Задача №1
Поперечное сечение бруса состоит из двух частей, соединенных в одно целое.
Требуется:
1. вычертить схему сечения в масштабе 1:2, на которой указать положение всех осей и все размеры;
2. найти общую площадь сечения;
3. определить положение центра тяжести всего сечения;
4. определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через центр тяжести параллельно полкам;
5. Найти положение главных центральных осей, значения главных центральных моментов инерции, главных радиусов инерции и проверить правильность вычисления моментов инерции.
Исходные данные: равнобокий уголок (ГОСТ 8509-93) – 125х125х12; швеллер (ГОСТ 8240-89) – 16а.
Решение:
По ГОСТ 8509-93 определим характеристики уголка 125х12:
b = 12,5см; Ауг = 28,9см2; 
см4; 
см4; 
см4; 
см4; z0 = 3,53см.
По ГОСТ 8240-89 определим характеристики швеллера 16a (с учетом расположения осей):
b = 6,8см; 
см2; 
см4; 
см4; z0 = 2см.
1. Изобразим в масштабе 1:2 составное сечение и укажем оси и центры тяжести каждого из элементов.
2. Площадь сечения:
см2.
3. За исходные координатные оси примем оси х1 и у1 уголка и найдем координаты центра тяжести сечения:
см;
см.
Центральные оси х и у направим параллельно исходным осям х1 и у1.
4. Осевые моменты инерции относительно центральных осей:
см4;
см4;
Центробежный момент инерции сечения относительно центральных осей:
5. Определим положение главных центральных осей U и V:
,
Вычислим значения главных центральных моментов инерции:
см4;
см4.
Проверка:
;
;
см4,
см4,
;
Задача №2
Стальной стержень (Е = 2⋅105МПа), один конец которого жестко защемлен, другой – свободен, находится под действием продольных сил Р и распределенной нагрузки t = 20кН/м. Отдельные участки стержня имеют различную площадь поперечного сечения, F или 2F.
Требуется:
1.сделать схематический чертеж бруса по заданным размерам, соблюдая масштаб длин по вертикали;
2.вычислить значения продольной силы N и нормального напряжения σ, построить их эпюры;
3.найти перемещение сечения I – I.
Исходные данные: F = 2см2; а = 0,1м; b = 0,14м; с = 0,19м; Р = 24кН.
Решение:
Изобразим расчетную схему стержня и разделим ее на три силовых участка. Определим продольную силу N и нормальное напряжение на каждом участке, начиная со свободного конца.
1-й участок
кН;
МПа.
2-й участок
кН;
МПа.
3-й участок
кН;
МПа.
Строим эпюры Nи σ.
Определим перемещение сечения I–I.
Перемещение будет равно удлинению участка стержня от заделки до нужного сечения:
м.
Задача №3
Абсолютно жесткий брус, имеющий одну шарнирно-неподвижную опору и прикрепленный двумя тягами из упругопластического материала, нагружен переменной по значению силой F. Площадь поперечного сечения тяг А1 и А2, модуль упругости и предел текучести материала тяг Е = 2⋅105МПа и σт = 240МПа; допускаемое напряжение 
где коэффициент запаса прочности k = 1,5.
Требуется:
1. сделать чертеж всей конструкции по заданным размерам, соблюдая масштаб;
2. найти в зависимости от силы F значения усилий в тягах;
3. определить в процессе увеличения силы F ее значение, при котором напряжения в одной из тяг достигнут предела текучести;
4. определить в процессе дальнейшего увеличения силы F ее предельное значение в предположении, что несущая способность обеих тяг исчерпана;
5. найти значения грузоподъемности из расчета по методам допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Сопоставить результаты и сделать вывод.
Исходные данные:А1 = 11⋅10-4м2; А2 = 4⋅10-4м2; а = 1,4м; b = 1м; с = 1,9м; l1 = 2м; l2 = 2,2м.
Решение:
1. Изобразим в масштабе расчетную схему конструкции.
2. Для определения усилий в стержнях составим уравнение равновесия:
(1)
Для составления дополнительного уравнения рассмотрим деформацию системы.
Из условия совместности деформаций:
Удлинения стержней:
; 
, тогда:
. (2)
Решая совместно уравнения 1 и 2 определим усилия в стержнях:
;
3. Напряжения в стержнях:
; 
Напряжение в первом стержне больше, а значит, первым предела текучести достигнет стержень1.
Максимальную нагрузку определим из условия достижения напряжения в стержне 1 предела текучести:
отсюда:
кН.
4.Предельную нагрузку определим из условия достижения напряжения в стержне 2 предела текучести:
отсюда:
кН.
5. Грузоподъемность по методу допускаемых напряжений определим из условия, что наибольшее напряжение не должно превышать допускаемое напряжение.
где 
МПа;
кН.
По методу разрушающих нагрузок определим разрушающую нагрузку в системе.
Полному исчерпанию несущей способности данной системы соответствует появление текучести в обоих стержнях. Разрушающую нагрузку определим из уравнения моментов относительно точки А:
Допустимая нагрузка:
Грузоподъемность по методу разрушающих нагрузок больше грузоподъемности по допускаемым напряжениям в
Задача №4
Стальной валик круглого сечения испытывает кручение от приложенных к нему четырех моментов: М1, М2, М3 и М4.
Требуется:
1. построить эпюру крутящих моментов;
2. определить размеры поперечного сечения валика из условий прочности и жесткости;
3. показать распределение касательных напряжений в поперечных сечениях;
4. построить эпюру углов закручивания.
Модуль упругости при сдвиге для материала валика G = 8⋅104МПа; допускаемое значение угла закручивания [θ] = 1,8°/м.
Исходные данные: а = 0,1м; с = 0,14м; l = 0,19м; М1 = 2кН⋅м; М2 = 2,4кН⋅м; М3 = 2,9кН⋅м; М4 = 2кН⋅м; [τ] = 75МПа.
Решение:
1. Изобразим в масштабе расчетную схему вала.
Строим эпюру 
начиная со свободного конца вала.
1-й участок 
кН⋅м.
2-й участок 
кН⋅м.
3-й участок 
кН⋅м.
4-й участок 
кН⋅м.
2. Определяем необходимый диаметр вала.
Из условия прочности:
- с эпюры 
Приравнивая выражение для 
и 
получим:
Из условия жесткости:
, 
, где [θ] = 1,8°/м = 0,0314м-1.
Приравнивая выражение для 
и 
получим:
Из двух полученных значений 
за ответ берем больший 
. Округляем его до ближайшего большего стандартного значения 
.
3. Изобразим распределение касательных напряжений в поперечном сечении вала в точке В.
В поперечном сечении возникают касательные напряжения, которые изменяются от нуля в центре вала до τmax на внешнем диаметре сечения.
.
МПа.
4. Строим эпюру углов закручивания.
Углы поворота сечений будем определять относительно сечения 
, угол поворота которого равен нулю. Углы поворота других сечений равны сумме углов закручивания участков вала, расположенных между сечением 
и сечением, угол закручивания которого определяется:
.
Т. к. вал в этой задаче имеет один диаметр на всех участках, вычислим 
.
.
Угол поворота сечения 
равен углу закручивания участка
:
.
Угол поворота сечения 
:
.
Угол поворота сечения 
:
.
Угол поворота сечения 
:
.
Откладывая от нулевой линии полученные значения углов поворота сечений в масштабе с учетом знака, а затем, соединяя полученные точки прямыми линиями, получаем эпюру углов закручивания.
Задача №5
Для схем балок I, II требуется:
1.вычертить расчетные схемы, указав числовые значения размеров и нагрузок;
2.вычислить опорные реакции (схема II) и проверить их;
3. составить аналитические выражения изменения изгибающего момента Мх и поперечной силы Qу на всех участках балок;
4.построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, указав значения ординат во всех характерных сечениях участков балок;
5.руководствуясь эпюрами изгибающих моментов, вычертить приблизительный вид изогнутых осей балок;
6. Определить положения опасных сечений и из условия прочности подобрать поперечные размеры балок:
а) для схемы I – круг диаметром d при допускаемом напряжении [σ] = 280МПа (сталь);
б) для схемы II – двутавровое (ГОСТ 8239-72) при допускаемом напряжении [σ] = 200МПа (сталь).
Исходные данные: с = 1,7а; Р = 2qa; m = 0,7qa2; а = 2,5м; q = 12кН/м.
Решение:
Схема I.
1. Изображаем расчетную схему и разделяем ее на два силовых участка.
2. Опорные реакции не определяем, так как можем построить эпюры со свободного конца.
3. Записываем аналитические выражения для поперечной силы 
и изгибающего момента 
в произвольном сечении для каждого участка. Вычисляем значения 
и 
на границах участков.
1-й участок
2-й участок
4. Строим эпюры 
и 
.
5. Руководствуясь эпюрой изгибающих моментов, вычертим приблизительный вид изогнутой оси балки.
Из эпюры видим, что нижние волокна балки сжаты по всей длине. Следовательно, балка изгибается вниз, при этом перемещение и поворот сечения в заделке отсутствуют.
6. Находим наиболее опасное сечение – в заделке, 
.
Размер поперечного сечения балки определим из условия прочности:
.
Отсюда необходимый момент сопротивления изгибу
.
Для круга 
. Откуда:
.
Схема II.
1. Изображаем расчетную схему и разделяем ее на четыре силовых участка.
2. Определяем опорные реакции.
Составляем уравнения равновесия: сумму проекций всех сил на ось 
и сумму моментов всех сил относительно точки 
, затем 
.
.
Для проверки найденных реакций используем еще одно уравнение равновесия - сумма проекций всех сил на ось 
:
следовательно, опорные реакции определены верно.
3. Записываем аналитические выражения для поперечной силы 
и изгибающего момента 
в произвольном сечении для каждого участка. Вычисляем значения 
и 
на границах участков.
1-й участок
2-й участок
3-й участок
На границах этого участка поперечная сила 
имеет разные знаки, поэтому в том сечении, где 
на эпюре моментов наблюдается экстремум. Найдем его.
Подставляя координату этого сечения в уравнение момента получим
4-й участок
4. Строим эпюры 
и 
.
5. Руководствуясь эпюрой изгибающих моментов, вычертим приблизительный вид изогнутой оси балки. Там, где эпюра отрицательна, нижние волокна балки сжаты, а где положительна – растянуты.
6. Находим наиболее опасное сечение – в опоре В, 
.
Размер поперечного сечения балки определим из условия прочности:
.
Отсюда необходимый момент сопротивления изгибу
см3.
По сортаменту ГОСТ 8239-89 подбираем двутавр№55 – Wх = 2035см3.
Задача №6
Для схемы балки II требуется по формуле Мора определить:
1. вертикальное перемещение центра сечения, где приложен сосредоточенный момент;
2. вертикальное перемещение центра сечения, где приложена сосредоточенная сила;
3. угол поворота сечения, где приложен сосредоточенный момент;
4. вычертить приближенный вид изогнутой оси балки.
Решение:
1. Приложим в точке С (где приложен сосредоточенный момент) единичную силу и единичный момент, а в точке D – единичную силу. Составим выражения моментов для каждого из единичный усилий для тех же участков, как и при построении грузовой эпюры.
1-й участок
2-й участок
3-й участок
4-й участок
Определим вертикальное перемещение точки С по формуле Мора:
Модуль упругости для стали - E = 2⋅105МПа.
Для двутавра №55 – Jх = 55962см4 = 0,0005596м4.
м.
Так как значение перемещения получилось отрицательным, то направление перемещения противоположно направлению приложенной единичной силы – т. е. вверх.
2. Определим вертикальное перемещение точки D по формуле Мора:
Направление перемещения совпадает с направлением единичной силы – вниз.
3. Определим поворот сечения С по формуле Мора:
Направление поворота совпадает с направлением единичного момента – по часовой стрелке.
Вычертим приближенный вид изогнутой оси балки.
