Вариант №9
1. Исследовать на сходимость знакоположительные ряды:
1) 
Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда:
Сравним с расходящимся гармоническим рядом: 
согласно предельному признаку сравнения
Ответ: ряд расходится, так же как и гармонический ряд
.
2) 
Применим признак сравнения. Запишем выражение, эквивалентное общему члену ряда при 
(из таблицы эквивалентных
).
Ответ: ряд расходится.
3) 
Используем признак Даламбера:
Ответ: ряд расходится.
4) 
К данному ряду удобно применить радикальный признак Коши:
Ответ: ряд расходится.
2. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды:
1) 
Это знакочередующийся ряд. Проверяем выполнение признака
Лейбница:
Признак Лейбница не выполняется.
Ответ: ряд расходится.
2) 
Это также знакочередующийся ряд. Проверяем выполнение признака Лейбница:
Здесь использована формула из таблицы эквивалентных 
Признак Лейбница выполняется – ряд сходится. Но сходимость может быть как абсолютной, так и условной. Установим это.
Рассмотрим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
При 
имеем 
Поэтому ряд из абсолютных величин расходится.
Ответ: исходный ряд сходится условно.
3) 
Проверяем выполнение признака Лейбница:
Т. к., факториал растёт быстрее, чем любая показательная последовательность.
Признак Лейбница выполняется – ряд сходится.
Исследуем на сходимость ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
Применим к нему признак Даламбера:
Ряд из абсолютных величин сходится.
Ответ: исходный ряд сходится абсолютно.
4) 
Находим
Здесь использована формула из таблицы эквивалентных 
.
Признак Лейбница выполняется – ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость.
Ряд
исследуем на сходимость по радикальному признаку Коши:
Ряд из абсолютных величин сходится.
Ответ: исходный ряд сходится абсолютно.
3. Найти интервалы сходимости степенных рядов:
1) 
Сначала применим к ряду признак Даламбера.
Ряд, согласно признаку Даламбера, будет сходиться только в том случае, если найденный предел будет меньше 1.
Потребуем, чтобы
Проверяем сходимость ряда на концах полученного интервала. Для этого подставим в исходный ряд вместо 
значения концов интервала, получим числовые ряды, сходимость которых поверяем с помощью признаков сходимости числовых рядов.
При 
получим ряд
который расходится 
.
При 
получим ряд
который является знакочередующимся, и он сходится по признаку Лейбница, так как
Т. к. ряд из модулей расходится, сходимость условная.
Таким образом, ряд сходится на левом конце промежутка и значение 
мы включаем в интервал сходимости.
На правом конце промежутка 
ряд расходится, поэтому это значение в интервал не включается
Ответ: Интервал сходимости ряда 
при 
ряд сходится условно.
2) 
Применим к ряду признак Даламбера.
Потребуем, чтобы
Проверяем сходимость ряда на концах полученного интервала. Для этого подставляем в исходный ряд вместо 
значения концов интервала и получаем числовые ряды, сходимость которых поверяем с помощью признаков сходимости числовых рядов.
При 
получим
Этот ряд является знакочередующимся и он сходится по признаку Лейбница, так как
Т. к. ряд из модулей 
расходится, сходимость условная.
При 
получим
который является знакоположительным гармоническим рядом. Такой ряд расходится.
Таким образом, ряд сходится на правом конце промежутка и значение 
мы включаем в интервал сходимости.
На левом конце промежутка 
ряд расходится, поэтому это
значение в интервал не включается.
Ответ: Интервал сходимости р я да 
.
4. Разложить в ряд Тейлора по степеням 
функции:
1)
Формула Тейлора имеет вид:
все производные, начиная с четвёртой производной, будут нулевыми.
Подставляем в формулу Тейлора: 
2) 
При решении данной задачи используем таблицу рядов Маклорена элементарных функций. Данную функцию предварительно преобразуем, подстраивая ее под табличный шаблон.
3)
4) 
5. Используя разложение подынтегральной функции в степенной
ряд, вычислить интегралы с точностью не менее 0,01:
1) 
Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена (берем готовый ряд для функции 
), заменяя 
на
, проведем почленное интегрирование и вычислим интеграл.
2) 
6. Разложить в ряд Фурье функцию в указанном интервале:
1)
Ряд Фурье функции, заданной в интервале 
:
Находим коэффициенты ряда Фурье:
Точки разрыва устранимые, поэтому данное разложение является полным ответом.
2) 
Предполагая продолжение функции на промежуток 
нечетным образом, имеем, что все коэффициенты 
, а коэффициенты 
находятся по формулам, соответствующим случаю нечетной функции в интервале 
.
Итак, получили:
Ряд Фурье
Из графика функции видно, что в точках 
функция терпит разрывы 1-го рода, поэтому нужно дополнить полученное разложение значениями функции в этих точках. Согласно теореме Дирихле, значения функции в точках разрыва или на границах интервалов равны полусумме значение слева и справа от соответствующей точки:
Итак, в точках 
получим:
В точках 
получим:
Окончательный ответ:
Список использованной литературы
1. Пискунов и интегральное исчисления для втузов. — М.: Наука, 1978.
2. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах, часть 2. – М.: Высш. шк., 1986.
3. , Фикс математика, часть 3. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Дифференциальные уравнения. Числовые и функциональные ряды: учебное пособие. – Томск, 2008. – 203 с.
