Недиссипативный вихрь в политропной среде

111НЕДИССИПАТИВНЫЙ ВИХРЬ В ПОЛИТРОПНОЙ СРЕДЕ

Рассматривается новый класс точных вихревых решений гидродинамических урав­не­ний в гравитирующей среде с политропным уравнением состояния в присутствии  верти­каль­но­го потока вещества. Показано, что существуют профили скоростей, которые зану­ляют вязкие члены в уравнении движения вязкой среды и представляют структуру вихря с одно­род­но вращающимся ядром и сходящимся радиальным потоком. Такие течения имеют мини­маль­ную диссипацию энергии и поэтому могут относительно легко появляться в естествен­ных условиях.

Введение

Вихри и вихреподобные течения чрезвычайно широко распрос­тра­­не­ны в природе. Частoе возникновениe мощных атмосферных вихрей (цик­лоны, ураганы, тайфуны, торнадо (см. Наливкин (1969), Bengsson, Lighthill (1982))), пес­ча­ные бури, водовороты в океане и на реках и т. д. – все они являются проявлением вихревого движения. Яркий пример огромной вих­ревой структуры - большое Красное пятно на поверхности Юпитера, которое наб­лю­дает­ся уже несколько сотен лет. Возникает вопрос: почему та­кие вихревые структуры могут существовать в течение долгого времени, несмотря на конечную вязкость среды? Ответ на этот вопрос частично дается моделью Ранкина (см. Kundu (1990)) для вихря в несжимаемой вязкой жидкости с vϕ (r) = щr - твердотельное вращение с угловой скоростью щ в цилиндрической области радиуса r0 (ствол вихря): r < r0, и дифференциальное вращение - vϕ (r) = щr0/r - во внешней области r >r0. В этом случае, вязкие члены в уравнении Навье - Стокса в ци­линдрической системе координат точно обращаются в нуль. Это – пример недиссипативного вихревого движения жидкости с пос­то­ян­­ным во времени значением угловой скорости щ и с острым изломом профиля vϕ(r) на поверхности r = r0. Однако в области дифференциального вращения во внешней от ядра области и излом профиля скорости vϕ(r) на границе ядра, конечная вязкость приводят к диссипации кинетичес­кой энергии вихря. Поэтому стационарные или ускоряющиеся вихри могут существовать только благодаря пос­туп­лению энергии от окружающей среды (см. Pashitskii и др. (2007)).

В настоящей работе мы рассмотрим нестационар­ную вихревую структуру в политропной среде. Покажем, что нестационарность вихрей вызвана объединенным дейст­ви­ем конвективных гидродинамических сил и сил Кориолиса, которая возника­ет из-за сходящегося радиального потока вещества в область вихревого движения. Причем, временной за­кон изменения угловой скорости вихря может быть показательным или степенным, в зависимости от условий в среде.

Mодель нестационарного вихря

Один из самых интересных парадоксов в гидродинамике - так называемый ≪эффект во­ронки≫ (Седов (1976)). Обычно он объясняется законом сох­ра­нения углового момента несжимаемой жидкости и ускорением враще­ния вихря из-за сужения канала. В другом подходе предполагается (Голдштик и др. (1989)), что уг­ловой момент в начальном вихрении возникает в результате конвективной неустойчивос­ти цилиндрически-симметричного потока в жидкости (затопленная струя) относительно лево - и право - спиральных возмущений.

Здесь мы покажем, что в присутствии гравитационного поля существует простой механизм формирования вихря в среде, включающий вертикальный поток вещества, скорость которого зависит от координа­ты z (вертикальная ось вихря).

Рассмотрим уравнения для аксиально-симметрического движения несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрических координатах (Ландау, Лифшиц (1987)):

                               (1)

                               (2)

                (3)

уравнение непрерывности для сжимаемой среды:

                                (4)

где vr, vϕ и vz - радиальные, азимутальные и осевые компоненты гидродинамической скорости v, з - коэффициент динамической вязкости, g - ускорение гравитации, направленное противополож­но оси z, P и с - давление, плотность среды, связанные политропным уравнением состояния

  .  (5)

В равновесном состоянии (vr = vz = vц = 0) плотность массы вертикального политроп­но­го столба среды определяется с помощью уравнения (2.3) формулой:

  .  n <1                (6)

       в = мg/RT,        n=1,                        (6’)

где с0(0) – плотность массы на уровне z = 0, м – молярная масса, R - газовая постоянная, T - температура.

Возмущенное вихревым движением состояние будем описывать полем скоростей v и возмущенными значениями давления и плотности:

,                        (7)

где cs - скорость звука в среде.

В случае, когда vr = vz = 0, уравнения (1) и (2) дают:

                                               (8)

                       (9)

Если радиальная зависимость азимутальной скорости vц(r), согласно модели вихря Рэнки­на (Kundu (1990)), выбрать в виде:

                               (10)

тогда правая сторона уравнения (9) тождественно обратится в нуль. Заметим, что ствол (r<r0) вихря вращается однородно с угловой скоростью щ. В этом случае распре­де­ление возмущенной плотности, согласно (8), имеет форму:

       (11)

В модели Ранкина радиус r0 ствола вихря не определен. Если в газе имеется верти­каль­ный цилиндрически-симметрический поток вещества со скоростью vz, то ее радиус и определит размер r0 в формуле (10). Предположим, что скорость потока зависит линейно от коорди­наты z и равна нулю в области r > r0:

    (12)

Тогда из уравнения непрерывности (2.4) в линейном приближении находим

  (13)

Заметим, что скорости (10), (12) и (13) тождественно зануляют вязкие члены в уравнениях (1) - (3). В то же самое время диагональные компоненты вязкого тензора напряжений  отличны от нуля. Это приводит к следующей диссипации кинети­ческой энер­гии единицы длины вихря:

                (14)

Учитывая выражения (10) и (13) в уравнении (2), получаем

.                         (15)

Заметим, что в ядре вихря (r < r0) конвективные силы и сила Кориолиса слагаются, а во внешней области (r > r0) компенсируют друг друга.

Если vz0 неизменен во времени, то из уравнения (15) следует, что в области r < r0 угловая скорость вихря меняется со вре­менем экспоненциально, при условии, что начальное вихрение отлично от нуля щ(0) ≠ 0:

               vz0 = const,         (16)

тогда как во внешней области щ = щ(0) = const. Причем угловая скорость ядра нарастает у вихря с нисходящим потоком (vz0 < 0) и убывает у вихря с восходящим потоком (vz0 > 0). Таким образом, на границе ствола r = r0 возникает скачок азимутальной скорости, который нарастает со временем по экспоненциальному закону. Диссипация же энергии (14) нестационарного вихревого движения не зависит от времени  и определяется только начальным вихрением щ(0).

Итак, в рассматриваемом вихревом движении диссипация остается маленькой, несмотря на быстрый рост угловой скорости вращения ядра вихря.

Учитывая выражения (7), (9) и (10) в уравнениях (1), (3) и (4), получаем следующие уравнения для возмущения плотности:

        (17)

                        (18)

Заметим, что уравнения (17) и (18) указывают на существование нарастающих со временем скачков первых производных возмущенной плотности и давления на границе ядра вихря r = r0. Из уравнения (18) следует, что в одном частном случае возможно существование нестационар­но­го решения с dvz0 /dt ≠ 0, а именно:

                       (19)

При этом скачок первой производной возмущения давления по z исчезает, и имеем

                       (20)

где с10(r, t) - возмущенная плотность на уровне z=0:

               (21)

Первое же уравнение (19) имеет решение:

        (22)

причем случай vz00>0  соответствует потоку вещества в ядре вихря, направленного вертикально вверх и нарастающего со временем, а случаю vz00<0 – направлению потока вниз и убыванию его скорости со временем. С учетом (2.17) уравнение (2.12) в области r < r0 имеет решение

  ,                                (23)

которое соответствует ускорению вращения вихря при , и замедлению – в противном случае.

Возможные применения полученных результатов

Известно, что состояние Юпитера можно описать политропным уравнением со значением индекса политропы  n = 1. Выбирая начало цилиндрической системы координат в молекулярном Н2-Не слое на расстоянии 0.9RJ от центра планеты (рис.1) и направляя ось Z вдоль ее радиуса, формула для равновесного распределения плотности массы представится в виде

  в = мgJ/2RT.9                        (24)

где м – молярная масса молекулярного Н2-Не слоя, с.9 и T.9 – плотность и температура на уровне 0.9RJ, gJ - ускорение свободного падения на поверх­нос­ти планеты, зависимостью от z  которого пренебре­гаем в рассматриваемом слое.

Учитывая данные, приведенные на рис. 1, а также уравнение Клапейрона - Менделеева

P=RсT/м,                         (25)

можно приб­лиженно получить параметры задачи в расс­мат­ри­вае­мой части слоя:

  с0(z)=с.9(1-вz),  T0(z)=T.9(1-вz),

               K=RT.9/мс.9,         в=мgJ/2RT.9,                         (26)

  (27)

Изостерические поверхности, описываемые формулой (27), предс­тав­ляют воронки, глубина которых растет со временем. На рис. 2 представлены примерный вид поверхностей равной плотности нестационарного вихря в разные моменты времени в случае .

Дальнейшее изучение эволюции вихря, а также численные оценки и со­пос­­тавление с данными наблюдений нами будут проведены в последую­щих рабо­тах.

Цитированная литература

Наливкин , щтормы и торнадо. Ленинград: Наука, 1969.

Bengsson L., Lighthill J. (Eds.). Intence Atmospheric Vortices. Berlin, 1982.

Kundu P. K. Fluid Mechanics. Academic Press Inc., 1990.

Pashitskii E. A., Malnev V. N., Naryshkin R. A. Preprint in J. Fluid Mech., Feb., 2007.

, Лифшиц E. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

Седов сплошной среды. М.: Наука, 1976.

A., , Яворски течения с парадоксальными свойствами. Новосибирск: Наука, 1989.

Stevenson D. J. Interiors of the Giant Planets. Ann. Rev. Earth & Planetary Science. Vol. 10, p. 257, 1982.