Программное управление стохастическими системами с вероятностью единица как применение метода инвариантов

ПРОГРАММНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ ЕДИНИЦА как применение метода инвариантов

Тихоокеанский государственный университет, *****@***khstu. ru

Предлагается алгоритм построения программных управлений для стохастических систем со скачками, определяемыми нецентрированной пуассоновской мерой, для обеспечения  с вероятностью единица движение по заданному динамическому многообразию. Метод основан на понятии первого интеграла для системы стохастических дифференциальных уравнений и его свойствах.

Ключевые слова: пуассоновские скачки, заданная траектория, случайное динамическое многообразие, программное управление.

Введение

В глобальной формулировке программное движение можно рассматривать как движение на заданном многообразии. Канонически определения программного управления для стохастических систем строились для интегральных многообразий, уравнения которых не содержали зависимость от времени. Особенностью нашего подхода является учет динамичности, изменчивости во времени поверхности инвариантности. Часто возникает задачи управления динамической системой, в которой сохраняются заданные функционалы, причем влияние случайных возмущений, действующих на данную систему, должно быть сведено к минимуму. Понятие стохастического первого интеграла системы стохастических дифференциальных уравнений с винеровскими и пуассоновскими возмущениями  (обобщенных СДУ Ито) позволяет строить такие управления с вероятностью 1, то есть полностью исключая влияние данных случайных возмущений. В рассматриваемом методе построенное управление  обеспечивает  движение системы по заданному многообразию сколь угодно долгое (или необходимое) время.

Предложенный алгоритм построения программных управлений с вероятностью 1 для стохастических систем, подверженных только винеровским возмущениям, представлен в [1], его модификация для детерминированных систем – в [2].

Инварианты стохастической системы

Существенную роль для возможности построения программных управлений с вероятностью 1 играет понятие динамического инварианта и первого интеграла системы обобщенных СДУ.

Пусть - динамический процесс, определенный на, являющийся решением системы стохастических дифференциальных уравнений

,

,  ,          (1)

где w(t) – m-мерный винеровский процесс, -- однородная по t нецентрированная мера Пуассона (НМП). Относительно коэффициентов-компонент векторов A(t, x),  G(t, x;г) и матрицы В(t, x) и будем предполагать, что они ограничены и вместе со своими частными производными по фазовым переменным непрерывны по совокупности переменных (t, x;г).

       Определение 1. [3] Случайную функцию, определенную на том же вероятностном пространстве, что и решение системы (1), будем называть стохастическим первым интегралом системы (1) обобщенных СДУ Ито с НМП, если с вероятностью, равной 1, выполняется условие для любого решения системы (1).

       Eсли известна какая-либо реализация случайного процесса , то в этом случае можно говорить о детерминированном первом интеграле системы обобщенных СДУ Ито.

       В работе [4] было введено понятие стохастического первого интеграла для системы обобщенных СДУ  Ито с НМП,  однако именно нецентрированность МП позволяет строить программные управления с вероятностью 1 для стохастических систем со скачками. Это связано с тем, что в случае центрированной меры необходимо знать дополнительно информацию о  характере интенсивности скачков пуассоновского процесса, что является практически невозможным [4]. Для обобщенного  СДУ Ито с НМП получены условия, при выполнении которых детерминированная функция является первым интегралом для системы (1) [3].

       

Построение программных управлений

        Определение 2. 1  Программным движением стохастической системы

  ,  (2)

где w(t) – m-мерный винеровский процесс, -- однородная по t НМП, будем называть решение , позволяющее с вероятностью 1 при некотором управлении (программном управлении) s(t;x(t)) для всех t оставаться на неслучайном интегральном многообразии являющемся первым интегралом уравнения (1) при заданных начальных условиях

               Такое определение программного движения ближе к понятию динамического инварианта [5, стр. 24-27], т. е. поверхность рассматривается в расширенном фазовом пространстве. Таким образом предполагается также и динамичность многообразия, его изменение с течением времени.

       Теорема. 2 Пусть функции непрерывны вместе со своими производными по совокупности переменных (t;x), и случайные функции ,  определены на том же вероятностном пространстве, что и решение системы (1). Программное управление s(t;x(t)), позволяющее динамической системе (2) при наличии винеровских и пуассоновских возмущений оставаться с вероятностью 1 на интегральном многообразии, определяемом множеством функций  , является решением системы, состоящей из уравнений (1) и (2), в которой коэффициенты уравнения (1) и соответствующие коэффициенты уравнения (2) определяются следующим образом:

       • коэффициенты   столбцы матрицы принадлежат множеству функций , – -матрица, первая строка которой – векторы , 2-я – l-я  строки – частные производные по фазовым переменным функций ,  остальные строки – произвольные функции, не обращающие в ноль ;

       • коэффициент A(t;x) принадлежит множеству функций, определяемых условием , где - матрица Якоби для векторной функции , матрица-столбец , компоненты которой , , определяются следующим образом: , –квадратная  матрица порядка (n+1),  первая строка которой – векторы 2-я – l-я  строки – l-я  строки – частные производные по t  и по фазовым переменным функции , с остальные строки – произвольные функции, не обращающие в ноль –  алгебраическое дополнение элемента матрицы , при этом ;

  • коэффициент при пуассоновской мере определяется представлением , где решение системы дифференциальных уравнений удовлетворяющее  начальному условию где - определитель порядка n, первая строка которой – векторы , 2-я – l-я  строки – частные производные по фазовым переменным  функций , с остальные строки – произвольные функции, не обращающие в ноль

При этом определяются также реакции на случайные возмущения, обеспечивающие это программное управление.

Выводы

Введение первого интеграла системы обобщенных СДУ Ито и нецентрированность пуассоновской меры, определяющей скачки динамической системы, позволяет построить программное управление, чтобы с вероятностью, равной 1, развитие системы происходило в соответствии с заданной траекторией.

Литература

1. Чалых множества программных управлений с вероятностью 1 для одного класса стохастических систем // Автоматика и телемеханика. – T. 70, № 8.  – 2009. - C.110-122.

2. Карачанская программных управлений динамической системы на основе множества ее первых интегралов // Современная математика. Фундаментальные направления.  № 42. – 2011. – С.125-133.

3. Карачанская программных управлений с вероятностью 1 для динамической системы с пуассоновскими возмущениями // Вестник ТОГУ.  -  № 2(21). – 2011. – С. 51-60. 

4. Дубко эволюционирующие системы.// "Вiдкритi еволюцiонуючi системи" мiжнар. наук.-практ. конф. (2002, Київ) Перша мiжнародна науково-практична конференцiя "Вiдкритi еволюцiонуючi системи" (26-27 квiт. 2002 р.) (Додаток). К., ВНЗ ВМУРоЛ, 2002. - С. 14-31.

5.  Дубко дифференциальные уравнения в некоторых задачах математической физики  (канд. дисс.). / Ин-т матем. АН УССР, Киев. – 1979.

Program control of stochastic systems with probability one AS INVARIANT method application

Karachanskaya E. V.

Pacific National University, *****@***khstu. ru

We present the algorithm of a program control construction for the stochastic jump systems, and jumps determined by non centered Poisson measure. This program control ensures the system motion in the given dynamic manifold with probability one. This method based on the concept of the first integral of SDE system and it’s properties.

Кеу words: Poisson jumps, given trajectory, random dynamic manifold, program control.