Алтайский государственный технический университет
им.
Контрольная работа
вариант 084
Выполнил: студент группы 4ЭТМ(с)-62
Проверил: к. т.н., доцент
г. Барнаул
2017 г.
Задача 1.1. Расчет стержня
Условие задачи:
Стержень, жестко закрепленный одним концом, состоящий из трех участков длиной l1…l3, и площадью А1…А3, находится под действием собственного веса и силы F, приложенной на координате lF. Материал стрежня – сталь Ст.3.
Требуется:
Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений у и перемещений д.
Исходные данные:
Таблица 1.1
l1 м | l2 м | l3 м | А1 см2 | А2 см2 | А3 см2 | F кН | lF | Расположение опоры |
1,1 | 0,8 | 1,3 | 40 | 30 | 35 | 70 | l1 | Внизу |
Справочная информация:
Удельный вес стали Ст.3: г = (77…79)Ч103 Н/м3.
Для расчетов принимаем удельный вес равным г = 78Ч103 Н/м3.
Модуль продольной упругости (модуль Юнга) для стали Ст.3: Е = 2Ч1011 Н/м2.
Указания:
Собственный вес стержня можно представить в виде распределенной нагрузки
q1 = гЧА1.
Ось z, направление силы F и нумерацию участков вести от опоры.
Решение:
1. В соответствии с исходными данными вычерчиваем схему бруса (рис. 1.1).
2. Расчет ведем от свободного конца стержня, т. е. начиная с III-го силового участка.
Рассекаем стержень на силовом участке III и отбрасываем часть стержня, содержащую опору (нижнюю часть).
Составляем уравнения равновесия отсеченной части стержня для нахождения продольной силы N, нормального напряжения у и удлинения стержня ∆l на силовом участке III:
2.1. Поскольку внешняя сила F на участке III не действует, то продольная сила на этом участке представлена только весом стержня, который увеличивается по мере удаления от плоскости крайнего верхнего сечения 3-3. При этом
зависимость величины продольной силы N3 от координаты z3 будет прямо пропорциональной, поскольку изменяется только координата, а площадь сечения А3 и плотность стали г остается неизменной по всему участку. Данная продольная сила является сжимающей, т. е. условно отрицательной.
Уравнение для продольной силы на участке:
N3 = - q3Чz3 = - гЧА1Чz3,
где q3 – вес отсеченной части стержня, представленный в виде распределенной нагрузки (Н/м);
z3 – координата рассматриваемого сечения стержня по оси z (м);
А3 – площадь сечения силового участка III (м2);
г – удельный вес материала стержня (для стали Ст.3 - г = 78Ч103 Н/м3).
Тогда в сечении 3-3 (крайнее верхнее сечение) продольная сила будет равна нулю (т. к. и координата и вес равны нулю), а в сечении 2-2 (в крайнем нижнем сечении участка III) продольная сила определится по формуле:
N3Z3=1,3 = - q3Чz3 = - l3Ч гЧА3 = - 1,3Ч78Ч103Ч30Ч10-4 = - 304,2 Н ≈ - 0,304 кН.
2.2. Нормальное напряжение на силовом участке III определяем, как отношение продольной силы к площади участка в каждом рассматриваемом сечении:
у3 = N3/А3.
Зависимость между координатой z3 и величиной напряжения по сечениям будет линейной, как и для продольной силы. Тогда в сечении 3-3 нормальное напряжение будет равно нулю (т. к. продольная сила равна нулю), а в сечении 2-2 (со стороны участка III) определится по формуле:
у3 Z3=1,3 = N3/А3 = - 304,2/35Ч10-4 = - 86914 Па или у3 Z=0,7 ≈ - 0,087 МПа.
2.3. На силовом участке III брус сжимается под собственным весом, т. е. имеет место его укорочение, которое определяется по закону Гука, с учетом изменяющегося по координате z3 веса стержня. Для крайнего нижнего сечения данного силового участка укорочение бруса определяется по формуле:
∆l3 Z=1,3 = - ∫[N3/(EЧA3)]dz,
где Е – модуль продольной упругости стали; Е = 2Ч1011 Н/м2.
Укорочение силового участка изменяется по линейной зависимости от верхнего сечения (3-3) до нижнего сечения (2-2), при этом в сечении 3-3 оно будет равно нулю, поскольку продольная сила N3 в этом сечении равна нулю, а в сечении 2-2 укорочение будет равно:
∆l3 Z3=1,3 = - ∫[N3/(EЧA3)]dz = - ∫[(А3ЧгЧz3)/(ЕЧА3)]dz = (гЧl32)/2E =
= - (78Ч103Ч1,32)/(2Ч2Ч1011) = - 0,00000032955 м или ∆l3 Z=1,3 ≈ - 0,00033 мм.
3. Аналогично проводим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке II.
3.1. Продольная сила на участке II будет равна:
В начале участка II (верхнее граничное сечение между II и III силовыми участками):
N2 Z2=0 = N3 = - 304,2 Н ≈ -0,304 кН.
В конце участка II (нижнее сечение на границе с участком I, до точки приложения силы F):
N2 Z2=0,8 = N2 Z=0 - q2Чz2 = N2 Z=0 - (l2Ч гЧА2) = -304,2 - (0,8Ч78Ч103Ч30Ч10-4) =
= - 491,4 Н = -0,491 кН.
3.2. Нормальные напряжения в сечениях силового участка II:
В начале участка II (верхнее сечение на границе с сечением III):
у2 Z2=0 = у3 Z3=0,7 ≈ - 0,087 МПа.
В конце участка II (нижнее сечение на границе с участком I, до точки приложения силы F):
у2 Z2=0,8 = N2 Z2=0,8 /А2 = - 491,4/30Ч10-4 = 163800 Па = 0,164 МПа.
3.3. Удлинение стержня на силовом участке II:
Изменение длины участка II происходит под действием веса участка I и части веса участка II над рассматриваемым сечением. Поскольку эти силы являются сжимающими, укорочение бруса между крайними сечениями участка II составит:
∆l2 Z2=0,8 = - (N2 Z=0Чl2/EA2) - (гЧl22)/2E =
= [-(304,2 Ч0,8)/(2Ч1011Ч30Ч10-4) - (78Ч103Ч0,82)/(2Ч2Ч1011)] ≈ - 0,0000016536 м
или ∆l2 Z2=0,8 ≈ - 0,00165 мм.
4. Производим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке I, учитывая, что к сечению 1-1 участка (крайнему верхнему) приложена продольная сила N2 Z=0,7, равная векторной сумме весов силовых участков II, III бруса и сосредоточенной силы F.
Поскольку сосредоточенная сила F значительно превышает вес силовых участков бруса, равнодействующая сила по отношению к участку I является растягивающей (т. е. условно положительной).
4.1. Продольная сила на участке I будет равна:
В начале участка I (сечение 1-1, к которому приложена растягивающая сила F):
N1 Z1=0 = F - N2 Z2=0,8 = 70000 – 491= 69509 Н ≈ 69,51 кН.
В конце участка I (сечение 0-0):
N1 Z1=1,1 = N1 Z1=0 - q1Чz1 = N1 Z1=0 - (l1Ч гЧА1) = 69509 - (1,1Ч78Ч103Ч40Ч10-4) =
= 69166 Н ≈ 69,17 кН.
4.2. Нормальные напряжения в сечениях силового участка I:
В начале участка I (сечение 1-1):
у1 Z1=0 = N1 Z1=0 /А1 = 69509 / 40Ч10-4 = 17 377 250 Па ≈ 17,38 МПа.
В конце участка I (сечение 0-0):
у1 Z1=1,1 = N1 Z1=1,1 /А1 = 69305,8 / 40Ч10-4 = 17 291 500 Па ≈ 17,29 МПа.
4.3. В сечениях силового участка I действуют продольные силы, обусловленные весом бруса (сжимающая сила) и растягивающая сосредоточенная сила F, которая значительно превышает вес участков бруса, поэтому на участке I брус растягивается. Удлинение бруса на силовом участке I:
∆l1 = - (гЧl12)/2E + (N1 Z1=0 Чl1/EЧA1) =
= - (78Ч103Ч1,12)/(2Ч2Ч1011) + (69509Ч1,1) / (2Ч1011Ч40Ч10-4) ≈ 0,00009534 м ≈
≈ 0,095 мм.
5. Определяем перемещения сечений стержня на границах силовых участков:
д0-0 = 0 мм;
д1-1 = ∆l1 = 0,095 мм;
д2-2 = ∆l1 + ∆l2 = 0,095 - 0,00165 ≈ 0,0934 мм;
д3-3 = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 = 0,095 - 0,00165 - 0,00033 ≈ 0,0930 мм.
6. Результаты расчетов сводим в таблицу 1.2, и строим эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений (см. рис. 1.1,а).
Таблица 1.2. Значения продольной силы N, нормального напряжения у и перемещения сечений стержня д в силовых участках.
Участок | Границы участка | Продольная сила, N, кН | Нормальное напряжение, у, МПа | Перемещение д, мм |
III | начало | 0 | 0 | 0,093 |
конец | -0,304 | -0,087 | 0,0934 | |
II | начало | -0,304 | -0,087 | 0,0934 |
конец | -0,491 | -0,164 | 0,095 | |
I | начало | 69,51 | 17,38 | 0,095 |
конец | 69,17 | 17,29 | 0 |
Задача 2.1. Расчет вала
Условие задачи:
К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной l1…l4 приложено четыре сосредоточенных момента М1…М4 (см. рис. 2.1).
Требуется:
Построить эпюру крутящих моментов Мкр, подобрать диаметр вала из расчета на прочность, построить эпюру максимальных касательных напряжений фmax, построить эпюру углов закручивания ц вала и определить наибольший относительный угол Иmax закручивания вала.
Исходные данные:
Таблица 2.1
Нагрузки, кНм | Длина участков, м | ||||||
М1 | М2 | М3 | М4 | l1 | l2 | l3 | l4 |
-4,3 | - 2,6 | -4,9 | - 2,0 | 1,0 | 0,6 | 0,8 | 0,4 |
Указания:
Вычертить схему вала в соответствии с исходными данными.
Знаки моментов в исходных данных означают: плюс – момент действует против часовой стрелки относительно оси Z, минус – по часовой стрелке (см. навстречу оси Z). В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине.
Участки нумеровать от опоры.
Допускаемое касательное напряжение [ф] для стали принимать равным 100 МПа.
Решение:
1. Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке начиная от свободного конца вала. Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону сечения.
МIV = М1 = -4,3 (кНм);
МIII = М1 + М2 = -4,3 - 2,6 = -6,9 (кНм);
МII = М1 + М2 + М3 = -4,3 - 2,6 – 4,9 = -11,8 (кНм);
МI = М1 + М2 + М3 + М4 = -4,3 - 2,6 - 4,9 – 2,0 = -13,8 (кНм).
2. Подберем сечение вала из расчета на прочность при кручении по полярному моменту сопротивления WР для участка, где величина крутящего момента Мкр максимальная (без учета знака), т. е. для участка IV:
WР ≥ Мкр/[ф] .
Так как для круглого сечения полярный момент равен: WР = рD3/16, то можно записать:
D ≥ 3√(16Мкр/р[ф]) ≥ 3√[(16Ч13,8Ч103) / (3,14Ч100Ч106)] ≥ 0,08892 м
или D ≥ 89 мм.
В соответствии со стандартным рядом, предусмотренным ГОСТ 12080-66, принимаем диаметр вала D = 90 мм (1-й размерный ряд).
3. Определим угол закручивания для каждого участка вала по формуле:
ц = МкрЧl/GЧIP,
где G – модуль упругости 2-го рода; для стали G = 8Ч1010 Па;
IP – полярный момент инерции (для круглого сечения IP = рD4/32 ≈ 0,1D4, м4.
Произведение GЧIP = 8Ч1010Ч0,1Ч0,094 ≈ 524880 Нм2 – жесткость сечения данного вала при кручении.
Рассчитываем углы закручивания на каждом участке:
цI = -13,8Ч103Ч1,0/524880 = -0,0263 рад;
цII = -11,8Ч103Ч0,6/524880 = -0,0135 рад;
цIII = -6,9Ч103Ч0,8/524880 = -0,0105 рад;
цIV = -4,3Ч103Ч0,4/524880 = -0,0033 рад.
4. Определяем углы закручивания сечений вала, начиная от жесткой заделки (опоры):
ц0-0 = 0 рад;
ц1-1 = цI = -0,0263 рад;
ц2-2 = цI + цII = -0,0263 - 0,0135 = -0,0398 рад;
ц3-3 = цI + цII + цIII = -0,0263 - 0,0135 - 0,0105 = -0,0503 рад;
ц4-4 = цI + цII + цIII + цIV = -0,0263 - 0,0135 - 0,0105 - 0,0033 = -0,0536 рад.
5. Определяем максимальное касательное напряжение на каждом силовом участке по формуле:
фmax = Мкр/WP = 16Мкр/рD3 ≈ 5Мкр/D3.
фmaxIV = 5Ч-4,3Ч103/0,093 = 29 492 455 Па ≈ -29,5 МПа;
фmaxIII = 5Ч-6,9Ч103/0,93 = 47 325 102 Па ≈ -47,3 МПа;
фmaxII = 5Ч-11,8Ч103/0,93 = 80 932 784 Па ≈ -80,9 МПа;
фmaxI = 5Ч-13,8Ч103/0,93 = 94 650 205 Па ≈ -94,7 МПа.
Очевидно, что напряжения на силовых участках пропорциональны крутящим моментам, приложенным к этим участкам, поскольку вал имеет одинаковую площадь поперечного сечения по всей длине. Следовательно, эпюра напряжений будет по форме соответствовать эпюре крутящих моментов, отличаясь лишь масштабными искажениями.
6. Наибольший относительный угол закручивания Иmax определим по формуле:
Иmax = Мкр max/GЧIP = -13,8Ч103/524880 = 0,0263 рад/м.
7. По результатам расчетов строим эпюры крутящих моментов Мкр, касательных напряжений фmax и углов закручивания ц (см. рис. 2.1).
Задача 4.1. Расчет балки
Условие задачи:
На горизонтально расположенную балку, закрепленную на двух шарнирных опорах, действуют активные нагрузки М, F и q. Материал стержня – сталь Ст.3.
Требуется:
Построить эпюры поперечных сил QY и изгибающих моментов МX и подобрать сечение балки из расчета на прочность.
Исходные данные:
Таблица 4.1
Нагрузки | Координаты | а, м | Сечение | ||||||
М, кНм | F, кН | q, кН/м | zМ | zF | zq | zB | |||
начало | конец | ||||||||
-13 | -7 | -9 | 4,5а | а | 3а | 4а | 4,5а | 2 | швеллер |
Указания:
Шарнирно-неподвижную опору А располагать на левом конце балки, этот же конец балки принимаем за начало координат.
Шарнирно-подвижную опору В и внешние нагрузки располагать на соответствующих координатах, в соответствии с которыми разбиваем балку на силовые участки.
Силовым участком считать ту часть балки, в пределах которой законы изменения QY и MX остаются постоянными.
Решение:
1. Из условия равновесия балки определим неизвестные опорные реакции RA и RB. Для этого составляем уравнения равновесия для изгибающих моментов сначала относительно опоры А, затем относительно опоры В.
При этом изгибающие моменты, направленные по часовой стрелке относительно опоры считаем отрицательными, против часовой стрелки – положительными.
Изначально принимаем реакции RB и RB опор направленными вверх.
∑МА = - FЧа - qЧaЧ3,5а - М + RBЧ4,5а = 0,
откуда находим реакцию RB:
RB = (FЧа +3,5qa2 + М)/4,5а = (7Ч2 + 3,5Ч9Ч4 + 13)/(4,5Ч2) = 17,0 кН.
∑МВ = - М + qЧаЧa + FЧ3,5а - RАЧ4,5а = 0,
откуда находим реакцию RА:
RА = (-М + qa2 + 3,5Fа)/4,5а = (-13 + 9Ч4 + 3,5Ч7Ч2)/4,5Ч2 = 8,0 кН.
Произведем проверку правильности найденных значений опорных реакций, используя уравнение равновесия действующих на балку сил с учетом их направления:
∑FY = RA – F - qa + RB = 8 – 7 - (9Ч2) + 17 = 0.
Направление и величина опорных реакций определены правильно.
2. Используя метод сечений, составим уравнения внутренних усилий QY и MX для каждого силового участка балки.
2.1. Участок I: 0 ≤ z1 ≤ 2 м.
QY1 = RA = 8,0 кН;
MX1 = - RAЧz1.
На протяжении силового участка I внутренняя сила остается неизменной по величине и направлению и равна реакции RA опоры А; эпюра внутренних сил на этом участке представляет собой прямую линию с ординатой у = 8,0 кН.
Изгибающий момент на силовом участке I изменяется по линейной зависимости, поэтому его эпюра имеет вид наклонной прямой. Для того чтобы построить эпюру изгибающих моментов на этом участке необходимо вычислить значение моментов в его крайних точках:
Мх1Z1=0 = 0;
Мх1Z1=а = -8,0Ч2 = -16,0 кНм;
2.2. Участок II: 2 м ≤ z2 ≤ 6 м.
QY2 = RA – F = 8,0 – 7,0 = 1,0 кН – эпюра в крайнем левом сечении силового участка II (где приложена сила F) ступенчато уменьшает ординату и далее продолжается в виде горизонтальной прямой с у = 1,0 кН до конца участка.
Изгибающий момент на силовом участке II изменяется по линейной зависимости, поэтому для того чтобы построить эпюру изгибающих моментов необходимо вычислить значение моментов в крайних сечениях участка:
МХ2 = - RAЧ (a+z2) + Fz2 .
МХZ2=0 = MX1Z1=а = -16,0 кНм (как в последнем сечении первого участка);
МХZ2=2а = -48,0 + 28,0 = -20,0 кНм;
2.3. Участок III: 6 м ≤ z3 ≤ 8 м.
QY3 = RA – F - qz3.
Сила на всем протяжении участка изменяется по линейной зависимости, поэтому для построения эпюры достаточно знать значение силы в крайних сечениях участка.
QY3z=0 = QY2 = 1,0 кН (как в последнем сечении второго участка);
QY3z=a = QY2 - qa = 1,0 - 9,0Ч2 = - 17,0 кН;
Поскольку внутренняя сила на участке поменяла знак, то изгибающий момент на этом участке имеет экстремальное значение в сечении с координатой zэкст. Определим эту координату.
QY3zэкст = QY2 - q zэкст = 0, откуда находим: zэкст = QY2 / q = 1,0/9,0 = 0,11 м.
Изгибающий момент на протяжении силового участка III изменяется по криволинейной зависимости, при этом в сечении zэкст = 0,11 м он имеет экстремальное значение. Для построения эпюры изгибающих моментов на участке необходимо определить значение моментов в нескольких сечениях.
МХ3 = - RA (3a+z3) + F(2а + z3) + qЧ z3Ч z3/2.
МХ3Z3=0 = -20,0 кНм (как в последнем сечении второго участка);
МХ3Z3=0,5а = -56,0 + 35 + 4,5 = -16,5 кНм;
МХ3Z3=а = -64,0 + 42 + 18 = -4,0 кНм;
MX3Z3экст = - 48,88 +28,77 + 0,055 = -20,06 кНм.
2.4. Участок IV: 8 м ≤ z4 ≤ 9 м.
QY4 = QY3z=a = -17,0 кН = - RB - участок эпюры в виде горизонтальной прямой с ординатой, равной реакции опоры В.
Изгибающий момент на силовом участке IV изменяется по линейной зависимости, для построения эпюры на этом участке достаточно двух точек. При этом изгибающий момент в сечении z4 = 0 будет равен моменту в крайнем сечении третьего участка, а изгибающий момент в точке В скачкообразно изменяется от значения –М (-13 кНм) до 0. Этих данных достаточно для построения эпюры изгибающих моментов на участке IV.
3. По результатам расчетов строим эпюры поперечных сил QY и изгибающих моментов MX (рис. 4.1, а).
4. По эпюре МХ определяем опасное сечение балки, где изгибающий момент имеет максимальное значение (по абсолютной величине):
MXmax = 20,06 кНм.
Размер сечения балки (по условию варианта задания - № швеллера) вычисляем из условия прочности при изгибе по осевому моменту сопротивления сечения:
WX = MXmax/[у] = 20,06Ч103/160Ч106 =0,000125375 м3 = 125,4 см3,
где [у] = 160Ч106 Па – предельное напряжение для стали Ст3.
По таблице сортаментов (ГОСТ 8240-89) выбираем швеллер № 18а, у которого момент сопротивления WX = 132,0 см3 (ближайший по сортаменту швеллер №18 имеет момент сопротивления сечения равный 121,0 см3, что недостаточно для соблюдения условия прочности).
Ответ: условиям изгибной прочности балки при заданной нагрузке соответствует швеллер № 18а.
Задача 4.3. Расчет статически неопределимой балки
Условие задачи:
На статически неопределимую балку, имеющую две опоры: жесткую заделку и шарнирно-подвижную опору, действуют внешние нагрузки: сила F и распределенная нагрузка q.
Требуется:
Определить опорные реакции, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и линейных перемещений.
Исходные данные:
q, кН/м | координаты | F, кН | ZF | ZB | а, м | |
начальная Zq | конечная Zq | |||||
-15 | 0 | 2а | -5 | а | 2а | 1,5 |
Указания:
Вычертить схему балки в соответствии с исходными данными (рис. 4.3).
Жесткую заделку расположить на левом конце балки, там же выбрать начало координат.
Раскрытие статической неопределимости следует проводить методом сил, определение линейных перемещений – методом начальных параметров.
Решение:
1. Данная балка является статически неопределимой один раз, поскольку опорных реакций у нее больше, чем уравнений статики на единицу. Следовательно, применить методы статики для определения неизвестных силовых факторов невозможно, так как одна опорная реакция является «лишней», и неизвестных силовых факторов на единицу больше, чем уравнений равновесия.
Для решения задачи используем способ Верещагина, отбросив «лишнюю» связь и заменив ее неизвестным усилием Х1. За лишнюю связь можно принять любую опорную реакцию, кроме продольно действующей реакции HA, так как без нее балка не сможет сохранять равновесие.
2. Принимаем за лишнюю связь реактивный момент МА, составляем эквивалентную схему балки (рис. 4.3,а), и записываем каноническое уравнение метода сил для один раз статически неопределимой системы:
д11ЧХ1 + Д1Р = 0.
Для вычисления коэффициентов канонического уравнения построим грузовую МF (от внешних нагрузок F и q) и единичную М1 (от усилия Х1= 1) эпюры изгибающих моментов, а затем перемножим их в соответствии со способом Верещагина (см. рис. 4.3,а).
3. По способу Верещагина произведение эпюр МFЧМ1 равно площади грузовой эпюры, умноженной на высоту единичной эпюры, взятой под центром тяжести грузовой эпюры. При этом обе линии эпюр не должны иметь точек перелома, и хотя бы одна из эпюр должна быть линейной. Для удобства расчетов расслаиваем грузовую эпюру на две составляющие - МF и Мq, построив их в виде отдельных графиков.
Эпюра МF имеет точку перелома в координате Х = а = 1,5 м, поэтому для перемножения эпюр по способу Верещагина разбиваем эпюру MF на два треугольника, и последовательно перемножаем каждую составляющую грузовой эпюры с ординатой расположенного под ней участка единичной эпюры напротив центра тяжести составляющей грузовой эпюры.
При сложении полученных сомножителей учитываем знак – если перемножаемая составляющая грузовой эпюры расположена по одну сторону с единичной эпюрой – произведение имеет положительный знак, в противном случае - отрицательный.
4. В соответствии со схемами на рисунке 4.3,а коэффициенты канонического уравнения определяются по формулам:
д11 = 1/EIX ∫М1ЧМ1 dz = 1/EIX (1/2Ч1Ч2аЧ2/3Ч1) = 1/EIX;
∆1F = 1/EIX ∫МFЧМ1 dz = [(2/3Ч9/8Чqa2Ч2аЧ1/2) + (1/2FЧаЧ2аЧ1/3)] / EIX ≈
≈ 41,72/EIX.
Подставим полученные значения в каноническое уравнение и найдем неизвестное усилие Х1:
Х1/EIX + 41,72/EIX = 0, отсюда Х1 = -41,72 (кНм).
Статическая неопределимость раскрыта.
Отрицательное значение усилия Х1 показывает, что направление этого усилия изначально выбрано не верно, т. е. изгибающий момент, действующий в жесткой заделке МА = - Х1.
5. Используя уравнения статики, найдем опорные реакции балки:
∑FZ = HA = 0, откуда следует, что НА = 0;
∑МА = МА + RBЧ2а - qЧ2аЧ2а/2 - FЧа = 41,72 + 3RB - 67,5 – 7,5 = 0,
откуда RB ≈ 11,1 (кН). (RB направлена вверх, момент МА – против часовой)
Положительное значение полученной реакции RB указывает, что ее направление на схеме рисунка 4.3,а выбрано верно.
∑МВ = МА - RАЧ2а + qЧ2аЧ2а/2 + FЧа = 41,72 - 3RA + 67,5 + 7,5 = 0,
откуда RA ≈ 38,9 (кН). (RА направлена вверх, момент МА – против часовой)
Поскольку реакция получилась положительной, следовательно, ее направление на схеме выбрано верно.
В качестве проверки полученных результатов составляем уравнение равновесия сил, действующих на балку:
∑FY = RA - qЧ2a + RB - F = 38,9 - 15Ч2Ч1,5 + 11,1 - 5 = 0.
Проверка показала, что условие равновесия балки соблюдается, значит, расчеты выполнены правильно.
6. Для построения эпюр поперечных сил определим значения поперечных сил на границах силовых участков, учитывая, что и на первом, и на втором участке силы изменяются по линейной зависимости, поскольку по всей длине балки действует распределенная нагрузка.
Участок I:
Q1 x1=0 = RA = 38,9 кН;
Q1 x1=a = RA - 0,5qа = 38,9 - 0,5Ч15Ч1,5 = 27,65 кН.
Участок II (от крайнего сечения, где приложена сила F):
Q2 x2=0 = Q1 x1=a – F = 27,65 – 5 = 22,65 кН;
Q2 x2=a = RA - 2qа – F = 38,9 - 45 - 5 = -11,1 кН.
Поскольку на силовом участке II поперечная сила меняет знак, изгибающий момент в сечении, где сила Q2 равна нулю имеет экстремальное значение. Определим координату x2 экстр:
х2 экстр = (RA– F) / 2q = (38,9 – 5) / 30 = 1,13 м.
В крайнем правом сечении силового участка II, где приложена реакция RB = -11,1 кН, поперечная сила скачкообразно изменяет значение до нуля.
7. Для построения эпюры изгибающих моментов необходимо определить значение моментов в нескольких сечениях, поскольку здесь приложена распределенная нагрузка и эпюра имеет криволинейную форму.
Знак изгибающих моментов принимаем в соответствии с «правилом дождя» - если момент выгибает балку вверх – он условно считается отрицательным, если вниз – положительным.
Участок I:
МX x1=0 = - МА = -41,72 кНм;
МX x1=0,5а = - МА - qЧ(0,5а)2/2 + RAЧ0,5а = -16,76 кНм;
МX x1=a = - МА - qЧa2/2 + RAЧа = -0,25 кНм ;
Участок II:
МХ х2=0 = МX x1=a = -0,25 кНм;
МX х2=0,5а = - МА - qЧ(1,5а)2/2 + RAЧ1,5а - FЧ0,5а = 4,09 кНм;
МХ х2=а = - МА - qЧ2а2 + RAЧ2а - FЧа = 0.
8. Для построения эпюры линейных перемещений Y (прогибов) требуется определить их значения в 4…5 сечениях балки. В нашем случае известно, что перемещения в опорах А и В равны нулю, т. е. yA = 0 и yB = 0.
Вычислим прогибы в координатах х=0,5а, х=а и х=1,5а.
Уравнения прогибов в этих сечениях по методу начальных параметров имеют вид:
EIX y1 = MA(0,5а – 0)2/2 + RA(0,5а – 0)3/6 + q(0,5а – 0)4/24 =
= -41,72Ч0,752/2 + 38,9Ч0,753/6 - 15Ч0,754/24 ≈ -9,2 (кНм3);
EIX y2 = MAЧ(а – 0)2/2 + RAЧ(а – 0)3/6 + q(а – 0)4/24 =
= -41,72Ч1,52/2 + 38,9Ч1,53/6 - 15Ч1,54/24 ≈ -28,2 (кНм3);
EIX y3 = MAЧ (1,5а – 0)2/2 + RAЧ(1,5а – 0)3/6 + F (1,5а-а)3 + q(1,5а – 0)4/24 =
= -41,72Ч2,252/2 + 38,9Ч2,253/6 - 5Ч0,753/6 - 15Ч2,254/24 ≈ -48,1 (кНм3).
9. По полученным расчетным данным строим эпюры поперечных сил QY, изгибающих моментов MX и погибов Y (см. рис. 4.3, а).
Задача 5.3. Изгиб с кручением
Условие задачи:
На валу круглого сечения, вращающемся с угловой частотой щ, расположены два шкива ременной передачи диаметрами D1 и D2, через которые передается мощность Nэд. Вал закреплен в подшипниковых опорах А и В. Ветви шкива 1 расположены под углом б1, а шкива 2 – под углом б2 к горизонтали.
Исходные данные:
l1 м | D1 м | б1 град | l2 м | D2 м | б2 град | lВ м | Nэд кВт | n об/м | [у] мПа |
2,0 | 0,5 | 30 | 3,8 | 0,35 | 60 | 2,6 | 24 | 750 | 160 |
Требуется:
Подобрать диаметр вала по III теории прочности при заданном предельном напряжении [у].
Указания:
Опору А расположите в начале координат, опору В – на координате lВ, шкивы 1 и 2 соответственно на координатах l1 и l2.
Решение:
1. Определим момент МКР, действующий на участке вала между шкивами 1 и 2:
МКР = Nэд/щ = 30Nэд/рn = 30Ч24 000/3,14Ч750 = 305,7 [Нм] ≈ 0,306 [кНм],
и построим эпюру крутящих моментов (рис. 5.3, а).
2. Определим усилия t1 и t2 в ременной передаче:
t1 = 2МКР/D1 = 2Ч305,7/0,50 = 1222,8 [Н] ≈ 1,22 [кН];
t2 = 2МКР/D2 = 2Ч305,7/0,35 = 1746,9 [Н] ≈ 1,75 [кН].
3. Опорные реакции, необходимые для построения эпюр изгибающих моментов, определим из уравнений статики.
Ветви ремня первого шкива отклоняются от горизонтали на 30˚ (см. рис. 5.3), а угол наклона ветвей ремня второго шкива к горизонтали составляет 60˚.
Для упрощения расчетов преобразуем схему механизма, повернув вал по ходу вращения на угол б1, тогда ветви ремня первого шкива совпадут с горизонталью, а угол наклона ветвей ремня второго шкива с горизонталью составит:
б’2 = б2 – б1 = 60˚ – 30˚ = 30˚; sin б’2 = 0,5; cosб’2 = 0,866.
У МВХ = RAYЧlВ – (2t2+ t2)Ч(l2 – lВ)Чsinб’2 = 0,
откуда находим RAY [кН]:
RAY = 3t2Ч(l2 – lВ)Чsinб’2/ lВ = 3Ч1,75Ч(3,8 – 2,6)Ч0,5/2,6 ≈ 1,21 [кН];
У МВY = - RAXЧlВ + (2t1+ t1)Ч(lВ – l1) – (2t2 + t2)Ч(l2 – lВ)Чcosб’2 = 0,
откуда находим RAX [кН]:
RAX = [3t1Ч(lВ – l1) - 3t2Ч(l2 – lВ)Чcosб’2]/ lВ =
= [3Ч1,22Ч(2,6 – 2,0) - 3Ч1,75Ч(3,8 – 2,6)Ч0,866]/2,6 ≈ -1,25 [кН];
Полученное отрицательное значение реакции RAX означает, что она направлена в противоположную от указанной на схеме сторону.
4. Определяем значения изгибающих моментов МХ и МY в крайних точках силовых участков вала, а также величину суммарного изгибающегося момента Мизг, который определяется, как векторная сумма моментов МХ и МY:
МИЗГ = √(МХ2 + МY2).
где МХ = RAYЧlZ; МY = RAXЧlZ
Результаты расчетов заносим в таблицу 1.
Таблица 1
Параметры | Z = 0 м | Z = l1 м | Z = lB м | Z = l2 м |
МХ кНм | 0 | 2,5 | 3,25 | 0 |
МY кНм | 0 | 2,42 | 3,15 | 0 |
Мизг кНм | 0 | 3,48 | 4,53 | 0 |
5. В соответствии с полученными расчетными данными строим эпюры изгибающих моментов МХ, МY и МИЗГ (рис. 5.3, а).
Используя эпюру МИЗГ, определяем опасное сечение вала по максимальному изгибающему моменту: МИЗГ = 4,53 кНм.
6. Подбираем сечения вала по условию прочности:
уmax = МПРmax/WОС ≤ [у],
где МПРmax – приведенный момент, по III теории прочности:
МПРmax = √(МХ2 + МY2 + МКР2) = √(3,252 + 3,152 + 0,3062) = 4,54 [кНм];
WОС – осевой момент сопротивления сечения, который для круглого сечения может быть определен из зависимости: WОС = рd3/32.
7. Определяем минимальный диаметр вала:
d ≥ 3√(32МПРmax/р[у]) ≥ 3√(32Ч4,54Ч103)/(3,14Ч160Ч106) ≥ 0,06613 м ≥ 66,1 мм.
Принимаем диаметр вала из стандартного ряда по ГОСТ 6636-69:
d = 67,0 мм (ряд Ra40).
Источники информации:
1. , . Сопротивление материалов: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников механических, машиностроительных, автотранспортных специальностей. – Изд-во АлтГТУ – Барнаул. – 2004 г. – 62 с.
2. Барабаш курс лекций по сопротивлению материалов: Учебное пособие. – Барнаул, Изд-во АлтГТУ. – 2010 г. – 124 с.
3. Феодосьев материалов: Учебник для вузов. - 10-е издание, перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. , 2009. - 592 с.
