Методы решения логарифмических уравнений

Методы решения логарифмических уравнений

Основные методы решения логарифмических уравнений достаточно  полно рассмотрены в УМК.  Однако на некоторых моментах можно остановиться. Данные способы рассматриваются на профильных занятиях, дополнительных уроках или консультациях с детьми, мотивированными к изучению математики.

Метод логарифмирования основан на том, что если a=b, то и (а>0, b>0).

Рассмотрим на конкретном примере.  (Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2). 

,

,  .

Для закрепления, отработки навыка решения логарифмических уравнений данного типа  учащимся можно предложить уравнения

,  .

3)

ОДЗ:  x>0

=a 

(2а3-3а)а=-1 

2а4-3а2+1=0  и  т. д.                                 Ответ: 10;  0,1;  ; 

4)

ОДЗ:  x>0

2а3-а2-а=0

………..  (Ответ:  )

Рассмотрим уравнение, решаемое данным методом. Однако  в нем  содержится извлечение квадратного корня из логарифмического выражения (задание повышенного уровня сложности).

ОДЗ:  x>0

               

Ответ:  0,01;  4

Аналогичное уравнение: 

ОДЗ:  x>0

X=0,1 или x=5

При решении различных уравнений и неравенств, упрощая,  иногда приводим к уравнению (неравенству) высших степеней. Тогда необходимо напомнить учащимся теорему Безу и схему Горнера. Изучая тему «Многочлены» в 10 классе на профильных, дополнительных занятиях или консультациях, обучаем учащихся находить корни многочленов различными способами, раскладывать многочлены на множители,  решать  уравнения и неравенства n-ой степени. Рассмотрим на первый взгляд простое  уравнение

ОДЗ:

x>0

3-x>0

x

Целые корни находятся среди делителей свободного члена – числа 2.

X=1 – корень

1	-3	0	2
1	1	-2	-2	0

X1  не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: 1;  1+.

В следующей  рассмотрим вопросы, связанные с равносильностью. При преобразовании логарифмических выражений часто используются формулы:

*

Где

Особенности  этих формул заключаются в  том, что если их левую и правую части рассматривать независимо друг от друга, то замечаем, что они определены на разных множествах значений переменных. Например, в 1-ой формуле левая часть определена при x>0, а правая при любом x. В формулах 2 и 3 левые части определены для всех пар чисел x и y одного знака, а правые лишь при x>0 и y>0. В формуле 4 при p=2к, левая часть определена при всех , правая только при x>0.

Т. е. применение этих формул может изменить область определения уравнения, привести к неравносильному уравнению.

Применение формул потенцирования

Расширяет область определения, может привести к появлению посторонних корней.

Применение формул логарифмирования * может привести к потере корней.

Появляющиеся при потенцировании посторонние корни устанавливаются обычно с помощью проверки  (подстановкой в исходное уравнение) или заменой равносильной системой, состоящей изданного уравнения и необходимых неравенств.

Чтобы формулы логарифмирования не приводили к потере корней, ими пользуются в виде:

Однако и данные формулы не являются универсальными, они могут привести к расширению области определения, и следовательно к появлению посторонних корней. Но об этом уже говорилось выше. (проверка или переход к системе).

Рассмотрим преобразование уравнения, при котором формулы логарифмирования не приводят ни к потере корней, ни к приобретению посторонних. Оно заключается, в случае необходимости, в переходе от уравнения вида

к совокупности уравнений

Рассмотрим пример.

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений

Преобразуем уравнения.

(                                 

                       

         .

Решить уравнение

ОДЗ:  x>0

1)Пусть x-15>0,  x>15

Не удовлетворяет ОДЗ.

2)Пусть x-15<0,  x<15.  Тогда

Ответ: 5

Часто встречаемый  в заданиях ЕГЭ прием рассмотрим на примере.

Решить уравнение:

Заметим, что x<7,  (14-2x>0)

Преобразуем подкоренное выражение:

       Ответ: 5

Литература:

, , «Углубленноеизучение курса алгебры и математического анализа», М.,Просвещение, 1990г.

Составитель «Матемтика для учащихся 11 класса (спопобы решения экзаменационных задач),Волгоград, Издательство «Учитель», 2000г.