Элементы теории оптимального управления

Элементы теории оптимального управления.

Изменяя условия протекания процессов, человек может влиять на их характер, изменять их, приспосабливать к своим целям. Это вмешательство в естественный ход процесса, изменение естествен­ного хода процесса и представляет собой сущность управления.

Управление представляет собой такую организацию процесса, ко­торая обеспечивает достижение определенных целей.

Три этапа процесса управления :

1) сбор и обработка информации с целью оценки сложившейся си­туации;

2) принятие решения о наиболее целесообразных действиях;

3) исполнение принятого решения.

Одноэтапные или одношаговые задачи управления - все рассмотре­ние процесса управления сводится к выполнению второго этапа.

Иногда процесс управления разбивается на несколько последующих шагов, причем решение, принимаемое на каком-либо шаге, зависит от результатов выполнения предыдущего шага. Такие процессы назы­вают многошаговыми процессами принятия решения.

Оптимизация процесса управления.

Задачу управления мы будем рассматривать как математическую задачу. Однако, в отличие от многих других математических задач, она имеет ту особенность, что допускает не одно решение, а мно­жество различных решений.

Если имеется множество решений какой-либо задачи, то следует вести речь о выборе такого решения, которое с какой-либо точки зрения является наилучшим.

В тех случаях, когда цель управления может быть достигнута несколькими различными способами, на способ управления можно на­ложить добавочные требования, степень выполнения которых может служить основанием для предпочтения одного способа управления всем другим.

Математическое выражение, дающее количественную оценку степени выполнения наложенных на способ управления требований, называет­ся критерием качества управления.

Оптимальным способом управления будет такой, при котором кри­терий качества управления достигает минимального (максимального) значения.

В общем случае существует два вида ограничений на выбор спосо­ба управления.

Ограничениями первого вида являются сами законы природы, в со­ответствии с которыми происходит движение управляемой системы (уравнения связи).

Второй вид ограничений вызван ограниченностью ресурсов, ис­пользуемых при управлении.

Постановка задачи оптимального управления.

Задачу управления можно считать сформулированной математичес­ки, если:

1) сформулирована цель управления, выражаемая через критерий качества управления;

2) определены ограничения первого вида;

3) определены ограничения второго вида.

Способ управления, который удовлетворяет всем поставленным ог­раничениям и обращает в минимум (максимум) критерий качества уп­равления, называется оптимальным управлением.

Математическое описание объекта управления.

Обозначим через x переменную, определяющую состояние объекта управления.

В большинстве случаев состояние объекта управления описывается многомерной переменной x = (x1,...,xn) ю Rn (точка в Rn).

Переменную x будем называть переменной или вектором состояния объекта управления.

Множество допустимых значений x обозначим через X и называют допустимым множеством или пространством решений.

Ограничения, накладываемые на значения x обычно имеют вид ал­гебраических уравнений или неравенств :

(

2 ,        bi  ___

fi(x1,...,xn) * = bi, i = 1,m.

2 .        bi

9

Полную совокупность неконтролируемых внешних факторов, оказы­вающих влияние на процесс управления, будем называть состоянием природы и обозначим через x.

Путем некоторой идеализации реальных явлений удается свести все бесчисленное многообразие внешних условий к конечному числу возможных состояний природы x1,xL, т. е. ввести в рассмотрение конечное множество X =x1,...,xL называется пространством сос­тояний природы.

Для описания целенаправленного воздействия на объект управле­ния введем переменную u, которую будем называть управляющим воз­действием или просто управлением.

Таким образом, слово управление будем в дальнейшем использо­вать в двух смыслах:

1) управление как организационная деятельность, направленная на достижение определенных целей;

2) управление в смысле управляющего воздействия, т. е. некото­рой физической величины, измерение которой производится по наше­му желанию и которая воздействует на характер процессов в объек­те управления, изменяя их в нужном направлении.

При управлении сложными объектами обычно приходится использо­вать несколько управляющих воздействий u1,...,ur, так, что уп­равление u представляет собой многомерную величину u = u1,...,ur.

Управляющие воздействия u не могут быть взяты какими угодно, а подвержены различного рода ограничениям.

U - это множество всех значений управления u, которое удовлет­воряет поставленным ограничениям.

Для всех u, принадлежащих U - это допустимое управление.

(Например, U = u1,...,uR).

Судить о том, насколько примененное управление u обеспечивает достижение поставленных целей, можно по значениям переменных состояния x. Не всегда это удобно, поэтому вводят в рассмотрение выходные переменные q, выражающие цели управления в явном виде.

Выходная переменная q зависит в первую очередь от состояния объекта управления x. Однако, на нее могут оказывать влияние ис­пользуемое управление u и внешние неконтролируемые факторы x. Следовательно, управление для выходной переменной в общем случае имеет вид:

q = q(x, u,x).

^x

-----------

u 6|  x         |        6 q

-----------

рис. структуры объекта управления

Под действием сигналов управления u, объект управления изменя­ет свое состояние.  Характер происходящих при этом процессов оп­ределяется скоростью изменения переменной состояния объекта

.        dx  .         .         .

x =  -- ;        x = x1,...,xn.

dt

Для динамических систем, в которых физические процессы проте - .

кают непрерывно  во  времени,  скорости xi в любой момент времени

зависят от состояния объекта управления в тот же момент времени,

которое в свою очередь определяется значениями переменной состоя­ния х, состоянием природы x и используемым управлением u.

.  ___

xi = gi(x, u,x),  xi(0) = ci,  i = 1,n,

где величины ci, i = 1,n характеризуют начальное состояние объ­екта управления.

.

x = g (x, u,x),  x (0) = c,

где с = (c1,...cn), g = (g1,...,gn).

Одношаговые задачи принятия решения.

В одношаговых задачах обычно не рассматриваются методы реали­зации принятого решения, т. е. определяются не величина и харак­тер управляющего воздействия u, а непосредственно значение пере­менной состояния системы x, которое обеспечивает наилучшее дос­тижение цели управления.

Одношаговая задача принятия решения считается заданной, если заданы пространство состояния природы X, пространство решений x и критерий качества принятого решения, который для этого случая будем называть целевой функцией.

Как видим, одношаговая задача принятия решений представляет собой тройку G = (X, X,q), где q - скалярная функция, определен­ная на прямом произведении множеств X&X.

Решение этой задачи состоит в нахождении такого x* ю X, кото­рое обращает в минимум функцию q, т. е. удовлетворяющее условию :

x* = x X / q(x, x) = min.

При x = x* функция - q(x, x) будет достигать максимума.

За последние годы отмечается рост интереса к методам решения одношаговой задачи, получившим название математического програм­мирования ("планирования").

Отметим, что математическое программирование представляет со­бой не аналитическую, а алгоритмическую форму решения задач, т. е. дает не формулу, выражающую окончательный результат, а ука­зывает лишь вычислительную процедуру, приводящую к решению зада­чи.

Поэтому методы математического программирования становятся эф­фективными, главным образом, при использовании ЦВМ.

Основные понятия теории оптимизации. Общая постановка задачи оптимизации.

В общей задаче оптимизации требуется найти вектор x = (x1,...,xn)T из допустимой области X, который обращает в минимум целевую функцию q(x), т. е. такой вектор x* X, для которого q(x*) , q(x) для всех x принадлежащих X.

Если такой вектор x* существует, то он определяет слабый гло­бальный (абсолютный) минимум q(x*) в допустимой области X.

Этот минимум называется слабым, так как удовлетворяет нестро­гому (слабому) неравенству. Он называется глобальным или абсо­лютным потому, что неравенство справедливо для всех x* ю X.

Минимум при x = x* называется сильным, если q(x*) < q(x) для x - x* (он всегда единственный).

(Аналогично - максимум).

Минимум в точке x = x* называется локальным (относительным), если существует такая окрестность Ox(x*) точки x*, что для всех x ю Ox(x*) выполняется неравенство q(x*) , q(x).

Если функция q(x) дифференцируема, то задача отыскания локаль­ных минимумов сводится к нахождению стационарных точек, в кото­рых обращаются в нуль частные производные функции q(x):

dq(x)        ___

----- = 0, i = 1,n.

dxi

Классическая задача оптимизации.

Классическая задача оптимизации состоит в нахождении экстрему­ма целевой функции q(x), где x = (x1,...,xn) принадлежащих Rn при наличии ограничений типа равенств.

___

fi(x) = 0, i = 1,m,  m < n        (*)

Если эти ограничения имеют место, то минимум функции q(x) на­зывается условным минимумом. Если ограничения отсутствуют, то говорят о безусловном минимуме, нахождение которого сводится к определению и исследованию стационарных точек функции q(x).

Классический способ решения данной задачи состоит в том, что условия (*) используются для исключения из рассмотрения m пере­менных. При этом целевая функция приводится к виду:

q(x1,...,xn) = q1(y1,...,yn-m),

где через y1,..,yn-m обозначены неисключаемые переменные.  За­дача состоит в нахождении y1,..,yn-m,  которые обращают в мини­мум функцию q1 и на которые не наложено никаких ограничений.

Пример: Дадим геометрическую интерпретацию данной задачи для двумерной переменной x = (u, v) с одним ограничением

f(x) = u2 - v+1 = 0

и с целевой функцией q(x) = (u-1)2 + v2.

%v

|

|

|

|

|

----------------------6

|        u

Огр: f(x) = 0 и линия уровня: q(x) = const.

Оптимальное решение x* получается в точке касания кривых f(x)=0 и q(x)=const.

Из f(x) = 0 следует v = u2 + 1.

Подставляя в q(x), получаем q(x) = (u - 1)2 +  (u + 1)2.

Следовательно q'=2u3+3u-1=0, которое имеет единственный ве­щественный корень u*=0.313. При этом v*=1.098; q(x*)=1.678.

Заметим, что при отсутствии ограничения f(x)=0 минимум q(x)=0 при x=(1,0).

Если уравнения (*) имеют сложный вид, то исключенные с их по­мощью m переменных из функции q(x) представляет значительные трудности. В связи с этим большое практическое значение получил метод сведения задачи на условный экстремум к задаче на безус­ловный экстремум, основанный на использовании функции Лагранжа.

Функция Лагранжа.

Введем в рассмотрение вектор l = (l1,...,lm) и исследуем свойства функции

m

L(x, l) = q(x) + S lifi(x)        (1)

i=1

Функция L(x, l) называется функцией Лагранжа, а величины li - множителями Лагранжа.

Рассмотрим стационарные точки функции  L(x, l),  которые  полу -

чим, приравняв  к нулю  частные  производные по lj, j = 1,m и по

xk,  k =        1,n :

dL(x, l)        ___

------- = fj(x) = 0,  j =        1,m;  (2)

dlj

dL(x, l)

------- = 0.        (3)

dxk

Заметим, что уравнения (2) совпадают с ограничениями u, как следует из (1), при их выполнении имеет место L(x, l) = q(x).

Потому, если в стационарной точке (x*, l*) функция L(x, l) дос­тигает экстремума, то x* обеспечивает и экстремум q(x) при вы­полнении ограничений, т. е. дает решение задачи.

Задача на условный экстремум целевой функции q(x) при наличии ограничений типа равенств сводится к задаче на определение ста­ционарных точек L(x, l).

Для предыдущего примера функция Лагранжа L(x, l) = (u - 1)2 + v2 + l * (u2 - v + 1).

Диффиренцируем:

(

2 u * (1 + l) - 1 = 0,

*        2*v - l = 0,

2        u2 - v + 1 = 0.

9

Отсюда следует, что находим u, v, l.