Задача на построение (инверсия)

4. Провести окружность, проходящую через данные точки и и пересекающую данную окружность (или прямую) под известным углом .

Задача на построение

(инверсия)

а) Анализ (рис. 33).

Предположим, искомый окружность построена.

Углом между двумя окружностями называется один из углов между касательными, проведенными в их общей точке. Углом между окружностью и прямой называется один из углов между прямым и касательным к окружности в их общей точке.

Из свойств инверсии мы знаем, что при инверсии величины углов не меняются. Следовательно, если построим инверсию с центром  , то искомая окружность обратится в прямую , а окружность в окружность . прямая  и окружность пересекаются под углом . Мы приходим к следующей задаче: построить прямую проходящую  через точку и пересекающуую данную окружность   под данным углом .

б) Построение. Точку примем за центр инверсии и построим образ точки (см. рис.33). Пусть не проходит через центр инверсии тогда она переходит в окружность , тоже не проходящую  через центр инверсии Для построения окружности , достаточно построить образы ее центра   и  одной точки .

Однако построения намного упрощаются, если радиус инверсии выберем равной Тогда точка будет находиться на окружности инверсии, пересекается с окружностью инверсии. Т. к. все точки окружности инверсии переходят в самых себя, то и окружность перейдет в саму себя ( ≡ она будет иметь центр и две точки, которые при инверсии переходят в самых себя). Тогда задача сводится к проведению секущей через точку , которая пересекает окружность под данным углом б.

Все прямые, пересекающие окружность под фиксированным углом , касаются одной и той же окружности, концентрической с .  В произвольной точке проведем касательную. На  этой касательной, как на стороне, построим угол так, чтобы точка касания была вершиной угла. Проведем окружность из центра , которая касается второй стороне угла Из точки   проводим касательную (и ) к окружности . Прямая (или является образом искомой окружности

Чтобы построить искомую окружность , кроме данных точек и построим еще одну точку на ней. Точки пересечения искомой окружности с  окружностью будут обратны точкам пересечения прямой с . Поэтому, достаточно обратить одну точку – например, точку . Получим точку

Через точки и проведем искомую окружность (построив серединные перпендикуляры отрезков и ).

Все построения инверсий точек выполнили синим цветом. Последовательность этих построений следующее. Если точка не принадлежит кругу инверсии (например, точка ), то ее соединили с центром инверсий, провели через нее касательную к окружности  инверсии, с точки касания опустили перпендикуляр на линию, соединяющую эту точку с центром инверсии. Основание этого перпендикуляра является инверсным образом точки. Если точка принадлежит кругу инверсии (например, точка  ), то построения производили в обратной последовательности.

в) Доказательство.  Все рассуждения, для обоснования выполненных построений приведены в ходе анализа и построений.

г) Исследование. Задача может иметь максимум два решения, как в приведенном построении. В этом случае окружности  и пересекаются в двух точках. Если они касаются, то возможно одно решение, притом Если эти окружности не пересекаются, то задача не имеет решений.

Мы рассмотрели задачу, требующую провести окружность, проходящую через данные точки и и пересекающую данную окружность  под известным углом . В случае, если данная не окружность, а прямая, то решение мало чем отличается от приведенного.

В теории инверсий доказывается, что прямая, которая не проходит через центр инверсии, при инвертировании переходит в окружность, проходящую через  центр инверсии. Поэтому, и в этом случае задача приводится к проведению соответствующей прямой линии через точку