Задачи к практическим занятиям по теме: «Основы комбинаторики»

Задачи к практическим занятиям по теме: «Основы комбинаторики».

Задача № 1. Курьер должен развезти пиццу по шести адресам. Сколько маршрутов он может выбрать?

Решение. Так как пиццу нужно развезти по всем шести адресам и один маршрут может отличаться от другого только порядком следования пунктов назначения, то мы имеем дело с перестановками из 6 элементов. Поэтому число маршрутов (N) равно числу перестановок из шести элементов, т. е.

.

Ответ: 720 маршрутов.

Задача № 2. Используя четные цифры 0;2;4;6;8, сосчитайте все возможные трехзначные числа, в которых цифры не повторяются.

Решение. При решении этой задачи удобно и рационально использовать комбинаторное правило умножения, а именно:

1). Так как нужно составлять трёхзначные числа, то нужно выбирать и первую, и вторую, и третью цифры, а, значит, число способов их выбора надо перемножать.

2).  Так как на первое место можно поставить любую четную цифру кроме 0, то число способов выбора первой цифры равно 4 (2;4;6;8).

3). Так как цифры в числе повторяться не могут, то вторую цифру также будем выбирать четырьмя способами (три, из оставшихся после выбора первой цифры, и 0).

4). Для выбора последней, третьей, цифры остается 3 способа (так как две из пяти данных цифр уже заняты).

Таким образом, трехзначных чисел, удовлетворяющих указанным в условии требованиям, будет: .

Ответ: 48 чисел.

Задача № 3. Сколькими способами можно выбрать старосту, его заместителя и ответственного за дежурство из тридцати двух учащихся класса?

Решение. Так как из общего числа учащихся необходимо осуществить выборку трех участников, а кроме того, внутри этой тройки ещё нужно распределить обязанности (провести ранжирование), то число способов такой выборки (N) равно числу размещений из тридцати двух элементов множества по три: .

Ответ: 29760 способов.

Задача № 4. В группе девять студентов хорошо владеют иностранными языками. Сколькими способами можно выбрать из них четверых для работы волонтерами на Сочинской олимпиаде?

Решение. Так как из девяти студентов нужно выбрать четверых, и порядок выбора не важен, то, значит, число таких способов (N) определяется как число сочетаний из 9 по 4: .

Ответ: 126 способов.

Задача № 5. Сколько среди всех перестановок букв слова «цифра», таких, которые: а) начинаются с «ц»;

б) начинаются с «ф», а оканчиваются на «р»?

Решение. Так как в слове «цифра» всего 5 букв, то:

в задаче а) перестановочными являются только четыре буквы, т. к. «ц» уже зафиксировали на первом месте, значит, число перестановок:;

в задаче б) зафиксированы две буквы а, значит, перестановочными являются оставшиеся три буквы из общего количества, это означает, что число перестановок равно.

Ответ: а). 24 перестановки; б). 6 перестановок.

Задача № 6. Делится ли число 50! на числа: а). 400; б). 98; в). 510?

Решение. По определению факториала числа – это произведение последовательных натуральных чисел от 1 до числа, стоящего под знаком факториала (!), то есть: , причем, каждый следующий факториал содержит в себе предыдущий (например: ), и раскладывается на последовательные натуральные множители. Значит, если в числе 50! содержатся все множители, содержащиеся в  данных нам числах, то, следовательно, 50! разделится на эти числа, а если нет, то и не разделится:

а). т. к. , то 50! делится на 400;

б). т. к. , то 50! делится на 98;

в). т. к. , а в числе 50! множинет, то число 50! не разделится на 510.

Ответ: а). да; б). да; в). нет.

Задача № 7. Ученик задумал двузначное число. Какова вероятность, что оно является квадратом некоторого числа?

Решение. 1). , где событие – ученик задумал двухзначное число, являющееся квадратом некоторого числа; – исходы, благоприятствующие данному событию, а – общее число всех равновозможных случайных исходов.

2). – это количество всех двузначных чисел, т. е., , а – это количество двузначных чисел, являющихся полными квадратами, значит, (16; 25; 36; 49; 81).

3). Итак, .

Ответ: ≈0,07.

Задача № 8. Какова вероятность, что при бросании игрального кубика выпадет: а). 2 очка; б). более 3 очков?

Решение. При подбрасывании одного кубика возможны шесть элементарных различных исходов, при этом:

а). 2 очка содержатся только на одной стороне кубика, значит: ;

б). более 3 очков – это 4, 5 или 6 очков, то есть, благоприятствующих исходов – 3 из общего числа – 6, а значит: .

Ответ: а). ≈0,17; б). 0,5.

Задача № 9. В квадрат со стороной 6 см вписан круг. Какова вероятность того, что выбранная наугад точка квадрата принадлежит кругу? ().

Решение. В задаче используется понятие геометрической вероятности, т. е. , где и – это соответственно меры областей: - благоприятствующей событию и – области всех возможных исходов испытания. Так как мерой плоскости является площадь, то . Здесь , так как, по условию, , значит, .

Ответ: 0,75.

Задачи к практическим занятиям по теме: «Основные понятия теории вероятностей».

Задание 1. Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность указанного события:

1) Модуль разности числа очков равен 2;

2) Модуль разности числа очков больше 1;

3) Число очков хотя бы на одном кубике четно;

4) Меньшее число очков больше 4.

Задание 2. 1) Найти вероятность того, что среди шести карт, наудачу взятых из колоды в 36 карт, будет ровно два туза.

2) В ящике 10 белых и 15 черных шаров. Наудачу извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них будет ровно 2 белых шара.

3) Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Найти вероятность того, что среди них окажется, по крайней мере, одна кость с шестью очками.

4) Студент в состоянии удовлетворительно ответить.

Задание 3.  Две точки независимо друг от друга наудачу выбираются на отрезке [0, 1]. Найти вероятность указанного события.

1) Координата первой точки меньше координаты второй точки.

2) Координата второй точки более чем в два раза превосходит координату первой точки.

3) Разность координат первой и второй точек больше 0,5.

4) сумма координат точек меньше 1,5.

Задание 4. 1) Студент знает 20 из 40 вопросов программы. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент в выбранном им билете знает. а) точно два вопроса. б) хотя бы один вопрос.

2) В урне 7 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад достают 3 шара. Найти вероятность того, что а) точно два шара белых; б) хотя бы один из шаров черный.

3) Среди 50 лотерейных билетов есть 7 выигрышных. Найти вероятность того, что среди трех купленных билетов а) точно два выигрышных; б) хотя бы один выигрышный.

4) В ящике 10 деталей, среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что а) точно две детали окрашены; б) хотя бы один из деталей окрашена.

Задание 5. 1) В первой урне 14 белых шаров, во второй урне 5 белых и 11 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, цвет которого не известен. Затем из наугад выбранной урны достали один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный?

2) В первой урне 4 белых и 6 черных шаров. Во второй урне 8 белых и 2 черных шара, в третьей – 10 черных шаров. Из наугад выбранной урны достали 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

3) В урне 5 черных и 13 белых шаров. В урну добавили два шара, цвет которых неизвестен. Затем из урны наугад достали один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

4) В пирамиде 10 винтовок, 4 из которых, снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания из винтовки с оптическим прицелом – 0,8, без оптического прицела – 0,6. Какова вероятность попадания из наугад взятой винтовки?

Задание 6. 1) В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны 6 раз достают наугад шар, каждый раз возвращая его обратно. Найти вероятность того, что белый шар появится: а) хотя бы один раз; б) меньше 3 раз.

2) Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,7. Найти вероятность того, что в ближайшие 5 суток расход электроэнергии не превысит нормы в течение: а) точно 3 суток; б) по крайней мере, 3 суток.

3) Точку 7 раз наугад бросают на отрезок АВ длиной 10 см. Найти вероятность того, что точка попадет на отрезок МК (М – середина АВ, К – середина АМ): а) точно 5 раз; б) по крайней мере, 5 раз.

4) Игральную кость бросают 6 раз. Найти вероятность того, что число очков большее четырех, появится: а) хотя бы один раз; б) точно 2 раза.

Задачи к практическим занятиям по теме: «Элементы математической статистики. Числовые характеристики вариационного ряда».

Задача №1. В таблице приведены расходы семьи на питание в течение недели.

День	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
Расходы (в р.)	210	200	190	220	190	245	250

а) Каков средний расход в день (среднее арифметическое) на питание?

б) Чему равен размах этого ряда данных?

Решение. а). Среднее арифметическое: .

б). Размах: .

Ответ: 215, 60.

Задача №2.  Десять детей из младшей группы спортивной школы по плаванию участвовали в соревнованиях в 50-метровом бассейне. В их списке, составленном по алфавиту, записаны следующие результаты:

54с., 31с., 29с., 28с., 56с., 30с., 43с., 33с., 38с., 36с.

Найдите медиану ряда и размах.

Решение. Запишем данные в порядке возрастания: 28с., 29с., 30с., 31с., 33с., 36с., 38с., 43с., 54с., 56с.

Т. о., .

Размах: .

Ответ: 33, 28.

Задача №3. В течение четверти Таня получила следующие отметки по физике: одна «2», четыре «3», шесть «4» и три «5». Найдите среднее арифметическое и моду этого ряда.

Решение.

Среднее арифметическое: .

Мода: , т. к. «4» имеет наибольшую частоту появления.

Ответ: ; 4.

Задача №4.  На диаграмме показаны результаты выпускного экзамена по математике (оценка и процент получивших ее учеников). Найдите средний балл этого экзамена.

Решение.

    Ответ: 3.9.

Задача №5.  В таблице приведены данные о возрастном составе участников школьного хора.

Возраст	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Число детей	3	6	5	1	2	3	2	2	1

Определите среднее арифметическое, моду и медиану этого ряда.

Решение.

Ответ: 10.04; 8; 11.

Задача №6. Фишку наугад бросают в квадрат со стороной 1, и она попадает в некоторую точку M. Какова вероятность того, что расстояние от точки M до ближайшей стороны квадрата не превосходит 0,25?

Решение.

  Ответ: 0.75.

Задача №7. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20 см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, радиус которого 5 см, пролетит через решетку? Решение.

Изобразим одну клетку решетки:

  Ответ: 0.25.

Задачи к практическим занятиям по всем изученным темам стохастического материала.

Задача №1. У Портоса есть сапоги со шпорами и без, 4 разные шляпы и 3 разных плаща.

Сколько у него вариантов одеться по-разному?

Решение. Сапоги Портос может выбрать двумя способами. Вслед за этим, независимо от выбора сапог, он может выбрать шляпу 4-мя способами. Далее, независимо от предыдущих выборов Портос может выбрать плащ 3-мя способами.

Т. о., применимо правило произведения.

Итак, количество вариантов: 2*4*3=24. Ответ: 24.

  Задача №2. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 0, 2, 4, 6?

  Решение. Т. к. выбор каждой последующей цифры не зависит от выбора предыдущих, и при этом первую цифру можно выбрать тремя способами (2, 4 или 6), а остальные – четырьмя, то по правилу произведения количество вариантов: 3*4*4=48.

Ответ: 48.

Задача №3. В конференции участвовало 30 человек. Каждый с каждым обменялся визитной карточкой. Сколько всего понадобилось карточек?

Решение. Т. к. каждый человек потратил 29 карточек, то всего понадобилось: 29*30=870 карточек.

Ответ: 870.

Задача №4. В классе 25 человек. Сколькими способами можно двух из них делегировать на школьную конференцию?

Решение. Т. к. порядок выбора не имеет значения и при этом в классе не может быть двух одинаковых людей, то количество способов равно числу сочетаний без повторений: .  Ответ: 300.

Задача №5. В расписании уроков на вторник для 7 класса должно быть пять уроков: алгебра, русский язык, литература, география, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?

Решение. Т. к. порядок следования предметов важен и все предметы разные, то количество способов равно числу перестановок из 5 элементов: . Ответ: 120.

Задача №6.  В расписании уроков на среду для 7 класса должно быть пять уроков: алгебра, русский язык, литература, география, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, если русский язык и литература должны стоять рядом?

Решение. Условно будем считать русский язык и литературу одним предметом. Тогда используя перестановки без повторений (т. к. порядок следования предметов важен и все предметы разные), получим, что количество способов равно . Однако внутри пары «русский язык-литература» возможны два варианта расположения предметов: «русский язык-литература» и  «литература-русский язык». Поэтому полученное ранее значение (24) нужно еще умножить на 2: .

Ответ: 48.

Задача №7.  Монету подбрасывают 10 раз и каждый раз записывают, что выпало. Сколько разных последовательностей из орлов и решек может получиться? 

Решение. Т. к. порядок расположения важен и при этом элементы последовательности могут повторяться, то количество последовательностей равно числу размещений с повторениями из 2 элементов по 10:

Ответ: 1024.

Задача №8. Сколькими способами группу из 10 человек можно разбить на две группы, содержащие 2 и 8 человек?

Решение. Если из 10 человек выбрать группу в 2 человека, то группа в 8 человек получится автоматически. Т. к. порядок выбора не имеет значения и в группе не может быть одинаковых людей, то количество способов равно числу сочетаний без повторений из 10 по 2: .

Ответ: 45.

Задача №9. Спортсмен сделал 40 выстрелов и попал по мишени 32 раза. Определить относительную частоту попадания спортсмена по мишени.

Для решения этой задачи необходимо знать, что относительная частота любого случайного события вычисляется как дробь , где N – общее число проведенных экспериментов, n – число экспериментов, в которых данное событие произошло.

Решение.

Всего спортсмен сделал 40 выстре6лов – это общее число проведенных экспериментов (N). Событие А: «спортсмен попал по мишени» произошло 32 раза, т. е. . отсюда относительная частота события А равна .

Ответ: 0,8.

Задача №10. В таблице приведены данные о продаже фирмой автомобилей за прошлый год.

Марка	A	B	C	D	E
Продано штук	130	800	420	100	300

Автомобили марок A, B, C – отечественные, D и E – иностранные. Оцените вероятность того, что произвольный покупатель выберет автомобиль иностранной марки (вероятность выразить в процентах).

Для решения данной задачи воспользуемся формулой классического определения вероятности: , где P(A) – это обозначение вероятности наступления случайного события А, n – число всех возможных исходов эксперимента, m – число исходов благоприятных для события А.

Решение. А: «покупатель выберет автомобиль иностранной марки». Событие А происходит, когда произвольный покупатель выбирает машины марок D или E, значит число исходов благоприятных для события А, т. е. .  Число всех возможных исходов в этом эксперименте равно числу машин отечественных и иностранных марок, т. е. . Теперь, зная m и n найдем вероятность появления случайного события А: .

Ответ: 23%.

Задача №11.  Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов приблизительно равна 0,012. В скольких случаях из 50 000 рождений можно ожидать появления близнецов?

       Решение. В этой задаче нам дана вероятность (Р(А) = 0,012) и число всех возможных исходов эксперимента (n = 50 000). Число рождений близнецов из 50 000, т. е. m найдем из формулы классической вероятности.

Решение. , .

Выразим из классического определения вероятности количество благоприятных исходов, т. е.

Подставляя вместо Р(А) и n числовые значения, получим:

. Ответ: 600.

Задача №12.  По статистике на каждую 1000 лампочек приходится 2 бракованных. Какова вероятность купить не бракованную лампочку?

       Решение. Чтобы избежать ошибок при решении задачи такого типа, важно обращать внимание учеников на то, что дано, и что требуется найти. В нашей задаче дано число бракованных лампочек, а требуется найти вероятность купить не бракованную лампочку. Эту задачу можно решить двумя способами.

I способ. Событие А: «купить годную лампочку», если общее число лампочек , а количество не бракованных лампочек  , тогда согласно классическому определению вероятности имеем:

Ответ: 0,998.

II способ. Найдем вероятность наступления события В: «купить бракованную лампочку», используя классическое определение (, ): .

Так как события А: «купить годную лампочку» и В: «купить бракованную лампочку» - противоположные, а сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т. е. , то .

Ответ: 0,998.

Задача №13.  Имеется 80 лотерейных билетов, из них 20 выигрышные. Какова вероятность проигрыша?

Эта задача аналогична предыдущей. Решим ее I способом.

Решение. , где событие А: «взять проигрышный билет», тогда общее число исходов испытания равно а число исходов благоприятных событию А равно .

Согласно классическому определению вероятности имеем: .

Ответ: 0,75.

Задача №14.  Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?

Решение. Событие А: «случайно выбранная буква в слове СОБЫТИЕ – гласная ». Всего в слове СОБЫТИЕ 7 букв (причем различных) – это и есть n – общее число исходов, из которых 4 - гласные. Значит число исходов благоприятных для события А «выбранная случайным образом буква – гласная», равно 4 (), а  число всех возможных исходов в этом эксперименте, как упоминалось выше, равно числу букв в слове СОБЫТИЕ, т. е. . Теперь, зная m и n найдем вероятность наступления события А согласно классическому определению: . Ответ: .

Задача №15.  В классе учится 10 мальчиков и 20 девочек. На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова вероятность, что в цирк пойдет девочка?

Эта задача отличается от предыдущих лишь тем, что в ней четко не дано число всех возможных исходов, но оно легко находится. Эта задача так же подчиняется классической вероятности.

Решение. А: «в цирк пойдет девочка», – число девочек в классе, т. е. число исходов благоприятных для А; число всех возможных исходов в этом эксперименте равно количеству всех учеников класса, т. е. . Зная m и n, найдем  P(A):

Ответ: 0,667.

Задача №16.  Буквы слова СОБЫТИЕ перемешивают и случайным образом выкладывают в один ряд. Какова вероятность того, что снова получится это же слово?

Решение. Для решения этой задачи помимо вероятностных знаний, также необходимы и комбинаторные.

Так как слово СОБЫТИЕ получится только в одном из вариантов, то число благоприятных исходов – ;  n – количество «слов», которые можно получить из слова СОБЫТИЕ перестановкой букв, причем порядок следования букв в слове важен, и все буквы слова различны. Таким образом, для подсчета n имеем дело с комбинаторной выборкой – перестановки без повторений из n элементов . Итак, . Ответ: .

Задания для 2 части:

Задача №1.  Подбрасывают два кубика. Какова вероятность, что в сумме выпадет 5 очков?

Решение. Для лучшего понимания задач такого типа, нужно чтобы учащиеся перебрали все возможные суммы, которые могут получиться при суммировании выпавших очков на двух кубиках. Например, это можно сделать так:

1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

  Событие А: «сумма очков на двух кубиках равна 5».

Не трудно подсчитать, что число всех возможных исходов в этом эксперименте равно 36 (66), благоприятными для события А являются исходы: (1;4), (2;3), (3;2) и (4;1), т. е. . (запись (1;4) означает, что на первом кубике выпало 1 очко, а на втором – 4). Тогда, согласно классическому определению вероятности, имеем:

Ответ: 0,111.

Задача №2. Подбрасывают два кубика. Какова вероятность, что на них выпадут разные числа?

Решение. Решение этой задачи аналогично предыдущей. Наглядно ее можно представить так: 

(1;1)	(1;2)	(1;3)	(1;4)	(1;5)	(1;6)
(2;1)	(2;2)	(2;3)	(2;4)	(2;5)	(2;6)
(3;1)	(3;2)	(3;3)	(3;4)	(3;5)	(3;6)
(4;1)	(4;2)	(4;3)	(4;4)	(4;5)	(4;6)
(5;1)	(5;2)	(5;3)	(5;4)	(5;5)	(5;6)
(6;1)	(6;2)	(6;3)	(6;4)	(6;5)	(6;6)

Эту задачу можно решить несколькими способами. Вот, например один из них: в таблице (6*6)  другим цветом выделены неблагоприятные исходы: (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5) и (6;6) – всего шесть. Так как число всех возможных исходов в этом эксперименте равно 66=36 (n), из них 6 – не благоприятные, то число исходов, удовлетворяющих событию равно  36 – 6 = 30 (m). Согласно классическому определению вероятности имеем:   Ответ: 0,83.

Задача №3.  Буквы слова КУБИК перемешивают и случайным образом выкладывают в ряд. С какой вероятностью снова получится это же самое слово?

Решение. Для решения этой задачи помимо вероятностных знаний, также как и в задаче 8 части 1, необходимы и комбинаторные.

Так как в слове КУБИК 5 букв, из которых две буквы К, то оно может получится двумя способами, наглядно это можно представить так: КУБИК и КУБИК, то число благоприятных исходов – ;  n – количество «слов», которые можно получить из слова КУБИК перестановкой  имеющихся в нем 5 букв, причем порядок следования букв в слове важен. Таким образом, . Итак, . Ответ: 0,02.

Задача №4.  В урне 10 шаров белого и черного цвета. Вероятность, что среди двух одновременно вынутых из нее шаров оба будут черные равна . Сколько в урне белых шаров.

Решение. Событие А: «оба шара черные». По условию .

Обозначим неизвестное количество белых шаров через x, тогда количество черных шаров (10 – x). Событие А разобьем на два: А1: «вынут I черный шар» и А2: «вынут II черный шар», тогда используя формулу классической вероятности имеем: , , так как два шара вынуты одновременно, то согласно комбинаторному правилу умножения имеем , , , ,

– не удовлетворяет условию задачи, т. к. шаров всего 10, – количество шаров белого цвета в урне. Ответ: 7.