Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Спецкурс «Топологические векторные пространства»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
[, к. ф.-м. н., доц., *****@***ru]
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.
Председатель
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2012 г.
Ученый секретарь _____________________
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Область применения и нормативные ссылкиНастоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
- ГОС ВПО; Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра. Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2012 г.
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Топологические векторные пространства» являются создание у учащихся целостного представления об идеях и методах теории топологических векторных пространств и о некоторых ее приложениях в теории обобщенных функций и геометрии, выработка умения работать с конкретными топологическими векторными пространствами, возникающими в различных аналитических и геометрических задачах.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
- Знать об основных понятиях теории топологических векторных пространств. Уметь решать различные задачи, связанные с использованием техники обратных и прямых пределов, теории двойственности, теории топологических тензорных произведений применительно к конкретным топологическим векторным пространствам. Иметь навыки применения теории топологических векторных пространств к различным задачам анализа и геометрии.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
- Математический анализ, алгебра, функциональный анализ-1.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:
- Владеть основными понятиями функционального анализа (нормированные, банаховы и гильбертовы пространства, ограниченные линейные операторы), теории меры и интеграла Лебега, общей топологии, линейной алгебры (тензорные произведения векторных пространств).
Тематический план учебной дисциплины
№ | Название раздела | Всего часов | Аудиторные часы | Самостоятельная работа |
Лекции | Семинары | Практические занятия | ||
1 | Основные понятия и примеры | 14 | 6 | 8 |
2 | Конструкции | 20 | 9 | 11 |
3 | Обобщения классических теорем о банаховых пространствах | 10 | 4 | 6 |
4 | Двойственность | 17 | 7 | 10 |
5 | Тензорные произведения и ядерные пространства | 17 | 8 | 9 |
6 | Приложения | 12 | 6 | 6 |
Итого: | 90 | 40 | 50 |
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля | Форма контроля | 1 год | 2 год | Параметры ** | |||
1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Текущий (неделя) | Контрольная работа | 8 | Письменная работа 80 минут | ||||
Итоговый | Экзамен | V | Письменный экзамен 180 мин |
Критерии оценки знаний, навыков
На экзамене студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания, полученные в курсе, к задачам, связанным с использованием техники обратных и прямых пределов, теории двойственности, теории топологических тензорных произведений применительно к конкретным топологическим векторным пространствам.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Онакопленная= Отекущий = Оконтр. работа
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:
Орезульт = 0.2* Онакопл +0.8 *·Озач
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета: в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
Содержание дисциплины
Раздел 1. Основные понятия и примеры.
№ | Тема | Всего часов | Лекции | семинары | Самостоятельная работа |
Понятие топологического векторного пространства. Топология, порожденная семейством полунорм. Примеры. | 5 | 2 | | 3 | |
Локально выпуклые пространства (ЛВП). Эквивалентность локальной выпуклости и полинормируемости. | 4 | 2 | | 2 | |
Критерии непрерывности полунормы на ЛВП и линейного оператора между ЛВП. Критерии нормируемости и метризуемости. | 5 | 2 | 3 | ||
| Итого: | 114 | 16 | 3 | 28 |
Литература по разделу:
опологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
, , Соболев векторные пространства и их приложения. РХД, 2012.
Meise, R. and Vogt, D. Introduction to Functional Analysis. Clarendon Press, Oxford, 1997.
, ж.. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.
Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.
Horvбth, J. Topological vector spaces and distributions. Addison-Wesley, 1966.
ункциональный анализ. М.: Мир, 1969.
Jarchow, H. Locally convex spaces. Teubner, Stuttgart, 1981.
Kцthe, G. Topological Vector Spaces. Vol I, Springer, 1969.
Бурбаки, Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.
Khaleelulla, S. M. Counterexamples in topological vector spaces. Springer, 1982.
Раздел 2. Конструкции.
№ | Тема | Всего часов | Лекции | семинары | Самостоятельная работа |
Факторпространства. | 2 | 1 | 1 | ||
Проективные топологии. Произведения. Обратные пределы | 4 | 2 | 2 | ||
Индуктивные топологии. Прямые суммы. Прямые пределы. | 5 | 2 | 3 | ||
Топологии на пространствах отображений | 2 | 1 | 1 | ||
Полнота. Пополнение | 3 | 1 | 2 | ||
Топологические тензорные произведения | 4 | 2 | 2 | ||
Итого: | 120 | 19 | 3 | 211 |
Литература по разделу:
опологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
, , Соболев векторные пространства и их приложения. РХД, 2012.
Meise, R. and Vogt, D. Introduction to Functional Analysis. Clarendon Press, Oxford, 1997.
, ж.. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.
Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.
Horvбth, J. Topological vector spaces and distributions. Addison-Wesley, 1966.
Jarchow, H. Locally convex spaces. Teubner, Stuttgart, 1981.
Kцthe, G. Topological Vector Spaces. Vol I, Springer, 1969; Vol. II, Springer, 1979.
Бурбаки, Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.
Grothendieck, A. Produits tensoriels topologiques et espaces nuclйaires. Mem. Amer. Math. Soc. 1955, no. 16A.
Taylor, J. L. Notes on locally convex topological vector spaces. Univ. of Utah, 1995.
Thomas, E. Nuclear spaces and topological tensor products. 2001.
Douady, R. Produits tensoriels topologiques et espaces nuclйaires. In: “Quelques problиmes de modules'' (Sйm. Gйom. Anal. Йcole p., Paris, 1971-1972), pp. 7-32. Asterisque, No. 16, Soc. Math. France, Paris, 1974.
Khaleelulla, S. M. Counterexamples in topological vector spaces. Springer, 1982.
Ryan, R. Tensor products of Banach spaces. Springer, 2002.
Grothendieck, A. Rйsumй de la thйorie mйtrique des produits tensoriels topologiques. Bol. Soc. Mat. Sгo Paulo 8 (1953), 1-79.
Diestel, J., Fourie, J. H., and Swart, J. The metric theory of tensor products. Grothendieck's Rйsume revisited. AMS, 2008.
Defant, A. and Floret, K. Tensor norms and operator ideals. North-Holland, 1993.
Раздел 3. Обобщения классических теорем о банаховых пространствах
№ | Тема | Всего часов | Лекции | семинары | Самостоятельная работа |
Борнологические и бочечные пространства. | 3 | 1 | 2 | ||
Равностепенная непрерывность. Теоремы Банаха-Штейнгауза и Банаха-Алаоглу-Бурбаки. | 4 | 2 | 2 | ||
Теорема Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике для пространств Фреше | 3 | 1 | 2 | ||
Итого: | 110 | 14 | 3 | 26 |
Литература по разделу:
опологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
, , Соболев векторные пространства и их приложения. РХД, 2012.
Meise, R. and Vogt, D. Introduction to Functional Analysis. Clarendon Press, Oxford, 1997.
, ж.. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.
Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.
Horvбth, J. Topological vector spaces and distributions. Addison-Wesley, 1966.
ункциональный анализ. М.: Мир, 1969.
Jarchow, H. Locally convex spaces. Teubner, Stuttgart, 1981.
Kцthe, G. Topological Vector Spaces. Vol I, Springer, 1969; Vol. II, Springer, 1979.
Бурбаки, Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.
Taylor, J. L. Notes on locally convex topological vector spaces. Univ. of Utah, 1995.
Pйrez Carreras, P. and Bonet, J. Barrelled locally convex spaces. North-Holland, 1987.
Khaleelulla, S. M. Counterexamples in topological vector spaces. Springer, 1982.
Раздел 4. Двойственность
№ | Тема | Всего часов | Лекции | семинары | Самостоятельная работа |
Дуальные пары и слабые топологии. Поляры и аннуляторы. Теорема о биполяре. | 5 | 2 | 3 | ||
Топологии, согласованные с двойственностью. Теорема Макки-Аренса. Топология Макки. Сильная топология. Теоремы Банаха-Макки и Макки. Следствия. | 5 | 2 | 3 | ||
Полурефлексивные и рефлексивные пространства. Двойственность и конструкции. Двойственность и линейные операторы. Точные последовательности пространств Фреше. | 7 | 3 | 4 | ||
Итого: | 117 | 17 | 3 | 210 |
Литература по разделу:
опологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
, , Соболев векторные пространства и их приложения. РХД, 2012.
Meise, R. and Vogt, D. Introduction to Functional Analysis. Clarendon Press, Oxford, 1997.
, ж.. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.
Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.
Horvбth, J. Topological vector spaces and distributions. Addison-Wesley, 1966.
ункциональный анализ. М.: Мир, 1969.
Jarchow, H. Locally convex spaces. Teubner, Stuttgart, 1981.
Kцthe, G. Topological Vector Spaces. Vol I, Springer, 1969; Vol. II, Springer, 1979.
Бурбаки, Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.
Taylor, J. L. Notes on locally convex topological vector spaces. Univ. of Utah, 1995.
Pйrez Carreras, P. and Bonet, J. Barrelled locally convex spaces. North-Holland, 1987.
Khaleelulla, S. M. Counterexamples in topological vector spaces. Springer, 1982.
Раздел 5. Тензорные произведения и ядерные пространства
№ | Тема | Всего часов | Лекции | семинары | Самостоятельная работа |
Ядерные операторы | 2 | 1 | 1 | ||
Ядерные пространства. Основные свойства. Примеры | 4 | 2 | 2 | ||
Совпадение проективного и инъективного тензорных произведений для ядерных пространств. Операторная интерпретация тензорных произведений. | 5 | 2 | 3 | ||
Операторы Гильберта-Шмидта и абсолютно суммирующие операторы. Теорема Гротендика о факторизации. Характеризация ядерных пространств. | 6 | 3 | 3 | ||
Итого: | 117 | 18 | 3 | 29 |
Литература по разделу:
опологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
Meise, R. and Vogt, D. Introduction to Functional Analysis. Clarendon Press, Oxford, 1997.
Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.
дерные локально выпуклые пространства. М.: Мир, 1967.
Jarchow, H. Locally convex spaces. Teubner, Stuttgart, 1981.
Grothendieck, A. Produits tensoriels topologiques et espaces nuclйaires. Mem. Amer. Math. Soc. 1955, no. 16A.
Taylor, J. L. Notes on locally convex topological vector spaces. Univ. of Utah, 1995.
Thomas, E. Nuclear spaces and topological tensor products. 2001.
Douady, R. Produits tensoriels topologiques et espaces nuclйaires. In: “Quelques problиmes de modules'' (Sйm. Gйom. Anal. Йcole p., Paris, 1971-1972), pp. 7-32. Asterisque, No. 16, Soc. Math. France, Paris, 1974.
Раздел 6. Приложения
№ | Тема | Всего часов | Лекции | семинары | Самостоятельная работа |
Обобщенные функции. Теорема Шварца о ядре. | 4 | 2 | 2 | ||
Пучки и когомологии. Комплексные многообразия. Когерентные пучки. Теорема Шварца о компактных возмущениях. Теорема конечности Картана-Серра. | 8 | 4 | 4 | ||
Итого: | 112 | 16 | 3 | 26 |
Литература по разделу:
Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.
Horvбth, J. Topological vector spaces and distributions. Addison-Wesley, 1966.
Taylor, J. L. Notes on locally convex topological vector spaces. Univ. of Utah, 1995.
Thomas, E. Nuclear spaces and topological tensor products. 2001.
ункциональный анализ. М.: Мир, 1969.
Douady, R. Produits tensoriels topologiques et espaces nuclйaires. In: “Quelques problиmes de modules'' (Sйm. Gйom. Anal. Йcole p., Paris, 1971-1972), pp. 7-32. Asterisque, No. 16, Soc. Math. France, Paris, 1974.
Р. Ганнинг, Х. Росси. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969.
Р. Уэллс. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. М.: Мир, 1976.
Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. Т. I. М.: Мир, 1982.
Demailly, plex analytic and differential geometry. Universitй de Grenoble I, 2009.
Образовательные технологии
Методические рекомендации преподавателю Методические указания студентам
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента Тематика заданий текущего контроля
Примерные задания для контрольной работы:
Докажите, что прямая сумма семейства локально выпуклых пространств метризуема тогда и только тогда, когда число слагаемых конечно и все они метризуемы. С помощью функций Эрмита постройте топологический изоморфизм между пространством Шварца
и пространством быстро убывающих последовательностей. Докажите полноту пространства ростков голоморфных функций в точке. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины Докажите, что топологическое векторное пространство локально выпукло тогда и только тогда, когда его топология порождается семейством полунорм. Приведите несколько примеров локально выпуклых пространств. Сформулируйте и докажите критерий метризуемости локально выпуклого пространства. Приведите примеры метризуемых и неметризуемых локально выпуклых пространств. Дайте определение факторполунормы и фактортопологии. Докажите универсальное свойство факторпространств. Дайте определение проективной топологии. Дайте определение и предъявите конструкцию обратного предела локально выпуклых пространств. Представьте пространство гладких функций на многообразии в виде обратного предела банаховых пространств. Дайте определение индуктивной локально выпуклой топологии. Дайте определение и предъявите конструкцию прямого предела локально выпуклых пространств. Представьте пространство ростков голоморфных функций в точке в виде прямого предела банаховых пространств. Дайте определение топологии равномерной сходимости на семействе ограниченных множеств. Укажите ее базу в нуле. Сравните сильную операторную и слабую операторную топологии. Дайте определение пополнения локально выпуклого пространства. Докажите теорему существования пополнения и теорему о представлении полного локально выпуклого пространства в виде обратного предела банаховых пространств. Дайте определение проективного и инъективного тензорных произведений локально выпуклых пространств. Докажите их функториальные свойства. Докажите теорему о проективном тензорном произведении пространств типа L^1, об инъективном тензорном произведении пространств типа C(K) и о тензорных произведениях пространств голоморфных функций. Докажите, что полные проективные и инъективные тензорные произведения коммутируют с приведенными обратными пределами. Дайте определение борнологических и бочечных пространств, приведите соответствующие примеры и контрпримеры. Сформулируйте и докажите теоремы Банаха-Штейнгауза и Банаха-Алаоглу-Бурбаки. Сформулируйте и докажите теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике для пространств Фреше. Дайте определение слабой топологии для дуальных пар. Сформулируйте и докажите теорему о биполяре. Сформулируйте и докажите теорему Макки-Аренса. Дайте определение топологии Макки и сильной топологии. Приведите примеры ситуаций, когда эти топологии совпадают и когда не совпадают. Дайте определения полурефлексивных и рефлексивных пространств, приведите соответствующие примеры и контрпримеры. Сформулируйте и докажите теорему о точных последовательностях пространств Фреше. Дайте несколько эквивалентных определений ядерных пространств и докажите их эквивалентность. Докажите свойства перманентности ядерности. Приведите примеры ядерных пространств. Докажите совпадение проективного и инъективного тензорных произведений для ядерных пространств. Докажите точность функтора полного тензорного произведения на ядерное пространство Фреше. Дайте операторную интерпретацию тензорных произведений для ядерных пространств. Дайте определение абсолютно суммирующего оператора. Сформулируйте и докажите теорему Гротендика о факторизации. Сформулируйте и докажите теорему о характеризации ядерных пространств в терминах тензорных произведений. Дайте определения пространств обобщенных функций, обобщенных функций с компактным носителем (два эквивалентных определения) и обобщенных функций умеренного роста. Сформулируйте и докажите теорему Шварца о ядре. Сформулируйте и докажите теорему Шварца о компактных возмущениях. Выведите из нее теорему Картана-Серра о конечномерности когомологий когерентных аналитических пучков на компактных комплексных многообразиях. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины Базовый учебник
опологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
Основная литература, , Соболев векторные пространства и их приложения. РХД, 2012.
Meise, R. and Vogt, D. Introduction to Functional Analysis. Clarendon Press, Oxford, 1997.
Дополнительная литература, ж.. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.
Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.
Horvбth, J. Topological vector spaces and distributions. Addison-Wesley, 1966.
ункциональный анализ. М.: Мир, 1969.
дерные локально выпуклые пространства. М.: Мир, 1967.
Jarchow, H. Locally convex spaces. Teubner, Stuttgart, 1981.
Kцthe, G. Topological Vector Spaces. Vol I, Springer, 1969; Vol. II, Springer, 1979.
Бурбаки, Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.
Grothendieck, A. Produits tensoriels topologiques et espaces nuclйaires. Mem. Amer. Math. Soc. 1955, no. 16A.
Taylor, J. L. Notes on locally convex topological vector spaces. Univ. of Utah, 1995.
Thomas, E. Nuclear spaces and topological tensor products. 2001.
Douady, R. Produits tensoriels topologiques et espaces nuclйaires. In: “Quelques problиmes de modules'' (Sйm. Gйom. Anal. Йcole p., Paris, 1971-1972), pp. 7-32. Asterisque, No. 16, Soc. Math. France, Paris, 1974.
Pйrez Carreras, P. and Bonet, J. Barrelled locally convex spaces. North-Holland, 1987.
Khaleelulla, S. M. Counterexamples in topological vector spaces. Springer, 1982.
Ryan, R. Tensor products of Banach spaces. Springer, 2002.
Grothendieck, A. Rйsumй de la thйorie mйtrique des produits tensoriels topologiques. Bol. Soc. Mat. Sгo Paulo 8 (1953), 1-79.
Diestel, J., Fourie, J. H., and Swart, J. The metric theory of tensor products. Grothendieck's Rйsume revisited. AMS, 2008.
Defant, A. and Floret, K. Tensor norms and operator ideals. North-Holland, 1993.
Р. Ганнинг, Х. Росси. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969.
Р. Уэллс. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. М.: Мир, 1976.
Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. Т. I. М.: Мир, 1982.
Demailly, plex analytic and differential geometry. Universitй de Grenoble I, 2009.
