Двумерная модель движения гранулированной среды, основанная на методе клеточных автоматов

ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ГРАНУЛИРОВАННОЙ СРЕДЫ, ОСНОВАННАЯ НА МЕТОДЕ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ

Основана на работе LaMarche K. R., Conway S. L., Glasser B. J., Shinbrot T. Cellular automata model of gravity-driven granular flows, Granular Matter, DOI 10.1007/s10035-006-0028-9

Клеточный автомат состоит из набора объектов (ячеек), обычно образующих регулярную решетку. Состояние отдельно взятого i-го объекта (или ячейки) в момент времени n характеризуется некоторой переменной, которая может быть целым, действительным или комплексным числом, либо представлять собой набор из нескольких чисел. Рассматриваемые состояния ячеек изменяются синхронным образом через дискретные интервалы времени в соответствии с локальными вероятностными правилами, которые могут зависеть от состояния переменных в ближайших соседних узлах. Эти правила не меняются со временем.

В нашем случае для моделирования движения оползня будем использовать такие правила:

Сравнивается высота каждой клетки с окрестностью. Находится клетка с наименьшей высотой, куда и переместится гранула. Если имеются 2 точки с одинаковой высотой, то выбирается одна точка наугад. С перемещаемой клетки отнимается высота перемещаемой гранулы. В перемещаемую клетку эта высота прибавляется.

  если или

  если

где Zi, j – высота точки, – градиент.

При этом входным вектором является вектор высот исходного положения оползнеопасного участка. На выходе мы получаем новый вектор высот уже перемещенного оползня.

Моделирование движения оползня, используя простейшие правила моделирования на шаге t=15

Моделирование движения оползня, используя простейшие правила моделирования на шаге t=250

Моделирование движения оползня, используя простейшие правила моделирования на шаге t=2500

Моделирование движения оползня, используя простейшие правила моделирования на шаге t=5000

В данном примере оползень ведет себя как жидкость. Поэтому необходимо вводить другие параметры, которые бы превратили оползень в гранулированную среду. Такими параметрами являются угол покоя и вязкость.

Под углом покоя понимается величина, при превышении которой возможен оползневый процесс.

Вязкость — свойство текучих тел оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой.

Новые правила, которые добавляются в модель клеточных автоматов, выглядят следующим образом:

Если градиент превышает угол покоя, то гранула перемещается из одной точки в другую, если нет – остаётся на месте.

Сохраняем долю предыдущей скорости точки для следующего временного шага.

,

где – коэффициент вязкости.

Если вязкость будет равна 0,8, то модель будет выглядеть следующим образом:

Моделирование движения оползня, введя коэфициент вязкости и угол покоя на шаге t=15

Моделирование движения оползня, введя коэфициент вязкости и угол покоя на шаге t=500

Моделирование движения оползня, используя простейшие правила моделирования на шаге t=1000

Рис. 9 Моделирование движения оползня, используя простейшие правила моделирования на шаге t=5000

При введении вязкости, соответствующей грунту, и угла покоя гранулированная среда повела себя как «куча песка».

Если вязкость будет равна 0,015 (вязкость воды), то модель будет выглядеть следующим образом:

Моделирование движения оползня, используя простейшие правила моделирования на шаге t=15

Моделирование движения оползня, используя простейшие правила моделирования на шаге t=250

Моделирование движения оползня, используя простейшие правила моделирования на шаге t=500

Моделирование движения оползня, используя простейшие правила моделирования на шаге t=1000

Моделирование движения оползня, используя простейшие правила моделирования на шаге t=5000

Как видим, в последнем случае оползень действительно ведет себя как вода.

Проверим работу модели при разных видах подстилающей поверхности:

склон с участками разного склона:

Моделирование движения оползня на шаге t=15

Моделирование движения оползня на шаге t=500

Моделирование движения оползня на шаге t=1500

Моделирование движения оползня на шаге t=5000

склон со стенкой:

Моделирование движения оползня на шаге t=5000

Моделирование движения оползня на шаге t=5000

Моделирование движения оползня на шаге t=5000

Моделирование движения оползня на шаге t=5000

склон с обрывом:

Моделирование движения оползня на шаге t=15

Моделирование движения оползня на шаге t=500

Моделирование движения оползня на шаге t=1500

Моделирование движения оползня на шаге t=6000

склон с синусоидальным рельефом:

Моделирование движения оползня на шаге t=15

Моделирование движения оползня на шаге t=500

Моделирование движения оползня на шаге t=1500

Моделирование движения оползня на шаге t=6000