Задача
Для заданных схем балок требуется:
Изобразить схемы балок согласно числовым данным. Определить реакции опор и построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M. Найти положение опасного сечения. Подобрать размеры сечения из условия прочности по у:а) выбрать № двутавра, приняв [у]=160 МПа (материал – сталь);
б) определить диаметр деревянной балки при [у]=10 МПа;
в) подобрать размеры b и h прямоугольного сечения деревянного бруса при [у]=10 МПа и заданном соотношением сторон h=2b.
Дано: a=0,9м; b=1,2м; l=5,6м; М=-7кН∙м; Р=-5,6кН; q=3,4кН/м.
Решение:
СХЕМА №1.
Рисунок 1 – Схема балки и эпюры внутренних усилий
1. Составляем уравнения равновесия параллельной системы сил, из которых определяем опорные реакции балки:
Из уравнения (2) находим VA:
Из уравнения (1) находим МА:
Проверяем правильность определения опорных реакций, составляя уравнения моментов, относительно точки В:
т. е. реакции определены верно.
2. Построение эпюры перерезывающих сил Qy и изгибающего момента Mx.
Балка имеет три участка, границами которых служат сечения, где приложены внешние сосредоточенная сила и изгибающий момент. Для обнаружения внутренних силовых факторов на этих участках используем метод сечений. Мысленно рассекаем балку на каждом из участков на расстояниях 
и рассматриваем равновесие одной из частей рассеченной балки (рис. 1а).
В результате получаем уравнения равновесия:
Участок ВС (
) – рис. 1а:
кН.
.
; 
.
Участок СD (
) – рис. 1а:
.
кН. 
кН.
.
.
; 
.
Участок AD (
) – рис. 1а:
кН. 
кН.
; 
.
Перерезывающие силы и изгибающие моменты на каждом из участков известны, что позволяет легко построить графики-эпюры (рис. 1б и 1в). При этом эпюру изгибающих моментов строим на растянутых волокнах.
3. По эпюре изгибающих моментов определяем положение опасного сечения балки (сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее по абсолютной величине значение). В нашем случае - это сечение А, где М3=Мmax = 86,63 кН∙м.
4. Подбираем сечения:
а) Двутавр.
Из условия прочности балки на изгиб
вычисляем необходимый осевой момент сопротивления
В соответствии с ГОСТ 8239-89, принимаем сечение из стального двутавра №33 с WX=597см3.
б) Сечение деревянной балки подбираем по условию прочности при изгибе.
уmax = |M|max / W ≤ [у], откуда
W ≥ |M|max / [у] = 86,63·106 /10= 8,663·106 мм3 = 8663 см3.
Для круглого сечения W=р·d3/32≈0,1d3, откуда
см, принимаем d = 45 см.
в) Прямоугольное сечение деревянного бруса.
Из условия прочности балки на изгиб
вычисляем необходимый осевой момент сопротивления
Для прямоугольного сечения:
.
Так как h/b = 2, то 
,
откуда 
см. h = 2 · 23,51 = 47,02 см.
СХЕМА №2.
Рисунок 2 – Схема балки и эпюры внутренних усилий
1. Составляем уравнения равновесия параллельной системы сил, из которых определяем опорные реакции балки:
Из уравнения (2) находим VA:
Из уравнения (1) находим VB:
Проверяем правильность определения опорных реакций, составляя сумму проекций всех сил на ось Y:
т. е. реакции определены верно.
2. Построение эпюры перерезывающих сил Qy и изгибающего момента Mx.
Балка имеет три участка, границами которых служат сечения, где приложены внешние сосредоточенная сила и изгибающий момент. Для обнаружения внутренних силовых факторов на этих участках используем метод сечений. Мысленно рассекаем балку на каждом из участков на расстояниях 
и рассматриваем равновесие одной из частей рассеченной балки (рис. 2а).
В результате получаем уравнения равновесия:
Участок АС (
) – рис. 2а:
.
; 
.
Участок СD (
) – рис. 2а:
.
кН. 
кН.
.
.
; 
.
Участок DВ (
) – рис. 2а:
кН. 
кН.
; 
.
Эпюра Q на участке меняет знак, следовательно, эпюра изгибающих моментов имеет экстремум. Координата экстремума:
,
откуда 
м.
Подставляем найденную координату в уравнение моментов:
.
Перерезывающие силы и изгибающие моменты на каждом из участков известны, что позволяет легко построить графики-эпюры (рис. 2б и 2в). При этом эпюру изгибающих моментов строим на растянутых волокнах.
3. По эпюре изгибающих моментов определяем положение опасного сечения балки (сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее по абсолютной величине значение). В нашем случае - это сечение А, где М3=Мmax = 17,42 кН∙м.
4. Подбираем сечения:
а) Двутавр.
Из условия прочности балки на изгиб
вычисляем необходимый осевой момент сопротивления
В соответствии с ГОСТ 8239-89, принимаем сечение из стального двутавра №16 с WX=109см3.
б) Сечение деревянной балки подбираем по условию прочности при изгибе.
уmax = |M|max / W ≤ [у], откуда
W ≥ |M|max / [у] = 17,42·106 /10= 1,742·106 мм3 = 1742 см3.
Для круглого сечения W=р·d3/32≈0,1d3, откуда
см, принимаем d = 26 см.
в) Прямоугольное сечение деревянного бруса.
Из условия прочности балки на изгиб
вычисляем необходимый осевой момент сопротивления
Для прямоугольного сечения:
.
Так как h/b = 2, то 
,
откуда 
см. h = 2 · 13,77 = 27,54 см.
СХЕМА №3.
Рисунок 3 – Схема балки и эпюры внутренних усилий
1. Составляем уравнения равновесия параллельной системы сил, из которых определяем опорные реакции балки:
Из уравнения (2) находим VA:
Из уравнения (1) находим VB:
Проверяем правильность определения опорных реакций, составляя сумму проекций всех сил на ось Y:
т. е. реакции определены верно.
2. Построение эпюры перерезывающих сил Qy и изгибающего момента Mx.
Балка имеет три участка, границами которых служат сечения, где приложены внешние сосредоточенная сила и изгибающий момент. Для обнаружения внутренних силовых факторов на этих участках используем метод сечений. Мысленно рассекаем балку на каждом из участков на расстояниях 
и рассматриваем равновесие одной из частей рассеченной балки (рис. 3а).
В результате получаем уравнения равновесия:
Участок АС (
) – рис. 3а:
.
; 
.
Участок СВ (
) – рис. 3а:
.
.
.
; 
.
Участок ВD (
) – рис. 3а:
кН. 
кН.
; 
.
Перерезывающие силы и изгибающие моменты на каждом из участков известны, что позволяет легко построить графики-эпюры (рис. 3б и 3в). При этом эпюру изгибающих моментов строим на растянутых волокнах.
3. По эпюре изгибающих моментов определяем положение опасного сечения балки (сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее по абсолютной величине значение). В нашем случае - это сечение А, где М3=Мmax = 40,43 кН∙м.
4. Подбираем сечения:
а) Двутавр.
Из условия прочности балки на изгиб
вычисляем необходимый осевой момент сопротивления
В соответствии с ГОСТ 8239-89, принимаем сечение из стального двутавра №22а с WX=254см3.
б) Сечение деревянной балки подбираем по условию прочности при изгибе.
уmax = |M|max / W ≤ [у], откуда
W ≥ |M|max / [у] = 40,43·106 /10= 4,043·106 мм3 = 4043 см3.
Для круглого сечения W=р·d3/32≈0,1d3, откуда
см, принимаем d = 35 см.
в) Прямоугольное сечение деревянного бруса.
Из условия прочности балки на изгиб
вычисляем необходимый осевой момент сопротивления
Для прямоугольного сечения:
.
Так как h/b = 2, то 
,
откуда 
см. h = 2 · 18,24 = 36,48 см.
