 52.2,-106.7)

( 62.6,-127.7) ( 27.0, -56.4) ( 52.0,-105.9) ( 41.5, -85.4) ( 52.7,-107.6)

( 49.9,-101.9) ( 44.3, -91.3) ( 56.1,-114.9) ( 36.0, -74.3)

и уровню значимости = 0,08 проверить гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. В ответе указать наблюдаемое значение критерия и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.

Задача 9.

По данным двух выборок:

Выборка 1: 96 66 57 67 34 53 79 39 25

Выборка 2: 92 89 47 15 13 73 75 22 3

проверить гипотезу о значимости выборочного рангового коэффициента Спирмена при уровне значимости = 0,1. В ответе указать наблюдаемое значение критерия и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.

27.2.

Дополнительные задачи

Задача 10.

Имеются независимые выборки значений нормально распределенных случайных величин:

139.3 31.2 131.2 112.1 54.0 77.3 24.9 106.0 96.4 22.2 92.8 111.0 49.6

61.3 95.9 52.1 124.0 57.8 99.5 71.0 79.3 99.6 133.9 1.7 122.0 41.3 27.0

-6.7 27.8 60.8 78.6 171.0 78.4 56.7 50.0 46.3 91.6 151.7 115.4 21.9 42.8 78.0 114.9 91.2 107.8 100.9 97.0 52.3 34.4 49.1 111.6 77.4 1.2 28.0 55.7 58.0 55.1 41.5 97.1 81.9 48.3 113.9 33.3 41.5 50.2 148.5 45.0 98.3 7.9 75.3 67.3 106.5 65.9 104.4 17.1 63.9 108.5 58.6 33.0 115.5 -13.3 60.3

71.1 56.3 34.9 61.5 65.2 71.8 87.4 57.8 63.1 56.9 126.0 90.9 70.6 132.5 86.3 108.2 82.0 56.4 (с дисперсией 1444)

и

116.0 65.5 115.1 89.5 62.7 92.7 63.9 71.8 73.7 70.1 88.6 81.5 70.5 102.8 76.8 83.2 105.0 88.5 85.5 105.6 54.6 85.5 60.1 76.8 47.8 48.3 119.7 109.4 42.6 46.1 43.0 53.1 86.3 65.4 61.0 21.1 59.7 70.1 101.9 59.4 70.0 53.7 59.5 82.3 111.8 74.3 52.9 82.5 86.4 49.1 112.8 83.1 69.1 39.1 42.0 40.1 37.8 76.7 74.7 118.7 65.4 84.1 54.9 13.5 23.4 75.8 87.4 56.9 48.9 35.0

66.0 98.0 81.6 91.2 74.3 87.4 81.6 80.9 47.3 62.1 65.2 57.1 31.0 81.4

81.7 42.2 93.1 62.4 65.7 87.9 67.0 65.3 64.2 69.5 78.5 111.8 38.7 54.2 56.3 63.0 (с дисперсией 576).

Проверить для уровня значимости = 0,02 нулевую гипотезу (Y) при конкурирующей гипотезе

В ответе указать значение и сделать вывод о принятии или отклонении нулевой гипотезы.

Задача 11.

Дана выборка значений непрерывной случайной величины:

16.9 7.6 -8.4 4.2 14.3 12.4 6.7 17.5 1.1 15.4 15.1 4.2 -0.4 13.1 13.5 16.0 27.3 11.7 11.7 8.7 11.9 18.0 -8.0 16.0 14.7 10.8 2.5 0.4 8.0 10.8

16.3 12.9 12.0 9.6 9.9 6.7 3.4 11.0 20.4 18.4 6.1 16.3 3.8 15.7 22.9 7.9 20.5 12.5 11.8 15.9 5.6 16.3 15.7 7.2 15.8 9.5 13.3 5.7 15.5 18.3

15.0 9.0 6.0 7.4 11.0 24.0 9.9 8.2 12.9 4.3 20.5 2.5 10.5 12.4 8.7 12.1 3.1 -1.5 8.6 14.9 16.6 19.5 13.9 13.8 14.7 -0.7 16.4 6.7 16.5

11.6 13.2 15.2 17.4 13.3 11.4 10.0 9.6 16.5 20.5 7.5

Проверить при уровне значимости = 0,01 гипотезу о показательном распределении рассматриваемой случайной величины. В ответе привести наблюдаемое значение критерия Пирсона и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.

Задача 12.

Дана выборка значений непрерывной случайной величины:

29.6 41.5 35.4 37.0 43.8 45.6 25.6 45.4 46.1 43.1 40.9 26.8 36.2 27.8 46.1 43.2 30.1 26.1 41.7 35.5 35.9 42.7 35.1 38.8 28.9 38.0 43.5 31.9 27.3 26.9 36.5 39.7 34.4 29.0 32.4 32.9 37.0 32.5 29.4 35.9 47.9 24.8 38.1 27.4 24.7 28.1 28.4 42.7 42.5 39.1 26.3 29.5 48.4 30.5 28.1 28.3 26.8 28.3 41.0 45.0 47.1 30.7 25.6 32.0 47.0 26.9 44.6 27.7 35.7 46.5 30.6 31.0 32.5 41.5 40.9 43.9 45.1 23.7 28.2 37.5 30.6 24.5 25.0 27.1 45.0 38.1 41.4 29.3 38.0 44.4 46.2 36.7 26.2 45.2 40.8 39.4 37.0 39.8 23.9 38.2

Проверить при уровне значимости = 0,025 гипотезу о равномерном распределении рассматриваемой случайной величины. В ответе привести наблюдаемое значение критерия Пирсона и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.

Задача 13.

Цифры 0,1,2,…,9 среди 800 первых десятичных знаков числа появлялись соответственно 74,92,83,79,80,73,77,75,76,91 раз. Проверить с помощью критерия Колмогорова при уровне значимости = 0,1 гипотезу о согласии этих данных с равномерным законом распределения, считая, что вероятность появления любой цифры на месте любого десятичного знака равна 0,1. В ответе привести наблюдаемое значение и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.

Задача 14.

Для выборки двумерной случайной величины

( 41.2, 116.5) (48.1, 124.6) ( 53.2, 153.9) ( 39.1, 99.0) ( 50.2, 191.6) ( 39.0, 94.9) ( 39.4, 100.2) ( 50.2, 178.6) ( 48.3, 118.7) ( 39.6, 117.0) ( 41.3, 81.7) ( 35.2, 88.0)

( 47.9, 159.4) ( 34.6, 124.4) ( 33.2, 103.4) (35.7, 94.9) ( 36.8, 90.8) ( 50.8, 180.5) ( 44.5, 152.0) ( 46.3, 167.6) ( 34.8, 84.6) ( 39.2, 124.5) ( 36.8, 131.7) ( 46.0, 99.8)

( 40.4, 144.8) ( 41.5, 120.6) ( 44.5, 109.7) ( 38.9, 93.5) ( 49.8, 136.8) ( 45.6, 107.6) ( 33.0, 102.9) (47.6, 102.9) (32.5, 116.7) ( 42.0, 134.0) ( 54.1, 157.9) ( 35.4, 109.1)

( 37.9, 92.4) ( 38.6, 120.7) ( 35.6, 96.1) ( 33.6, 73.2) ( 27.7, 61.5) ( 47.1, 95.0)

( 29.9, 82.8) ( 50.1, 110.5)

вычислить выборочный коэффициент корреляции.

Задача 15.

Для выборки двумерной случайной величины

( 50.0, -92.8) ( 27.4, -49.5) ( 47.7,-105.8) ( 35.1, -67.0) ( 30.5, -55.7) ( 39.5, -67.3) ( 54.8, -89.1) ( 57.3,-134.2) (43.0,-109.1) ( 43.7, -68.7) ( 34.6, -74.6) ( 47.2,-105.6)

( 42.4,-106.2) ( 57.6,-164.1) ( 38.8, -59.7) ( 37.3, -81.7) (35.5, -67.2) ( 41.9,-119.3) ( 23.0, -64.2) ( 45.3, -96.5) ( 51.5,-148.9) ( 50.9,-118.5) (58.6,-151.8) ( 33.6, -65.7)

( 31.2, -83.0) ( 35.3, -68.9) ( 49.8, -87.0) ( 38.5, -58.9) ( 32.9, -71.8) ( 54.4,-103.4) ( 39.3, -58.7) ( 46.0,-107.7) ( 25.0, -43.4) ( 31.6, -70.0) ( 29.0, -76.4) ( 27.4, -56.9)

( 46.4,-111.0) ( 35.0, -71.5) ( 39.5,-104.4) ( 27.1, -47.6)

составить выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х.

Задача16.

Произведено по 5 испытаний на каждом из четырех уровней фактора F. Результаты испытаний приведены в таблице:

Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних (математических ожиданий генеральных совокупностей), предполагая, что генеральные дисперсии равны. В ответе указать значение и сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы.