Элементы теории вероятностей

Элементы теории вероятностей.

(Материал дается очень кратко. Для подробного изучения подойдет любой учебник по теории вероятностей)

Испытания и события.

Испытание – наличие определённого комплекса условий (проведение эксперимента, опыта, наблюдение явления). Результат (исход) испытания – событие. Обозначаются события: A, B, C, …

Вероятность события А – мера возможности появления события. Обозначается Р(А)
или р.

Достоверное событие – обязательно произойдет в данном испытании.

Невозможное событие – в данном испытании произойти не может.

Случайное событие – в данном испытании может произойти, может не произойти.

Несовместными событиями называются события, когда появление одного события исключает появление остальных, иначе события называются совместными.

Равновозможными событиями называются события, когда нет оснований полагать, что одно из этих событий произойдёт скорее, чем остальные.

Зависимыми называются события, когда вероятность появления одного события меняется от появления/непоявления других событий. P(A/B) – условная вероятность события А, при условии, что событие В – произошло.

Полной группой несовместных событий называются события, если в результате испытания обязательно происходит одно из этих событий.

События и - противоположные, если они образуют полную группу событий.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А ведёт к появлению события В.

Классическое определение вероятности.

Пусть в результате испытания возможно n равновозможных и несовместных исходов, образующих полную группу. Предположим, что m исходов благоприятствуют событию А.

Вероятностью события А (в классическом смысле) называется отношение числа m исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу n всех несовместных и равновозможных исходов: .        

Сочетания из n-элементного множества по m элементов - наборы по m элементов, которые отличаются друг от друга составом элементов. Число сочетаний: .

,        

где - факториал числа n,

.        

Пример 1. В урне 5 желтых, 4 зелёных и 9 красных шаров. Извлекли 5 шаров. Найти вероятности событий: А = {достали 2 желтых, 1 зелёный шар}, В = {достали 2 зелёных шара}.

Решение. Воспользуемся классическим определением вероятности.

Найдем число всех возможных исходов. Всего в урне 18 шаров, взяли 5. Тогда

Найдем число благоприятных исходов для события А. Благоприятными будут исходы, когда достали 2 шара из 5 жёлтых, 1 из 4 зелёных и 2 из 9 красных. Тогда

Тогда

Найдем число благоприятных исходов для события В. Благоприятными будут исходы, когда достали 2 шара из 4 зелёных и 3 любых из 14 (5 жёлтых + 9 красных). Тогда

Тогда

Сумма и произведение событий.

Сумма событий А и В – новое событие А+В, если произойдёт хотя бы одно из событий: или только А, или только В, или оба события А и В.

Произведение событий А и В – новое событие А·В, если произойдут оба события: и А, и В.

Если А1, А2, …, Аn – несовместные события, то

       

Если А1, А2, …, Аn – полная группа несовместных событий, то

       

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

Если А1, А2, …, Аn – независимые события, то

.        

Если А1, А2, …, Аn – зависимые события, то

.        

Если А1, А2, …, Аn – совместные события, то

.        

Пример 2. Даны вероятности событий А, В, С: Р(А) = 0,7, Р(В) = 0,12, Р(С) = 0,4.

Найти вероятности событий:

D1 = {в результате испытания произойдут только два события};

D2 = {в результате испытания произойдёт хотя бы одно событие}.

Решение.

1) Если происходят только два события, то это либо А и В, тогда С не происходит, либо А и С, тогда В не происходит, либо В и С, тогда не происходит А. Тогда

Слагаемые являются несовместными событиями, тогда вероятность D1:

P(D1) = 0,7∙0,12∙(1-0,4)+0,7∙(1-0,12)∙0,4+(1-0,7)∙0,12∙0,4 = 0,0504+0,2464+0,0144 = 0,3112.

2) Из определения суммы событий следует, что , причем слагаемые являются совместными событиями. Тогда вероятность D2:

P(D2) = 1 – 0,3∙0,88∙0,6 = 1 – 0,1584 = 0,8416.

Вероятность D2 можно найти по-другому. Если происходит хотя бы одно событие, то это означает, что может произойти только одно событие (любое), либо только два (событие D1), либо все три:

Примечание. Скобки поставлены для наглядности, обычно их не ставят. В круглых скобках – произойдет только одно событие, в квадратных – только два, последнее слагаемое – произойдут все три события. То же самое относится и к скобкам ниже.

При этом все слагаемые – попарно несовместные события. Тогда вероятность D2:

P(D2) = (0,7∙0,88∙0,6+0,3∙0,88∙0,4+0,3∙0,12∙0,6) +[ 0,7∙0,12∙0,6+0,7∙0,88∙0,4+0,3∙0,12∙0,4]+ +0,7∙0,12∙0,4 = (0,3696+0,1056+0,0216)+[0,0504+0,2464+0,0144]+0,0336 = (0,4968) + [0,3112] + +0,0336 = 0,8416.

Повторные испытания.

Серия независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность р=Р(А) появления события А постоянна (), называется схемой Бернулли.

В каждом испытании: либо появляется событие А с вероятностью р, либо событие А не появляется с вероятностью q = 1 – p.        

- вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно k раз находится по формуле Бернулли: .        

В случае большого числа испытаний (n велико) используются локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Локальная теорема Лапласа: , где , .        

Интегральная теорема Лапласа находит вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит от k1 до k2 раз: , где .        

Пример 3. Вероятность появления события А при проведении испытаний равна 0,42 в каждом испытании. Всего проведено 6 испытаний. Найти вероятность того, что событие А появится менее трех раз.

Решение. Так как число испытаний невелико (всего 6 испытаний), то воспользуемся формулой Бернулли. По условию задачи дано: n = 6, p = 0,42. Надо найти P6(k<3).

Тогда P6(k<3) = 0,0381+0,1653+0,2995=0,5029.

Случайные величины.

Величина называется случайной, если она принимает то или иное (но только одно) значение, причем заранее (до опыта) неизвестно, какое именно.

Обозначаются: X, Y, Z, T,…

Случайная величина (с. в.) называется дискретной (д. с.в.), если её значения изолированы друг от друга. С. в. называется непрерывной (н. с.в.), если её значения заполняют сплошь некоторый промежуток.

Дискретные случайные величины.

Закон распределения д. с.в. Х – соответствие между значениями д. с.в. и соответствующими вероятностями. Задается в виде таблицы.

Х	х1	х2	…	xn
р	p1	p2	…	pn

Для вероятностей выполняется условие: .        

Числовые характеристики д. с.в.:

Математическое ожидание. Математическое ожидание д. с.в. – сумма произведений значений д. с.в. и соответствующих вероятностей: . 

Свойства математического ожидания.

М(С) = С. М(Х+С) = М(Х) + С. М(С·Х) = С·М(Х). Если все значения принадлежат интервалу (a, b), то a<M(X)<b.

Дисперсия. Дисперсия с. в. – математическое ожидание квадрата отклонения Х от М(Х):

                       

Свойства дисперсии.

D(С)=0. D(Х+С) = D(Х). D(С·Х) = С2·D(Х). Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата с. в. Х минус квадрат математического ожидания :

                       

Средним квадратическим отклонением у(X) называется квадратный корень из дисперсии:

                       

Пример 4.  Д. с.в. задана законом распределения. Найти числовые характеристики M(X), D(X) (двумя способами), у(X).

Х	-3	1	5	11
р	0,1	0,3	?	0,2

Решение. Прежде необходимо найти неизвестную вероятность р3:

р3 = 1 – (0,1+0,3+0,2)= 1 – 0,6 = 0,4. Тогда закон распределения имеет вид:

Х	-3	1	5	11
р	0,1	0,3	0,4	0,2

Найдем математическое ожидание М(Х):

М(Х) = -3∙0,1 +1∙0,3+5∙0,4+11∙0,2= -0,3+0,3+2+2,2=4,2

Найдем дисперсию D(X) двумя способами. Первый способ – найдем дисперсию по определению.

=5,184+3,072+0,256+9,248=17,76.

Второй способ – используя свойство 4 дисперсии.

Непрерывные случайные величины.

Функция распределения (интегральная функция) F(x) – функция, каждому действительному значению х ставящая в соответствие вероятность того, что с. в. Х в результате испытания примет значение, меньшее х: F(X)=P(X<x).                         (94)

Свойства. 1) 0≤F(x)≤1.

2) F(x) – неубывающая: .

3) .        

4) Если все значения  , то F(x) = 0 при x≤a, F(X)=1 при x≥b.

Плотность вероятности (дифференциальная функция) f(x) – первая производная от функции распределения:  .                         (96)

Свойства. 1) .

2) .        

3) .        

4) - условие нормировки.        

Числовые характеристики н. с.в. Х выражаются через плотность вероятности:

; =.        

Нормальное распределение.

Н. с.в. Х называется распределённой по нормальному закону, если её плотность вероятности имеет вид .

a, у – параметры распределения:

M(X)=a; D(X)=у2, у(X)=у.        

Нормальная кривая (кривая Гаусса) – график плотности вероятности нормально распределенной с. в.

Основные формулы нормального распределения.

1. ,        

где - функция Лапласа.

2. .        

Правило «3 у». Если с. в. Х распределена по нормальному закону, то с вероятностью 0,9973 значение с. в. находятся в промежутке (a - 3у; a + 3у).