Сначала речь пойдет о преобразовании выражений.
Встречаются задания на умение использовать формулу сокращенного умножения - разность квадратов:
Например:
Конечно данный пример можно посчитать без использования формулы сокращенного умножения, но если все же ее использовать Вы выиграете массу времени, т. к. используя формулу разности квадратов посчитать данный пример можно в уме:
Решение:
Как видно из решения разность квадратов можно разложить на разность и сумму чисел 146 и 110, а значит мы получаем произведение чисел 36 и 256. Корни этих чисел равны 6 и 16, а произведение этих результатов и дает правильный ответ: 96.
Также встречается ряд заданий на умение использовать свойства степеней:
Разберем примеры:
Решение:
Сначала используем свойство степеней № 2 (возведение в степень) и возводим все, что стоит в скобке (а значит 4 и b) в степень 3. Далее. используя свойства №1 и №3, получим степень равную 0. Любое число при возведении в степень 0 дает в результате 1. Обратите внимание, что b=4 даже не надо подставлять в выражение, ответ уже получен и он равен 64.
Еще один пример на свойства степеней:
Решение:
Обратите внимание, что все отрицательные степени мы записали положительными, но для этого переменную в этой степени перенесли из числителя в знаменатель и наоборот.
Еще один пример на свойства степеней:
Решение:
В данном задании основания степенных выражений разные, поэтому 21 представим как 3 умножить на 7.
Рассмотрим свойство перехода от корня к степени:
Например:
Решение:
Разберем теперь логарифмы и их свойства. Задание части В не очень сложные, достаточно знать свойства логарифмов и уметь применять их.
Итак, первое свойство:
Разберем на примере:
Решение:
Логарифм от 169 по основанию 13 равен 2, т. к. 13 в квадрате равно 169, значит ответ: 2.
Свойство 2:
Разберем на конкретном примере:
Решение:
Логарифм от 100 по основанию 10 равен 2, т. к. 10 в квадрате равно 100.
Свойство 3:
Свойство 4:
Разберем на примере:
Решение:
Т. к. не существует свойства логарифмов, согласно которому логарифмы можно перемножить, то используют в таком случае всегда свойство номер 3, используя которое можно логарифм перенести из числителя в знаменатель дроби, при этом меняя местами основание логарифма и его логарифмическую часть. В нашем примере первый логарифм мы и перенесли в знаменатель, поменяв местами числа 3 и 13. Далее используем свойство логарифмов 4. Для этого 9 представим как три в квадрате, далее степень, равную 2, вынесем как множитель перед логарифмом. В результате в числителе и знаменателе образовались два одинаковых логарифма, сокращая их, в ответе получаем 2.
Данное задание можно было бы решить и по другому. используя свойство 3 и свойство 5:
Свойство 5:
Решение:
Итак, сначала используем свойство 3, далее переходим к другому основанию согласно свойству 5, а значит получаем в итоге логарифм с основанием 3 от числа 9. В какую степень надо возвести 3, чтобы получить 9? Во вторую! Значит ответ: 2.
Решим еще один пример на свойство 5:
Решение:
Сначала воспользуемся свойством 3, и перевернем логарифмы, тот который был в числителе переместим в знаменатель, не забыв поменять местами 3 и 4, а тот который стоял в знаменателе переместим в числитель, естественно тоже поменяв 81 и 4 местами. Теперь мы видим, что в обоих логарифмах в основании одинаковое число 4, а значит можно использовать свойство номер 5: получаем логарифм от 81 по основанию 3. Т. к. три по возведении в степень 4 равно 81, то ответ: 4.
Свойство 6:
Разберем пример на данное свойство:
Решение:
13 умножаем на 10 в степени логарифма с основанием тоже 10. По свойству 6 от 10 в этой степени остается только 2, значит 13 достаточно умножить на 2. Ответ: 26.
При подготовки к ЕГЭ по математике по тригонометрии необходимо знать основные формулы тригонометрии, таблицу тригонометрических функций, а также формулы приведения. Итак, по порядку:
Основные формулы при решении задач по тригонометрии:
Разберем на примере:
Решение: В числителе дроби 10 можно представить как 5 умножить на 2, в результате получим вторую формулу - синус двойного угла, согласно которой числитель будет равен 5 умножить на синус 286 градусов (143*2=286). При сокращении дроби синусы в числителе и знаменателе сократятся и ответ будет равен 5.
Я уже говорила выше, что необходимо знать таблицу тригонометрических функций.
Разберем на примере задание В7 с использованием знаний данной таблицы.
Решение: В данном примере необходимо найти значение функций синуса и косинуса от отрицательного аргумента ( в таблице отрицательный аргумент отсутствует). Прежде чем воспользоваться нужной таблицей, надо избавиться от минусов аргументов. Косинус - это единственная тригонометрическая функция, у которой этот минус просто исчезает, у синуса (как и у тангенса с котангенсом) - выносится вперед. Значит наш пример теперь равносилен новому:
Решим этот пример, используя тригонометрическую таблицу:
Решим еще один пример на основные тригонометрические формулы:
Решение: Сначала представим косинус в виде суммы:
У первых двух слагаемых вынесем 5 за скобки:
В скобках - основное тригонометрическое тождество (см. выше, формула номер 1). Используя его, выразим квадрат косинуса:
Теперь воспользуемся еще одной формулой тригонометрии (см. выше, последняя формула номер 6):
Формулы приведения:
Согласитесь такую таблицу выучить наизусть ни так то просто. Кстати, я ее тоже наизусть не знаю, но легко могу дать правильный ответ из данной таблицы и без заучивания наизусть формул приведения.
Для начала необходимо разобраться со знаками тригонометрических функций каждой из четырех четвертей окружности.
При формировании формул приведения самостоятельно важно помнить, что при повороте на 90 и 270 градусов аргумента функции сама функция меняется на противоположную, а значит синус на косинус, косинус на синус. тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.
Обратимся к таблице формул приведения еще раз:
Как видно из таблицы, при 90 и 270 градусов функция меняется на противоположную.
Аналогично разберем углы 180 и 360 ( а также 0 градусов ) градусов:
Как видно из таблицы, при углах: 0, 180 и 360 градусов функция сохраняется.
Ну а теперь в комплексе попробуем использовать все вышеперечисленное:
На схеме разобраны три примера для функции синус. В первом и третьем примере аргумент функции синуса начинается с чисел 90 и 270, а это значит, что синус необходимо заменить на косинус, что мы и сделали, во втором примере угол начинается с 180 градусов, значит синус сохранится. Далее необходимо разобраться со знаками. Разберем каждый пример:
1. Аргумент синуса равен 90+х. Ставим точку на окружности в 90 градусов (зеленая точка на окружности рисунка) и начинаем немного перемещаться против часовой стрелки (на рисунке - зеленая полоса по окружности от точки 90 градусов), попадаем во вторую четверть, где стоит знак +, значит наша функция косинуса будет положительной.
2. Аргумент синуса равен 180+х. Ставим точку на окружности в 180 градусов (желтая точка на окружности рисунка) и начинаем немного перемещаться против часовой стрелки (на рисунке - желтаяя полоса по окружности от точки 180 градусов), попадаем в третью четверть, где стоит знак -, значит наша функция синуса будет отрицательной.
3. Аргумент синуса равен 270-х. Ставим точку на окружности в 270 градусов (малиновая точка на окружности рисунка) и начинаем немного перемещаться по часовой стрелке (на рисунке - малиновая полоса по окружности от точки 2700 градусов), попадаем в третью четверть, где стоит знак -, значит наша функция косинуса будет отрицательной.
Аналогично работают и с другими функциями. А теперь разберем задания из ЕГЭ по математике на применение формул приведения:
Решение:
Сначала 35 градусов представляем как разность 90 и 55 градусов. В результате получилась формула приведения, т. к. на первом месте в скобках стоит 90 градусов, значит функцию косинуса заменим на функцию синуса и получим в результате синус 55 градусов (положительный, т. к. 90-55=35 - лежит в первой четверти, а функция косинуса в 1 четверти положительна). Далее в числителе воспользуемся формулой двойного угла, сократим дробь и получим ответ 32.
