В месяце было 12 дождливых, 8 ветреных, 4 холодных дня, дождливых и ветреных – 5, дождливых и холодных – 3 , ветреных и холодных – 2, дождливых, ветреных и холодных – 1 день. Сколько дней была плохая погода?        Пусть А – дождливые дни, В – ветреные дни, С – холодные, D – дни с плохой погодой. Тогда . Количество дней с плохой погодой: |D| = |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|–|A∩B|–|A∩C|–|B∩C|+|A∩B∩C| = 12+8+ +4–5–3–2+1 =15.

Более общая формула, известная как принцип включения и исключения, позволяет вычислить мощность объединения произвольного количества множеств, если известны их мощности и мощности всех пересечений.

(принцип включения и исключения):

Пусть множество А состоит из N элементов и имеется m одноместных отношений (свойств) . Каждый элемент множества может обладать или не обладать любым из этих свойств. Обозначим через число элементов, обладающих свойствами и, может быть, некоторыми другими. Тогда число N(0) элементов, не обладающих ни одним из свойств , вычисляется по следующей формуле:

,  где 

Обобщая, получаем формулу, позволяющую вычислить число N(r) элементов, обладающих ровно  r  свойствами .

  (2.8)

Определим функцию [x] для вещественных чисел как наибольшее целое число, не превосходящее x. Число [x]  называется целой частью числа x. Для положительных чисел а и b значение функции равно количеству чисел из множества {1, 2,…, b}, которые делятся на а, т. е. кратны а.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
Сколько положительных трехзначных чисел делятся ровно на одно из чисел 3, 5 или 7?        Обозначим P3 – свойство делимости на 3, P5 – на 5,  P7 – на 7. Всего трехзначных чисел 9·10·10=900. Тогда .

Так как N3,5 – число чисел, делящихся одновременно на 3 и 5, а наименьшее общее кратное 3 и 5 равно 15, то . Аналогично, По формуле (2.8) находим искомое число:        

Контрольные вопросы

Подсчитайте, сколько чисел в диапазоне от 1 до 100 делятся на 3? На 3 или 5? На 6 или 9? Только на одно число из двух – или на 6, или на 9? Рекуррентные функции
        Понятие рекуррентного соотношения

Понятие последовательности было введено в разделе «специальные функции».

Рекуррентным соотношением, рекуррентным уравнением или рекуррентной формулой называется соотношение вида , которое позволяет вычислить все члены последовательности , если заданы ее первые k членов.

1.        Формула  an+1 = an+d  задает арифметическую прогрессию.
2.  Формула  an+1 = q⋅an  задает геометрическую прогрессию.        
3.  Формула  an+2 = an+1+an  задает последовательность чисел Фибоначчи.

В случае, когда рекуррентное соотношение линейно и однородно, т. е. для всех  n  и некоторого  k  выполняется          (2.9)
где pi = const, последовательность a0, a1,… называется  возвратной.  Соотношение (2.9) называется возвратным уравнением порядка k.

Геометрическая прогрессия – это возвратная последовательность первого порядка, так как  an+1 =q⋅an  ⇒  an+1 –q⋅an=0. Арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением an+1 =an + d ⇒ an+1 – an = d Данное уравнение не является однородным, попробуем привести его к однородному виду. Выпишем         an+2 –an+1 = d  и приравняем левые части выражений. Получим        
an+2 – an+1 = an – an+1 ⇒ an+2 –2 an+1 – an = 0 ⇒ это возвратная последовательность второго порядка.

Если переписать уравнение  (2.9) в виде    и задать n=0, то получим: ⇒ действительно, зная первые k членов, можно из рекуррентного соотношения получить любой член возвратной последовательности. Поскольку эти первые k членов можно выбирать бесконечным числом различных способов, то существует также бесконечное множество последовательностей, удовлетворяющих уравнению (2.9).

        Решение рекуррентного уравнения

Любая последовательность, удовлетворяющая возвратному уравнению, называется его решением.

Арифметические прогрессии 5,7,9,11,…; 2,6,10,14,… удовлетворяют возвратному уравнению an+2 –2 an+1 –an = 0 ⇒ являются его решениями.

Произведением числа α на последовательность {xi} называется последовательность {αxi}, каждый член которой получен умножением соответствующего члена последовательности {xi} на α.

Суммой последовательностей {xi} и {yi} называется последовательность, каждый член которой {xi + yi} равен сумме соответствующих членов последовательностей {xi} и {yi}.

Из определений суммы и произведения следует, что линейная комбинация последовательностей также является последовательностью.

Утверждение 2.4.  Если возвратные последовательности {ai(1)}, {ai(2)}, …,{ai(s)}  удовлетворяют уравнению то этому уравнению удовлетворяет также последовательность {α1ai(1) +α2ai(2) +…+ αsai(s)}.

Многочлен P(x)=                                        (2.10)
называется характеристическим для возвратной последовательности {an}. Корни многочлена  P(x) называются характеристическими корнями.

Множество всех последовательностей, удовлетворяющих данному рекуррентному соотношению, называется общим решением.

Общее решение рекуррентного соотношения находится по аналогии с  общим решением однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

(о корнях характеристического многочлена):

1. Пусть λ – корень характеристического многочлена (2.10). Тогда последовательность {cλn}, где c – произвольная константа, удовлетворяет соотношению (2.9).

2. Если λi – простые корни (i = 1,…,k) многочлена (2.10), то общее решение соотношения (2.9) имеет вид где ci = const (i=1,…,k).

3. Если λi – корень кратности ri (i =1, …, s), то общее решение имеет вид , где – произвольные константы (i=1,…,n, j=1,…,ri).

Зная общее решение рекуррентного соотношения, по начальным условиям a0 ,a1,… можно найти неопределенные постоянные и тем самым получить частное решение рекуррентного уравнения с данными начальными условиями.

Найти последовательность {an}, удовлетворяющую рекуррентному соотношению и начальным условиям:                Составим характеристический многочлен Его корнями являются числа . Следовательно, общее решение рекуррентного соотношения имеет вид: . Используя начальные условия, получим систему:        
        из которой находим c1 =7, c2 =1  ⇒ an = 7+ 3n.  Найти последовательность {an}, удовлетворяющую рекуррентному соотношению
Составим характеристический многочлен Для нахождения корней сгруппируем слагаемые .
Составим характеристическое уравнение Его корнями являются числа . Все корни простые. Следовательно, общее решение рекуррентного соотношения имеет вид: . Используя начальные условия, получим систему:        
                решая которую находим с1=1, с2= 1, с3=1. Таким образом, .<

Если рассмотреть неоднородное линейное рекуррентное уравнение an+k + p1 an+k–1 +…+ pk an = f(n),  n=0,1,…,                                                (2.11)
то его решение состоит из суммы общего решения {bn} однородного уравнения (2.6) и частного решения {cn} неоднородного уравнения: { bn+ cn }.

        Контрольные вопросы
Что такое рекуррентная формула? Приведите пример. Как определить порядок возвратного уравнения? Запишите в общем виде возвратное уравнение третьего порядка. Является ли возвратным уравнением (и если да, то какого порядка) арифметическая прогрессия? Геометрическая прогрессия? Что является решением возвратного уравнения? Каков вид характеристического многочлена? Запишите общее решение рекуррентного соотношения для случая простых корней. Чем будет отличаться общее решение в случае кратных корней? Найдите общее решения рекуррентного соотношения  an+2 – 4an+1 + 3an = 0. Найдите  an  по рекуррентному соотношению и начальному условию:
an+3 – 3 an+2+ an+1 – 3an = 0;        a0 = 3;        a1 = 7;        a2 = 27.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5