Исследовательская работа

Муниципальное Автономное Общеобразовательное Учреждение  Г  «Гимназия им. »
  142190, г. Москва, г. Троицк, ул. Школьная д.10,  тел./факс[phone],  E-mail: *****@***ru,

Исследовательская работа.

  Паркеты

       Работа

  Шмуклера Ильи

  Ученика 7-а класса

  Рук.  Проекта:

 

  Москва, Троицк

  2016

Оглавление:

1.Цель работы.

2.Историческая справка.

3. Правильный паркет.

4.Полуправильный паркет.

5.Неправильный паркет.

6.Опрос

7.Вывод.

Цель работы: Выяснить как зависит восприятие паркета человеком от его геометрической правильности (красоты).

Задачи: Сначала нам нужно выяснить сколько существует видов паркетов.

Затем провести опрос среди одноклассников и учителей.

Историческая справка.

Правильным паркетом (мозаикой, архимедовым разбиением) называется разбиение плоскости на правильные многоугольники, такое что многоугольники примыкают друг к другу только по целой стороне и все вершины паркета устроены одинаково, т. е. к каждой вершине сходятся одни и те же многоугольники в одном и том же порядке.

История мощения улиц прямоугольными кусками камней с ровной поверхностью уходит своими корнями в очень древние времена. Форма используемого при данной работе камня в виде бруска и дало название самому виду дорожного покрытия – брусчатка. Первые свидетельства использования брусчатки известны еще со времен Древней Греции, где ей уже мостили улицы. Такие ценные качества камня, как прочность, износоустойчивость и долговечность в сочетании с экологичностью делают брусчатку все более популярной и в наши дни. В древности процесс изготовления брусчатки был очень трудоемким и, в связи с практически полным отсутствием каких–либо механизмов, выполнялся вручную. Это был титанический труд! Камень сначала добывали, затем кололи, придавая форму вытянутого прямоугольника и, для придания поверхности ровного вида, шлифовали. Такая первобытная технология с использованием, в основном, рабского труда была очень медленной. Разумеется, этот метод изготовления брусчатки абсолютно неприемлем в наши дни. На смену использованию природного камня пришел такой современный и практичный строительный материал, как тротуарный камень из бетона, который получил название – тротуарная плитка. Использование бетона в изготовлении тротуарной плитки значительно удешевляет получаемый продукт, не уступая по прочности и долговечности первоисточнику – природному камню.

В работе рассматриваются покрытия плоскости различными типами многоугольников. Среди покрытий выделяются “паркеты”, т. е. покрытия, различные элементы которых не имеют общих внутренних точек. Найдены все значения n, при которых можно составить паркет из правильных, равных между собой n–угольников.

Тротуарная плитка есть бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Мы будем рассматривать только покрытия из плитки, составленные из равных между собой многоугольников. Дополнительно всегда предполагается, что если “паркет” составлен из копий выпуклого многоугольника, то каждые две копии либо не имеют общих точек, либо имеют общую сторону (называемую также ребром “паркета”, либо общую вершину (называемую вершиной “паркета”.

Итак, перед нами стоит задача: определить, сколько существует пра­вильных паркетов и как они устроены. Наметим путь ее решения. Поскольку вокруг всех вершин паркета много­угольники расположены одним и тем же способом, прежде всего необходимо исследовать возможные расположения многоугольников вокруг некоторой вер­шины— назовем ее А. К вершине А не может примыкать менее трех мно­гоугольников, а потому угол a1 мно­гоугольника с наименьшим числом сто­рон п 1, который является и наимень­шим углом, примыкающим к вершине А, не может быть более 120° (360°: 3 = 120°). Существуют лишь четыре пра­вильных многоугольника, углы которых не превышают 120°.

Напомним, что внутренний угол правильного n-угольника равен

Итак, многоугольники (правиль­ные), углы которых не превышают 120°: равносторонний треугольник, a1 = 60°, n1=3; квадрат, а1 =90°, n1=4; правильный пятиугольник, a1 = 108°, n1 = 5; правильный шестиугольник, а1= 120°, n1= 6.

Разобьем все правильные  паркеты на четыре группы:

-в первую отнесем паркеты, в которых многоугольником с наименьшим числом сторон будет правильный шестиугольник,

-во вторую — правильный пятиугольник,

-в третью — квадрат,

-четвертую — равносторонний треугольник.

В первую группу попадает одно покрытие, состоящее из правильных шестиугольников. Поскольку a1 = 120°, сумма всех остальных углов, примы­кающих к вершине А, равна 360° — 120° = 240°.

Такой паркет изображен на рисунке 1.

Во второй группе a1 = 108°, n1 = 5. Тогда сумма остальных углов, примы­кающих к вершине А, равна 360° —108° = 252°. Число этих углов равно двум, так как каждый из них должен быть не меньше 108°. Пусть один из этих углов а2, а другой а3. Число сто­рон соответствующих многоугольников равно n2 и n3. Обозначим стороны пра­вильного пятиугольника в порядке их обхода: а1, а2, а3, a4, a5 (рис. 2).

Если к стороне а1 примыкает n2-угольник, то к соседней стороне a2 примы­кает n2-угольник, а к a3 опять n2- угольник и т. д. Но таких паркетов не существует так как нет правильных многоугольников с углом 126 градусов Таким об­разом, во второй группе нет ни одного паркета.

В третьей группе наименьший угол a1, примыкающий к вершине А, ра­вен 90°, тогда n1=4. Остальных углов, примыкающих к вершине А, или три (тогда все они равны 90°), или два.

В первом случае a1=a2= a3 = a4 = 90°, n1 = n2 = n3 = n4 = 4. Получим паркет, состоящий только из квадра­тов (рис. 3).

a1 =90°, а2 = 120°, а3 = 150°. Эта комбинация дает паркет, состоящий из квадратов (a1= 90°, n1=4), шести­угольников (а2=120°, n2=6) и две­надцатиугольников (а3 = 150°, n3= 12; рис. 3);

а1=90°, а2=135°, а3= 135°. Эта комбинация дает паркет, состоящий из квадратов (а1 =90°, n4= 4) и восьми­угольников (а2 = а3= 135°, n2=n3=8; рис. 4).

В четвертой группе a1= 60°, n1= 3. Сумма остальных углов равна 360°- 60° = 300°, а их число может быть равным двум, трем, четырем или пяти. Если их пять, то каждый из них равен 60° и получится паркет, состоя­щий из одних треугольников (рис. 5). Если их четыре, то меньший из них менее 60° и не более 360°: 4 = 75°.

Рис.5

Две возможные комбинации: а4 = 60°, а5=120° и а4 = а5 = 90°.

Таким обра­зом, получаем:

а1 = а2 = а3= а4 = 60°, а5=120° (п1=п2 = п3 = п4 = 3, п5= 6);

a1 = а2 = а3 = 60°, a4 = a5 = 90° (п1= п2 = п3 = 3, n4 = n5 = 4).

Вторая комбинация дает два покрытия в зависимости от того, как расположены многоугольники вокруг вершины: в порядке треугольник — треугольник — треугольник — квадрат — квадрат (рис. 6) или в порядке треугольник — треугольник —- квадрат — треуголь­ник— квадрат (рис. 7).

Возможны два случая: или а2= 90°, или а2=60°.

получаем: a1 = 60°, a2= а3=90°, a4=120° (n1= 3, n2=n3= 4, n4=6). Если вокруг каждой вершины многоугольники расположены в поряд­ке треугольник — квадрат — шести­угольник — квадрат, мы получаем по­крытие, изображенное на рисунке 8.

а3= 120°, а4= 120° (n3=n4=6);

Первая комбинация дает покрытие, изображенное на рисунке 10. Вокруг каждой вершины многоугольники рас­положены в порядке треугольник — шестиугольник — треугольник — шес­тиугольник.

a2 = 360o-a1-a3 = 150°.

Тогда n2 = n3=12. Это покрытие изображено на рисунке 13.

Полуправильные паркеты.

При каких условиях окрестность точки можно замостить без пропусков и перекрытий комбинациями разных правильных многоугольников?

Из каких правильных разноименных многоугольников можно составить паркет?

Выясним условия, при которых окрестность точки можно замостить без пропусков и перекрытий комбинациями разных правильных многоугольников.

Величина каждого угла 180є*(n–2)/n        

<180є, в то же время 180є*(n–2)/n >

60є, (т. к. внутренний угол правильного треугольника 60є),

т. е. 60є ≤ 180є*(n–2)/n <180є

360є/2=180є, значит, окрестность точки нельзя замостить двумя правильными многоугольниками.

360є/3=120є < 180є, наименьшее количество правильных многоугольников, которые можно уложить, чтобы покрыть окрестность точки, равно 3.

360є/4=90є < 180є

360є/5=72є < 180є

360є/6=60є < 180є, наибольшее количество правильных многоугольников, которые можно уложить, чтобы окрестность точки, равно 6.

Окрестность точки можно замостить 3, 4, 5, 6 правильными многоугольниками.

Таким образом, решение задачи распадается на анализ тех вариантов, когда в вершине паркета сходятся 3, 4, 5 и 6 правильных многоугольников.

Если длина стороны многоугольников паркета задана, то существует только 11 различных правильных паркетов:

Паркет из неправильных многоугольников.

Можно сложить паркет из произвольных неправильных, но все же одинаковых треугольников.

Для этого сложим из треугольников одинаковые параллелограммы, а затем замостим всю плоскость такими параллелограммами.

Можно сложить паркет из прямоугольников, ромбов, четырехугольников произвольной формы.

Паркет из четырехугольников произвольной формы можно построить с помощью центральной симметрии.

Попробуем заполнить плоскость неправильными четырехугольниками. Возьмем произвольный четырехугольник ABCD и построим симметричный ему относительно середины стороны АВ четырехугольник. Исходный обозначим цифрой I, а симметричный – цифрой II. Теперь четырехугольник II отразим симметрично относительно середины его стороны ВС. Полученный четырехугольник обозначим цифрой III и отразим его симметрично относительно середины стороны CD. Полученный четырехугольник обозначим цифрой IV. Четырехугольники I, II, III, IV примыкают к общей вершине углами A, B, C, D. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам, поэтому четырехугольники заполнят плоскость вокруг общей вершины.

  Опрос

В ходе опроса выяснилось, что людям больше нравятся правильные паркеты, чем полуправильные и неправильные.

Вывод: В ходе проведенного нами исследования и опроса сделанного мной

среди одноклассников мы можем понять, что восприятие человека  зависит от правильности паркета, чем правильнее паркет, тем он красивее.

Литература: globallab. org