Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики
Отдел образования администрации Яльчикского района
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Янтиковская основная общеобразовательная школа им.
Яльчикского района Чувашской Республики»
Научно - исследовательская работа
на тему: «Признаки делимости натуральных чисел»»
Работу выполнила ученица
9 класса Суркова Анастасия
Научный руководитель:
Пласкин Александр
Германович
с. Янтиково – 2017г.
Содержание
Введение……………………………………………………………………3
Геометрическая постановка задачи………………………………………4
Описание экспериментов………………………………………………….4
Заключение………………………………………………………………..8
Список использованных источников и литературы…………………….9
Актуальность темы.
В ходе подготовки к ОГЭ по математике у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10 мне известны ещё с 6 класса. Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, мы получаем остаток, допускаем ошибки, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое.
Гипотеза.
Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.
Объект исследования: делимость натуральных чисел.
Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.
Цель: Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе.
Задачи исследования: Изучить историографию вопроса. Повторить признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, изучаемые в школе. Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25,… Изучить дополнительную литературу о других признаках делимости натуральных чисел. Систематизировать и обобщить признаки делимости натуральных чисел на 7,11,13,19, 23,27,29.
Новизна. В ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.
Методы исследования:сбор информации, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.
Историография темы.
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры. Признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228). В III веке до нашей эры александрийский ученный Эратосфен открыл способ составления списка простых чисел, так как считал, что простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Его метод составления списка простых чисел назвали решетом Эратосфена.
Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др.
Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623-1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки. Признак Паскаля состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
Основные понятия.
Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка. Часто утверждение о делимости числа а на b выражают другими равнозначными словами: а кратно b, b делит а, b - делитель а. Натуральное число называют простым, если оно имеет два делителя: единицу и само это число.(5- простое число). Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей. (15-составное число)
Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.
Признаки делимости на 2. Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8
На 3 (9). Если сумма цифр числа делится на 3 (9).
На 5.Если число оканчивается на 0, 5.
На 10.Если число оканчивается на 0
Признаки делимости натуральных чисел, полученных самостоятельно.
Выполняя действия деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действий, я нашла закономерности и получила следующие признаки делимости.
Признак делимости на 4.
25·4=100; 56·4=224; 123·4=492; 125·4=500; 2345·4=9380; 2500·4=10000;
Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 8.
125·8=1000; 242·8=1936; 512·8=4096; 600·8=4800; 1234·8=9872; 122875·8=983000;
Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры 0 или составляют число, делящееся на 8.
Признак делимости на 6.Заметим, что 6=2·3 Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6. Примеры: 216 делится на 2 и на 3, значит, число делится на 6.625 не делится ни на 2, ни на 3, значит, не делится на 6.2120 делится на 2, но не делится на 3, значит, число не делится на 6.
Признаки делимости на 11.
Число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр стоящих на четных местах, делится на 11.
Например: 87635064:11=7966824
8+6+5+6=25
7+3+0+4=14
25-14=11, 11:11=1
46816:11=4256
4+8+6=18
6+1=7
18-7=11, 11:11=1
5425 не делится на 11
5+2=7
4+5=9
7-9=-2, 2 не делится на 11
Признак делимости на 12
Число делится на 12 , если оно одновременно делится на 3 и на 4.
Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимно - простых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению p*q, таких, что НОД(p, q)=1, одно должно делиться одновременно на p и на q.
Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимно - простыми. Нельзя сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.
Признаки делимости на 13.
Чтобы узнать делится ли число на 13, необходимо от этого числа без последних трех цифр отнять число из трех последних цифр, если разность делится на 13, то и заданное число делится на 13.
Например:
1) 5525→5 – 525 = - 520 : 13 = - 40, 5525:13=425
2) 5100→5 – 100 = - 95 не делится на 13
3) 18928→18 – 928 = - 910:13=-70, 18928:13=1456 4) 367829→367 - 829 = - 462 не делится на 13, то и число 367829 не делится на 13
Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13
Делится ли на 13 число 65835 ?
6583 + 4 * 5 = 6603
660 + 4 * 3 = 672
67 + 4 * 2 = 79
7 + 4 * 9 = 43
Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.
Делится ли на 13 число 715 ?
71 + 4 * 5 = 91
9 + 4 * 1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.
Признак делимости на 15.
Заметим, что 15=3·5 Если натуральное число одновременно делится и на 5 и на 3, то оно делится на 15. Примеры: 346725 делится на 5 и на 3, значит, число делится на 15. 48732 делится на 3, но не : на 5,значит, число не делится на 15. 87565 делится на 5, но не : на 3, значит, оно не делится на 15.
Усовершенствованный признак делимости на 16.
Чтобы проверить, делится ли число на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с увеличенной в два раза цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.
Делится ли число 1984 на 16 ?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делится на 16, значит, и 1526 делится на 16.
Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 17, то и само число делится на 17.
Делится ли число 59772 на 17 ?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.
Делится ли число 4913 на 17 ?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.
Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.
Делится ли число 9044 на 19?
904+4*2 = 912
91+2*2 = 95
9+5*2 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.
76→6*2+7=19, 19:19=1, 76:19=4
418→8*2+41=57, 57:19=3, 418:19=22
47063→3*2+4706=4712→2*2+471=475→5*2+47=57:19
Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.
Делится ли число 208012 на 23 ?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
25+7*3 = 46
46 делится на 21, значит и число 208012 делится на 23.
Признак делимости на 25.
На 25 делятся числа: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200,…Натуральное число делится на 25, если оканчивается на 00, 25, 50, 75.
Признак делимости на 50.
На 50 делятся числа: 50, 100, 150, 200, 250, 300,… .Натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50. Объединенный признак делимости на 10, 100,1000,… Если в конце натурального числа стоят столько же нулей сколько в разрядной единице, то это число делится на эту разрядную единицу. Примеры: 25600 делится на 100, т. к. числа оканчиваются на одинаковое количество нулей.8975000 делится на 1000, т. к. оба числа оканчиваются на 000.
Из дополнительной литературы я нашла подтверждение правильности сформулированных мною признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.
Признак делимости на 27
Разбить число на блоки по 3 цифры и сложить их все. Если результат будет делиться на 27, то и само число будет делиться на 27.
Делится ли число 142857 на 27 ?
Разбиваем число на блоки и сложим.
142+857 = 999
Если число 999 делится на 27, что и 142857 делится на 27.
999 = 9*111 = 9*3*37 = 27*37. Значит, и исходное число делилось на 27.
Делится ли число 9561123 на 27?
Разбиваем число на блоки и сложим.
9+561+123 = 702
Используем второй способ:
Отбросить от числа последнюю цифру и, умножив её на 8, отнять от оставшегося числа.
70 - 8*2 = 54
54 делится на 27, значит, и 9561123 делится на 27.
Признаки делимости
на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28
и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно - простые множители этих чисел.
- Для14: на 2 и на 7; Для 15: на 3 и на 5; Для 18: на 2 и на 9; Для 21: на 3 и на 7; Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной); Для 24: на 3 и на 8; Для 26: на 2 и на 13; Для 28: на 4 и на 7.
Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:
1группа - когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50.
2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа - это признаки делимости на 3, на 9, на7, на 37, на 11 (1 признак).
3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа - это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на 19.
4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости - это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на14.
Выводы:
В процессе работы я познакомилась с историей развития признаков делимости. Сама правильно сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000…, чему нашла подтверждение из дополнительной литературы. Работая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 23.27.29), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.
Практическая значимость
Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Собранный мною материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы. Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник
В дальнейшем можно рассматривать такие вопросы: - вывод признаков делимости, используя метод остатков; - существуют ли еще признаки делимости, для исследования которых у меня не хватает пока знаний?
Литература:
Учебник математики 5 класс . Сборник задач по алгебре 8-9 класс. Москва Просвещение 1995 год Математика в школе 1998 год март/апрель №2 Нестандартные уроки математики 5-6 класс. Учитель АСТ 2005 год Нестандартные уроки математики 5-6 класс.Москва «Школьная пресса» 2004 год
