” ба Приводимость и устойчивость системы линейных дифференциалных уравнений с

кусочно-частичными периодичесими коэффициентами.

Ph. D Т. Батзул*                Р. Чойсүрэн

(*-Монгольский Университет Науки и Технологий.)

       Аннотация. В этой работы мы ввели понятие кусочно –частично периодической функции, а затем показали приводимость системы линейных дифференциальных уравнений с кусочно –частично периодическими коэффициентами.

       Ключевые слова: Приводимые системы линейных дифференциальных уравнений Ляпунову [1], интегральная матрица системы линейных дифференциальных уравнении.

Введение

В работе [1] и [2] показано, что всякая система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами приводима. Отметим, что в работах ([2], [3]) рассмотрены некоторые очевидные классические результаты о системах линейных дифференциальных уравнений с периодическими и почти периодическими коэффициентами.

       Наша работа состоит из двух частей. В первой части, мы ввели понятие кусочно –частично периодической функции. А во второй, показали приводимость системы линейнных дифференциальных уравнении с кусочно –частично периодическими коэффициентами.

Часть 1.

       Определеие 1. Пусть вещественная (или комплексная) функция определенная при . Пусть . Кроме того нерациональные числа для каждых .

Функцию назовем функцией с кусочно–частичным периодом, если верны

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

для каждых где .

В этом случае назовём кусочно–частичным периодом функций .

Пример:  Пусть где . Тогда очевидно, что

Поэтому функция или

будет функцией с кусочно-частичным периодом при причем

Замечание 1.  Из опеределения 1 следует, что каждая вещественная (или комплексная) периодическая функция является кусочно-частично периодической функцией.

Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка:

  (1)

где - комплексная функция вещественного аргумента при .

Замечание 2. Пусть –комплексные кусочно-частичные периодические функции с одинаковым частным периодом . Тогда по определению 1 следует функции будут такими, что

  (2)

  (3)

(Это следует из определения (1)).

       В этом случае систему (1) запишем так:

  (4)

Замечание 3. Полагая систему перепишем в виде:

  (5)

Часть 2.

       Лемма. Всякая система с кусочно-частичными периодическими коэффициентами (с одинаковым частным периодам) приводима.

       Доказательство. - вещественные непрерывные функции на интервале .

       Рассмотрим систему:

Очевидно, что если некоторая интегральная матрица системы , то зависит от функций .  Поэтому интегральную матрицу рассмотрим как функцию аргументов или .

Из условия  следует что, также является интегральной матрицей системи. Рассмотрим случай когда Tогда имеет интегральную матрицу системы . Поэтому

и

Из определения интегральной матрицы вытекает, что где - некоторая постоянная матрица. Поскольку , то можно опеределить,

Тогда является непрерывной кусочно-частично периодической функцией с частным периодом . В этом случаее преобразование

является преобразованием Ляпунова и Система (6) приводится к виду

Лемма доказана.

Каждая приводимая система однородных линейных дифференциальных уравнений устойчива по Ляпунову (см [1]). Поэтому из леммы следует, что каждая система однородных линейных дифференциальных уравнений с кусочно-частичными коэффициентами также устойчива по Ляпунову.

Литература:

Гантмахер. Ф.Р, Теория матриц. Из. “Наука”, Москва 1967 г. Ляпунов. А.М, Общая задача об устойчивости движения, Гостехиздат. 1950 г Алексенко. Н.В, , Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическим коэффициентами, /Дифф. уравнения 2001, Т37, С147-153/