Лекция 9

3. Прямая, расположенная на плоскости. Основные способы задания прямой.

3.1 Прямая, проходящая через две данные точки

Пусть заданы две точки M1( x1; y1) и M2(x2; y2), лежащие на прямой l Найдем уравнение этой прямой.

Аксиома: Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Пусть векторы и заданы координатами точек своего начала и конца: =, =.

Условие коллинеарности этих векторов: =∙, или  в координатной форме:

Поделим левую и правую части первого уравнения на , а второго − на :

Приравняв левые части уравнений системы (поскольку правые части равны), получим искомое уравнение прямой.

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1; y1) и M2(x2; y2):

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

Решение.

3.2 Прямая, проходящая через заданную точку параллельно заданному вектору.

Пусть задана точка М0, лежащая на прямой l, и вектор , параллельный прямой l.

Вектор называется направляющим вектором.

Найдем уравнение этой прямой.

Аксиома: Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор коллинеарен вектору .

Условие коллинеарности в векторной форме:

=∙

Условие коллинеарности, записанное в проекциях на координатные оси:

Исключив параметр , получим искомое уравнение прямой.

Каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору:

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно вектору .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3.3 Прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

Пусть задана точка M0(x0;y0), лежащая на прямой l, и вектор ,перпендикулярный прямой l. Вектор называется нормальным вектором.

Найдем уравнение прямой l, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору .

Аксиома: Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен вектору .

Условие перпендикулярности векторов и (их скалярное произведение равно нулю):

∙=0.

Записав скалярное произведение в координатной форме, получим каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0(x0;y0) перпендикулярно данному вектору .

Пример. Найти нормальный вектор прямой:

3.4 Прямая, проходящая через данную точку в заданном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим прямую, проходящую через две заданные точки M1( x1; y1) и M2(x2; y2),

Каноническое уравнение этой прямой имеет вид: . Умножим левую и правую части уравнения на выражение:

.

Введем обозначение − угловой коэффициент прямой. Тогда последнее уравнение примет вид:

Обозначив , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:

.

Число равно длине отрезка, отсекаемого прямой от оси , число k равно тангенсу угла наклона прямой к оси 0х: .

Пример. Дано уравнение прямой: . Найти угол ц между данной прямой и осью 0х, а также координаты точки М пересечения этой прямой с осью 0у.

3.5 Общее уравнение прямой

Все приведенные выше уравнения прямой можно свести к одному общему виду:

.

Здесь коэффициенты А и В равны координатам нормального вектора.

Действительно: раскрыв скобки в уравнении прямой с нормальным вектором , получим:.

Обозначив получим общее уравнение прямой.

3.6 Угол между двумя прямыми

1) Пусть две прямых l1 и l2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом

l1: ;  l2 : .

Здесь .

Тангенс угла ц между этими прямыми можно вычислить по формуле:

.

Принимая за угол между прямыми ≤, получим формулу:

;

ц = 0 :  − условие параллельности прямых;

− условие перпендикулярности прямых.

2) Пусть две прямых l1 и l2 заданы общими уравнениями:

;  .

Обозначим через угол между их нормальными векторами и . Угол между прямыми , а угол между их нормальными векторами .

Если ≤ , то ц = , а если >, то. В обоих случаях верно равенство:

.

Скалярное произведение нормальных векторов: .

.

Формула для косинуса угла между прямыми l1 и l2 :

Условие параллельности двух прямых, заданных общими уравнениями следует из условия коллениарности их нормальных векторов:

, .

Условие коллинеарности в проекциях на координатные оси:

− условие параллельности двух прямых.

− условие перпендикулярности двух прямых (равенство нулю скалярного произведения их нормальных векторов)

3.7 Расстояние от заданной точки до заданной прямой

Пусть прямая задана уравнением .

Расстояние от некоторой точки до прямой можно вычислить по формуле:

3.8 Решение задач по теме «Прямая на плоскости».

Задача 1. Найти координаты четырех произвольных точек А1, А2, А3, А4, принадлежащих прямой, заданной уравнением: .

Решение.

1) Координаты точки А1 легко определить из вида уравнения «прямая, проходящая через заданную точку перпендикулярно заданному вектору»: , .

2) Определим координаты точки А2. Пусть , подставим это значение в уравнение прямой и найдем : .

3) Координаты точки А3 определим аналогично, положив : .

4) Координаты точки А4 определим аналогично, положив, например, :

Ответ:

Задача 2. Прямая задана общим уравнением: . Найти расстояние d от точки М(4,3) до этой прямой; найти координаты точки С(хс, ус) пересечения прямой и перпендикуляра , опущенного из точки М на линию .

Решение.

1) Расстояние от точки М(4,3) до прямой l :

2) Найдем уравнение прямой , проходящей через точку М перпендикулярно прямой .

Нормальный вектор прямой является направляющим для прямой : ; таким образом, и уравнение прямой запишем в виде: или .

3) Найдем координаты точки пересечения прямых и , решив систему двух уравнений:

   

Ответ:

Задача 3. Вычислить расстояние между параллельными прямыми:

Решение.

1) Найдем координаты какой-либо точки А, принадлежащей первой прямой : .

.

2) Найдем расстояние d от точки А до второй прямой:

Ответ: d = 2,5 − расстояние между двумя заданными параллельными прямыми.

Задача 4. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(3,6), В(−1,3), С(2, −1). Найти длину его высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.

Решение.

Найдем уравнение стороны АВ как уравнение прямой, проходящей через две данные точки А и В :

2) Найдем высоту h, опущенную из точки С(2, −1) на сторону АВ как расстояние от заданной точки до прямой АВ.

Ответ: h = 5.