Введение
Задачи контактного взаимодействия представляют одну из важнейших областей современной механики деформируемого твердого тела. Составные части любой реальной конструкции взаимодействуют друг с другом, а также с другими объектами. Это может быть непосредственный контакт тел в результате прижатия к опоре, сварочного, болтового или клеевого соединения и т. д. Учесть влияние таких взаимодействий, а также определить область контакта, если она неизвестна, позволяет решение соответствующих контактных задач, что является важным этапом проектирования различных узлов конструкций, тем более что концентрация контактных напряжений может привести к разрушению материала.
Теория контактных задач находит широкое применение в машиностроении. Известно, что передача усилий в машинах сопровождается контактированием деталей. Последние в большинстве случаев можно рассматривать как упругие тела. Методы, развиваемые в теории контактных задач, позволяют найти распределение давлений в местах контакта. Это дает возможность ответить на важный вопрос о местах концентрации напряжений. За последнее время разрабатываются вопросы контактной жесткости, когда необходимо принимать во внимание деформацию неровностей, находящихся на поверхности упругого тела. Появление конструктивных материалов, в состав которых входят полимеры, сделало весьма актуальными контактные задачи для вязкоупругих тел. Это позволяет также получить результаты для такой важной для техники проблемы, как трение качения. Определение напряжений, возникающих под основаниями и фундаментами, в том числе и тогда, когда происходит консолидация грунта, приводит также к контактным задачам.
Построение аналитического решения контактной задачи имеет большой теоретический и практический интерес, однако, связано с серьезными математическими трудностями и не всегда представляется возможным. Поэтому актуальной проблемой является разработка и совершенствование новых численных и численно-аналитических методик решения контактных задач.
Впервые в 1881 году задача о контактном взаимодействии упругих тел была строго математически решена методом теории потенциала Генрихом Герцем. Решение было выполнено на основе принятия в качестве исходной аналогии между распределением давлений в контакте и распределением потенциала в электродинамике. Исследованиями (1910). (1914) результаты решения контактной задачи Герца были развиты, обобщены и приведены к виду, которой используется в настоящее время.
С момента появления решения Бусинеска (1885) о вдавливании сосредоточенной силы в полупространство появилась принципиальная возможность сведения контактных задач к интегральным уравнениям Фредгольма. В дальнейшем исследованиями было доказано, что строгое решение интегрального уравнения контактной задачи, соответствует решению задачи методом потенциала по Герцу. Анализ развития решений контактных задач в СССР за 60 лет (1926–1976) [1]показал, что вся история решения разных контактных задач – это история развития методов решения разных типов интегральных уравнений.
После бурного старта XX в. теория контактного взаимодействия механики сплошной среды продолжает в настоящее время интенсивно развиваться. Показателем этого являются тысячи опубликованных работ, десятки защищенных докторских и кандидатских диссертаций и опубликованных монографий, в том числе и в последние годы. Так, в 2001 г. была опубликована коллективная монография [2] под редакцией и , содержащая обзор основных достижений российских исследователей по методам и результатам решения задач механики контактных взаимодействий за последние годы.
В работе [3] решен ряд новых двумерных статических и динамических контактных задач теории пластин и оболочек в уточненной постановке, учитывающей поперечное обжатие тонкостенного элемента. Предложен метод решения основного интегрального уравнения двумерных контактных задач, являющийся обобщением метода, разработанного для одномерных контактных задач. Исследовано влияние деформаций поперечного сдвига, инерции вращения и массивности накладки на спектр собственных частот и распределение контактных напряжений при установившихся вынужденных колебаниях прямоугольной и круглой пластин с жесткими накладками. Отмечено наличие частот, обеспечивающих минимальный уровень контактных напряжений.
в [4] разработал метод численно-аналитического решения статистических двумерных задач контактного взаимодействия пластин на упругом основании с жесткими штампами. Были получены поля распределения контактных напряжений для широкого спектра частных случаев и исследована их зависимость от формы штампа, эксцентриситета его положения угла и поворота, а также от условий на границе пластины.
В работах , , [5] предлагается методика численного решения задач динамического деформирования композитных пластин при низкоскоростном соударении с абсолютно жесткими телами. На примере решения задачи динамического контактного взаимодействия стального шарика с композитной пластиной показана достоверность данного подхода, а также проведен анализ влияния различных параметров (скорости массы ударника, структура пакета) на величину контактной силы и прогиб в центре платины.
В задаче [6] решена контактная осесимметричная задача с использованием функции напряжений при вдавливании упругой сферы в абсолютно жесткое полупространство.
В работе [7] рассматривается плоская задача о взаимном изнашивании волнистого штампа и упругой полосы, связанной с недеформируемым основанием, при условии полного контакта штампа и полосы. Аналитическое выражение для контактного давления строится с помощью общего решения Папковича - Нейбера. В случае малого износа полосы эта система становится линейной и допускает решение в явном виде; гармоники, составляющие профиль штампа и контактное давление, сдвигаются вдоль полосы относительно друг друга и перемещаются во времени. Получены условия, обеспечивающие герметичность контакта волнистого штампа с полосой при наличии трения и износа.
Книга [8] посвящена плоским и пространственным задачам теории упругости и вязкоупругости. Кроме контактных задач, решаемых методами теории функций комплексной переменной и теории потенциала, рассматривается важный случай качения вязкоупругого цилиндра по вязкоупругой полуплоскости в наиболее общем случае, когда площадка контакта имеет приводящиеся к однородным уравнениям Фредгольма, а также решения контактных задач для шероховатых тел, приводящиеся к нелинейным интегральным уравнениям типа Гаммерштейна. Большинство результатов получено в конечном виде.
В монографии и [9] освещены исследования, характерной особенностью которых является соединение с помощью R-функций классических методов с современными алгебрологическими методами кибернетики. В силу внутреннего единства теории уравнений с частными производными, которыми описывается не только контактные задачи, но и многие задачи электродинамики, теплофизики, аэро - и гидродинамики, теории фильтрации, излагаемые методы могут быть с успехом использованы и в других научно-технических областях.
, [10] в своей монографии излагают основы общей теории и методы расчета контактного взаимодействия упругих анизотропных оболочек. Развит новый подход к построению теории упругости теплопроводности анизотропных оболочек с учетом граничных условий на поверхностях (применительно к контактной проблеме). Рассмотрены задачи взаимодействия твердых жестких либо упругих тел с ортотропными цилиндрическими оболочками, упругого контакта оболочек и соответствующие задачи определения межслойных напряжений в оболочках из композиционных материалов при механических и температурных воздействиях.
В книге ,, [11] изложены результаты исследований напряженно-деформированного состояния и несущей способности тонкостенных оболочечных систем при локальных нагружениях и контактных взаимодействиях. Приведены решения многочисленных задач контактного взаимодействия оболочечных конструкций с упругими и нелинейно-упругими опорными основаниями (ложементами). Рассмотрены задачи деформирования составных оболочечных систем при сложном локальном нагружении и контактном взаимодействии. Изложены результаты исследования устойчивости и несущей способности с учетом пластических деформаций оболочечных конструкций при локальномнагружении.
В статье , [12]указывается способ совместного решения дифференциальных уравнений краевых задач теории оболочек и интегральных уравнений Фредгольма второго рода, ядра которых представляют собой сумму фундаментальных решений соответствующих дифференциальных уравнений.
В книге , [13] даны решения контактной задачи теории упругости и пластичности, морфология поверхностных трещин и условия их возникновения, закономерности распространения возникших трещин и разрушения исходной поверхности тела. Рассмотрены вопросы практического использования положений контактной механики разрушения для изучения поверхностных повреждений, результаты соответствующих экспериментов и их согласование с расчетом, а также исследований в области численного моделирования накопления поверхностной повреждаемости при износоконтактном взаимодействии.
Диссертационная работа [14] посвящена решению новых плоских и осесимметричных задач механики контактного взаимодействия и износа тел с покрытиями. В ней исследуются закономерности эволюции контактных характеристик вязкоупругих стареющих оснований с неоднородными покрытиями и покрытиями, имеющими реальную форму поверхности, а также износ упругих оснований с поверхностно неоднородными покрытиями. Изучаются эффекты, связанные с наличием неоднородности и учетом реальной формой поверхности покрытий, а также с наличием процесса износа.
В монографии [15] обобщен метод ортогональных многочленов на динамические контактные задачи теории упругости и гидроупругости, дана его численная реализация на ЭВМ, а также решены новые нестационарные задачи о колебаниях жестких и упругих штампов на упругом полупространстве, которые применяются в гидротехнических сооружениях, фундаментах промышленных установок и других конструкциях на упругом основании.
и [16] представлено основное двумерное уравнение, к которому сводятся контактные задачи для слоистого упругого полупространства. Рассмотрены случаи, когда область контакта – круг или бесконечная полоса. Авторами установлено, что в этих частных случаях основное двумерное интегральное уравнение переходит в систему одномерных интегральных уравнений для гармоник контактного давления, когда область контакта – круг, и в одно одномерное интегральное уравнение, когда область контакта - полоса.
Постановка задачи
Имеется прямоугольная пластина, бесконечно длинная в направлении чертежа. На ней лежит штамп (бесконечно длинный). В каждом поперечном сечении картина напряженно-деформированного состояния одна и та же. Требуется решить задачу для функции влияния, свести ее к краевой задаче, найти прогиб срединной поверхности пластины и напряжений при разных положениях и размерах штампа.
Рисунок 1
пластина под действием единичной силы.
Рассмотрим одномерную задачу. Берем сечение. Штамп смещается параллельно самому себе, без поворотов.
Условия контакта пластины и штампа формулируются в виде равенства перемещений верхней границы пластины и нижней границы штампа, в виде интегрального уравнения(уравнение Фредгольма II рода):
,
где 
коэффициент обжатия,
G-функция влияния, которая является решением дифференциального уравнения:
),
где 
, 
Добавляем краевые условия к этому уравнению(левый край – защемление, правый край - шарнир)и решаем задачу для функции влияния.
Краевые условия
Рассмотрим однородное уравнение:
Для данного уравнения нужно составить характеристическое уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение выглядит следующим образом:
Тогда общее решение запишется таким образом:
,где 
-const ичастные линейно независимые решения есть
Варьируем произвольные постоянные: 
.
Решение 
будут составлять фундаментальную систему решений (ФСР), если они все будут линейно независимы.
Для нахождения 
составляем систему уравнений
Решаем ее методом Крамера.
Кратко алгоритм метода Крамера можно описать тремя шагами:
1. Находим отпределитель
исходной матрицы
.
2. В цикле от 1доnзаменяемi-ый столбец матрицы на столбец результатовВ. Находим текущий определитель полученной матрицы.
3. 
находится делением 
на
:
=
.
Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид:
(*),
.
Дельта-функция—обобщенная функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин (масса, заряд, интенсивность источников тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.
Дельта-функция Дирака
определяется выражениями
Фильтрующее свойство дельта-функции
Функция Хевисайда—кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице—для положительных:
Находим производные от функции 
:
Подставляем граничные условия в уравнение, учитывая, что 
при x=l и 
при x=-l
Мы получили систему из четырех уравнений, отсюда находим неизвестные
⇒
Итак,
Метод сведения интегрального уравнения к краевой задаче.
Для решения интегрального уравнения используем метод сведения интегрального уравнения к краевой задаче, предложенный .
Подставляя уравнение (4)в уравнение (3), получим:
Из уравнения (2) получим:
Подставляем уравнения (4) и (6)
Краевое условие:
Решение краевой задачи
Решение для функции U(x) запишем как сумму однородного и частного решений:
Однородное уравнение:
, 
Записываем в тригонометрической форме:
- Формула Муавра для комплексных чисел
Решение однородного уравнения мы будем искать в виде:
,
-Формула Муавра
,
,
,
Функции Крылова - система из четырёх функций, представляющих собой общее решение дифференциального уравнения:
Таблица 1
Производные от функций Крылова
F(x) |
|
|
|
|
F’(x) | л ( | л ( | л ( | л ( |
F’’(x) |
|
|
|
|
F’’’(x) |
|
|
|
|
)
)
)
)
Прогиб срединной поверхности пластины
Краевые условия:
Прогиб срединной поверхности:
Поэтому
При этом
Заключение
В работе представлена численно-аналитическая методика решения контактных задач теории пластин и оболочек. Проблема решения интегрального уравнения, описывающего условия контакта, сводится к решению системы алгебраических уравнений. Формирование и решение этой системы производится с помощью ЭВМ. Сведение интегрального уравнения к краевой задаче позволяет получать точное решение интегрального уравнения. Методика применена к решению задач контактного взаимодействия пластины и штампа при различных граничных условиях. Исследовано распределение контактных напряжений в зависимости от размера штампа. Максимальные напряжения возникают в областях, близких к краю пластины, а по мере приближения ее к центру уровень напряжений уменьшается.
