3.2. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной(алгебраической) дробью называется функция вида 
, где 
многочлены.
Дробь называется правильной, если степень многочлена 
ниже степени многочлена 
;в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими(элементарными) дробями называются дроби следующего вида:
имеет отрицательный дискриминант;
отрицательный дискриминант.
В перечисленных выше выражениях 
действительные числа.
Каждая из простейших дробей имеет первообразную в классе элементарных функций. Рассмотрим интегралы от дробей первых трех типов:
Для вычисления этого интеграла выделим полный квадрат заменителя:
Замечание. Здесь показан метод интегрирования дробей третьего типа, который применяется к подобным интегралам по предложенной схеме.
Вычисление интегралов от дробей четвертого типа весьма громоздко и здесь не рассматривается.
Из алгебры известно, что правильную алгебраическую дробь 
можно представить в виде суммы конечного числа простейших алгебраических дробей. Тип дробей определяется разложением знаменателя 
на множители вида 
и квадратичные множители вида 
с отрицательным дискриминантом.
Каждый множитель вида 
порождает дробь первого типа 
Если множитель 
входит в разложение 
в виде 
, то в разложении правильной дроби 
появляется ровно k дробей первого и второго типов, а именно, 
Каждый множитель вида 
порождает дробь третьего типа
Если же 
входит в разложение 
в виде 
,то в разложении 
появляется ровно k дробей третьего и четвертого типов, а именно,
.
Коэффициенты разложения 
находят по методу неопределенных коэффициентов, применение которого будет показано на примерах.
На основании изложенного выше следует, что всякая правильная дробь имеет первообразную в классе элементарных функций.
Если 
- неправильная рациональная дробь, то путем деления многочлена на многочлен её можно представить в виде 
, где 
многочлен, а 
правильная рациональная дробь.
Так как 
интегрируется непосредственно, а 
интегрируется путем разложения на простейшие дроби, то можно сформулировать следующее утверждение:
Рациональные дроби образуют класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции.
Интегрирование рациональных дробей проводится по следующей схеме.
1.Если 
неправильная дробь, то её представляют в виде суммы целой части и правильной дроби.
2.Знаменатель 
раскладывают на линейные и квадратичные множители.
3.Правильную дробь раскладывают на простейшие дроби и интегрируют полученные выражения.
Пример 1.Найти интеграл 
.
Решение. Выделим целую часть неправильной рациональной дроби:
Разложим знаменатель полученной дроби на множители
Так как в разложении присутствуют три различных множителя, то правильная дробь 
представляется в виде суммы трех дробей первого типа:
где 
неопределенные коэффициенты, которые надо найти.
Для этого приводим дроби в правой части равенства к общему знаменателю. Из равенства знаменателей дробей в левой и правой частях равенства следует тождественное равенство числителей этих дробей, а именно,
или 
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях 
в обеих частях тождества, получим систему уравнений для неизвестных коэффициентов
Откуда, 
Тогда,
Пример 2. Найти интеграл 
Решение. Подынтегральная функция 
правильная алгебраическая дробь, знаменатель которой представлен в виде произведения линейного и квадратичного множителя. Следовательно, имеет место равенство:
Приводим правую часть к общему знаменателю и приравняем числители
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
слева и справа, получим систему:
Решив эту систему, имеем 
.
Таким образом,
Задачи для самостоятельного решения.
Найти интегралы:
Ответы:
= = = = =
