УДК 632.42:631.43
Фракталы: анализ временных рядов в агрофизике.
Агрофизический институт, 195220, Санкт-Петербург, Гражданский пр., 14 *****@***ru
Представлены фракталы, классификация, теория фракталов и методы определения фрактальной размерности сложных топологических объектов. На экспериментальном материале рассмотрен анализ фрактальной размерности дискретных временных рядов в почвенных исследованиях. Значение этого анализа и его применимость к исследованиям в агрофизике и почвоведении. С помощью анализа фрактальной размерности временных рядов оценивают наиболее вероятное направление перехода динамической системы из одного состояния в другое в точках бифуркации.
Изучение хаотических процессов в n-мерных пространствах привело к построению «математических монстров» - странных; непрерывных и при этом не дифференцируемых функций. Функция Вейерштрасса, функция Римана известны с середины 19 века. Позднее появились такие математические казусы как – пыль Кантора. Все эти функции являются примерами алгебраического фрактала. С помощью алгебраических фракталов, стало возможным предсказывать направление перехода динамической системы, в точке бифуркации особенно, когда полагаем, что динамическая система является фракталом и исследуем фрактальную размерность. Широко известны геометрические фракталы и, также, могут быть получены стохастические фракталы, в том случае, если какие-либо параметры геометрического, или алгебраического фрактала изменяются вероятностным (хаотическим) образом. При этом получаются объекты очень похожие на природные – несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т. д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
Определение фрактала, звучит так «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Фрактал – прежде всего пространственный объект с дробной степенью мерности пространства. Основное фрактальное тождество записывается (Кроновер, 2000; Старченко, 2005):
L. mD=1
Где: L – число непересекающихся подмножеств некоторого начального множества большего L в m раз. D – размерность m. Обычно D это эвклидова размерность. Для линии 1, для площади и куба 2 и 3 соответственно. Существует такое построение, что при разбиении исходного множества на L непересекающихся подмножеств с масштабным коэффициентом m при котором размерность D перестаёт быть целым числом. Дробная степень D носит название фрактальной размерности. Причем для линии размерность D заключена в интервале 1>D>2; для плоскости 2>D>3. Чем больше величина D временного ряда отклоняется от евклидовой размерности объекта (например, линии - некоторой кривой) тем «хаотичнее» или неустойчивее состояние динамической системы. Чем больше D для линейного объекта, тем более изрезана, например, береговая линия. Или больше фрагментирована поверхность.
Хаусдорф в 1919г. предложил свое знаменитое определение размерности для случая компактного множества в произвольном метрическом пространстве (Кроновер, 2000)
Или 
Логарифм можно взять по любому положительному основанию, например по основанию е=2,7183.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено французским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта: «The Fractal Geometry of Nature» (Мандельброт, 2002). В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в последнее время удалось объединить их работы в единую систему. На рисунке 1 представлены примеры математических и природных фракталов.
Рис 1 Регулярные и нерегулярные фракталы – примеры.
а. Треугольник Серпинского, b, c –Триада (снежинка) Коха, d. Фрактал Миньковского, e. Драконова кривая, f. Губка Менгера.
Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х годов ХХ века прочно вошли в обиход математиков и программистов. Говоря, о связи между одномерными, двумерными и трехмерными фрактальными объектами математики шутят: «Стереть пыль Кантора с ковра Серпинского, губкой Менгера» рис 2.
Рис.2. Математики шутят.
Процесс построения фрактала – метод итераций. Отдалённое (и условное) представление о работе фрактального генератора даёт детская игрушка – калейдоскоп. При каждом шаге – итерации, исходный элемент фрактала – треугольник, линия, волновая функция усложняется, по определенному закону, давая всё более сложные сочетания частей. Наглядно представление о работе фрактального генератора показано на рис 3
Рис 3. Работа фрактального генератора
а. Построение триады Коха из равносторонних треугольников (1,2, 3 итерации)
б. Построение салфетки Серпинского вписыванием треугольников - 5 итераций
в. Построение фрактала Миньковского при помощи ключа
3 итерации.
За 40 лет с момента публикации работы Мальдельброта появилось много теоретических и прикладных трудов развивающих теорию фракталов и исследующих возможности ее прикладного применения, в том числе в почвоведении (Федер, 1991; Rieu, et. al., 1991; Кузеев и др., 1997; Globus, 1998; Pachepsky et. al., 2000; Божокин и др., 2001; Старченко, 2005; Гончаров, 2004, 2007; Глобус, 2007; Голубев, 2009 ). Однако в агрофизике и сельском хозяйстве уделено недостаточно внимания анализу временных рядов фрактальными методами (Моисеев, Рысев, 2013).
На наш взгляд, наиболее интересным для прогноза поведения динамической системы является исследование фрактальной размерности временных рядов некоторых интегральных параметров агроэкосистемы. Такими параметрами могут выступать, как отдельные размерные предикторы, например, урожайность, динамика влажности в почве, эмиссия тепличных газов, циклы уплотнения и разуплотнения почв, так индикаторы и/или числа физического подобия (Моисеев 1990, 2002).
Есть несколько методов определения фрактальной размерности временного ряда.
1. Классический клеточный способ, (Кроновер, 2000; Измеров, 2006; Голубев, 2009).
2. R/S метод предложен английским гидрографом Гарольдом Херстом (Измеров, 2006; Сериков 2006).
И третьим является метод линейных систем, основанный на изменении длины кривой в зависимости от масштаба. Если кривая оценивается, как фрактальная, то с уменьшением масштаба длина кривой будет возрастать степенным образом. Этот способ определения фрактальной размерности дискретных временных рядов, рассмотрим подробно.
Суть метода линейных систем в том, что рассматриваемый дискретный временной ряд y1; y2……yn может быть частью временного ряда, длина которого больше чем n. Проведем разбиение совокупности чисел от 1 до n на группы с делителем m1, m2…..mn так, что 
Для каждого числа y от 1 до n мы получим группу значений, например для y=1: (1; 1/m1; 1/m2; …..1/mn), аналогично для y=2, и y=n, при соответствующих фиксированных значениях времени t1…..tn: (n; n/m1; n/m2; ….n/mn). Соединим точки (t1; 1/m1); (t2; 2/m1);……..(tn; n/m1) отрезками, получим ломаную линию длины L1. Проделав данную операцию mn - раз мы получим набор ломаных линий длины L1…….Lmn. Собственно такая операция и есть работа фрактального генератора - итерации.
Длины отрезков соединяющих дискретные точки временного ряда определяется по теореме Пифагора, как гипотенуза прямоугольного треугольника в пространстве координат (у;t), затем длины отрезков суммируется, получаем общую длину временного ряда при данном делителе m.
В реальном мире чистых, упорядоченных фракталов, как правило, не существует, и можно говорить лишь о фрактальных явлениях, описываемых мультифракталами. Мультифрактал - квазифрактальный объект с переменной фрактальной размерностью. Для определения фрактальной размерности в этом случае строят график зависимости lnL(m)=f(ln m), рис. 4, и определяют индекс фрактальности д как степень апроксиммирующей функции: 
при малых и положительных m (
). Фрактальная размерность вычисляется: 
Рис 4. К вычислению фрактального индикатора д.
Величина фрактальной размерности показывает, в каком состоянии устойчивости находится динамическая система табл. 1.
Табл. 1. Значения фрактальной размерности как индикатор устойчивости динамической системы.
Состояние системы | Устойчивое состояние системы | Предел устойчивости | Неустойчивое состояние системы |
Фрактальная размерность временного ряда | 1,01-1,40 | 1,40-1,60 | Более 1,60 |
Рассмотрим конкретные экспериментальные материалы.
I. Проведём анализ фрактальной размерности временного ряда динамики гумуса выщелоченного чернозёма Воронежской области. Данные взяты из работы: Физико-химические свойства и динамика содержания гумуса в черноземе выщелоченном при длительном применении удобрений. (Громовик, 2010). Исследования чернозёмов проводили в длительном стационарном опыте, заложенном в 1936г. на территории землепользования Всероссийского НИИ сахарной свеклы и сахара (Рамонский район, Воронежская область) и представляющем собой 9-польный зернопаропропашной севооборот Исследована динамика содержания гумуса за 73года наблюдений, по глубине гумусового горизонта, выщелоченного чернозёма 0-20см и 20-40см.
Индикатор фрактальности д временных рядов динамики гумуса чернозёма за 73 года наблюдений для слоя 0-20см равен -1,0198, фрактальная размерность D=1-(-0,02)=1,02, для слоя 20-40см д=-0,21, и фрактальная размерность D=1,21. Такая ситуация показывает стабильный процесс убывающего гумусного состояния выщелоченных чернозёмов при рациональном землепользовании то есть несмотря на постоянное внесение органических удобрений.
II. Проанализируем фрактальную размерность динамики (временных рядов) урожайности картофеля в различных хозяйствах Ленинградской области по данным работы: Опыт интеграции и кооперации овощемолочных сельхозпредприятий ассоциации Ленплодоовощ и предложения по улучшению их работы за счет внедрения инноваций – Пашинский, 2011 (исходные экспериментальные данные показаны на рис. 5).
Рис.5 Динамика урожайности картофеля в различных хозяйствах Ленинградской области
Таблица 2. Результаты анализа фрактальной размерности дискретных временных рядов
Агропромышленный комплекс | Уравнение аппроксимирующей функции | Фрактальный индикатор д | Фрактальная размерность D |
Детскосельский | y = 6,29x-0,37 | -0,37 | 1,37 |
им. Тельмана | y = 6,21x-0,36 | -0,36 | 1,36 |
Агротехника | y = 8,33x-0,52 | -0,52 | 1,52 |
Шушары | y = 8,01x-0,49 | -0,49 | 1,49 |
Приневский | у = 8,93x-0,55 | -0,55 | 1,55 |
Из анализа фрактальной размерности временного ряда следует, что производство картофеля стабильно в АПК Детскосельский и АПК им. Тельмана. В агропромышленных комплексах Приневский, Агротехника Ленинградской области производство картофеля, несмотря на его возрастающие, с каждым годом - объемы, не стабильно (связано с определённым риском для покупателя), зависит от посторонних факторов, возможно организационных.
В докладе показаны возможности представления временных данных функционирования природных систем – фракталами и анализа фрактальной размерности построенного временного ряда для оценки и прогноза динамики плодородия почв, прогноза перспектив хозяйствования агропромышленных предприятий.
Подробно, на конкретном экспериментальном материале рассмотрен анализ фрактальной размерности дискретных временных рядов методом линейных систем применительно к области агрофизики и земледелия.
Список литературы
, 2001. Фракталы и мультифракталы. РХД, Ижевск, 2007. Фрактальность некоторых физических свойств почв. - Физические химические и климатические факторы продуктивности полей. СПб.: Изд-во ПИЯФ РАН, С.16-21. 2009. Фрактальный анализ сложности горизонтальной структуры напочвенного покрова. Электронный ресурс http:///article/11/ 2004. Влияние характера землепользования на структуру обыкновенного чернозёма и параметры её фрактальных моделей. Автореф. дисс. канд. с/х наук 06.01.03/АФИ. – СПб, 25с. 2007. Интерпретация распределения плотности в почвенном агрегате на основе кластерной модели. - Физические, химические и климатические факторы продуктивности полей. СПб.: Изд-во ПИЯФ РАН, с.52-59. 2010. Физико-химические свойства и динамика содержания гумуса в чернозёме выщелоченном при длительном применении удобрений. Доклады Российской академии сельскохозяйственных наук. №4. С. 31-32. 2006. Методы измерения фрактальной размерности инженерных поверхностей. Вестник Брянского технического университета, 3(11). 2000. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М. Постмаркет. - 352с. , , и др. 1997. Физическая природа разрушения. – Уфа. 168с. 2002. Фрактальная геометрия природы. – М., - 656с. 1990. Принципы построения численных критериев подобия физических процессов в почве. В сборнике: Математическое и программное обеспечение задач управления агроэкосистемами , , Хлопотенков Научно-Исследовательский институт, Ленинград, 1990. С. 103-109. 2002. Применение теории подобия к исследованию физико-механических свойств почв: Дисс. канд. с/х наук 06.01.03/АФИ. - СПб, 153с. , 2013. Исследование стабильности производства картофеля фрактальными методами. Вестник РАСХН, №6, С.8-11 , , 2014. Анализ динамики гумусного состояния почв фрактальными методами Агрофизика. № 1 (13). С. 1-8. 2011. Опыт интеграции и кооперации овощемолочных сельхозпредприятий ассоциации Ленплодоовощ и предложения по улучшению их работы за счет внедрения инноваций. Материалы научной сессии по итогам 2011г. - СПб: АФИ , , 2006. Модели продукционного процесса сельскохозяйственных культур. - СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 396с. 2006. Фрактальный анализ временных рядов. Социология. 22. 2005. Индекс фрактальности и локальный анализ хаотических временных рядов Дисс. канд. физ.-мат. наук М МИФИ, 1991. Фракталы. - М.: Мир. 374с. Rieu M., Sposito G. 1991. Fractal fragmentation, soil porosity, and soil water property: I. Theory// Soil Sci. Soc. Amer. Proc. v.55. - p. 1231-1238. - Applications. Ibid. - p.1239-1244.