РАСЧЁТ ЭЛЕКТРОННЫХ ТРАНСПОРТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В ПЛАЗМЕ НЕЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ
ОИВТ РАН, Россия, Москва 125412, Ижорская 13 стр. 2, *****@***ru
Электронные транспортные коэффициенты (электропроводность, теплопроводность и термоэдс) играют важную роль в фундаментальных и прикладных задачах. Поэтому они измеряются и рассчитываются на протяжении более чем ста лет [1]. Область плазмы нещелочных металлов представляет особую сложность в этих исследованиях, так как она расположена при температурах выше ~ 5 кК. Эксперименты в этой области фазовой диаграммы появились в последние два десятилетия. В основном, это измерения в процессе электровзрыва полупроводников (проволочек и фольг) (см. [2] и ссылки в этой работе). В рамках этих измерений, однако, температура не измеряется напрямую. Она может быть лишь оценена из данных для других величин. Тем не менее, эти данные могут быть использованы для проверки существующих и построению новых моделей исследуемых коэффициентов.
Одним из наиболее используемых методов для расчёта электронных транспортных коэффициентов является так называемое приближение времени релаксации ( τ - приближение). Хотя изначально оно было обосновано в рамках классического уравнения Больцмана для функции распределения электронов по скоростям [3], область его применимости оказалась значительно шире, чем разреженные газы. В частности нами была разработана модель расчёта транспортных коэффициентов в рамках τ - приближения. Эта модель успешно применялась к плазме благородных металлов (Au, Ag, Cu) [4] и полупроводников (B, Si) [5]. Ниже мы представим основные соотношения этой модели и приведём некоторые результаты для серебра и сравнение их с данными экспериментов и другими моделями. Будем считать, что плазма металла состоит из смеси атомов, положительных ионов и свободных электронов. Тогда в рамках τ - приближения выражения для электропроводности σ, теплопроводности κ и термоэдс St выглядят как:
(1)
Здесь ε – энергия свободного электрона, f0– функция распределения Ферми – Дирака, μ - химический потенциал идеального электронного газа. Хим. потенциал связан с концентрацией электронов ne равенством [4]:
(2)
А время релаксации τ определяется как:
(3)
В (3) суммирование проводится по всем сортам тяжёлых частиц (ns их концентрации). 
– транспортные сечения рассеяния электронов на частице сорта s (i – ионы, a – атомы). Чтобы использовать (1)-(3) необходимо знать концентрации и транспортные сечения. Перед тем как приступить к их описанию, заметим, что формулы (1) не учитывают рассеяния электронов на электронах. Для того, чтобы включить этот эффект в расчёт транспортных коэффициентов, Спицер и Харм [6] предложили ввести множитель γSp(Zi), который учитывает рассеяние электронов на ионе с зарядом Zi|e| для полностью ионизованной плазмы. В их классической работе этот множитель рассчитывался из интеграла столкновений Ландау. Было показано, что γSp(Zi)→1, если электроны становятся вырожденными (T<<TF), или если заряд иона стремиться к бесконечности (Zi→∞). За последующие 50 лет эти множители были модифицированы. В настоящей работе использовалось обобщение фактора Спицера - Харма γSp(Zi), предложенное в [7]:
(4)
Подстановка (4) в (3) и в (1) даёт нужные соотношения. Заметим, что существуют и другие способы учёта электрон-электронных столкновений (см. ссылки в [6]), которые, однако, сохраняют функциональную форму (4). Определимся теперь с транспортными сечениями и составом.
Для сечения рассеяния электронов на ионах существует обобщённая формула Резерфорда, в которой используется модифицированный кулоновский логарифм [1, 4, 5, 7]. Для рассеяния электрона на атомах до последнего времени не было известно точных сечений и поэтому использовались сечения, рассчитанные на некоторых модельных парных потенциалах типа Букингема [1]. Но в последние несколько лет появились расчёты точными квантово - механическими методами (например, R-матрицы) [8, 9]. Эти расчёты подтверждаются измерениями, которые появились именно для атомов металлов. Поэтому в нашей модели мы использовали эти более точные сечения.
Для определения состава плазмы нами использовалась так называемая обобщённая химическая модель. Эта модель построена на минимизации выражения для свободной энергии по искомым концентрациям частиц. Первоначально такой подход в плазме был применён Саха [10] для идеального полностью ионизованного атомарного водорода. Далее этот метод был распространён и на другие вещества, включая смеси, и обобщён путём учёта межчастичного взаимодействия [1]. Детали нашего варианта обобщённой химической модели представлены в [4, 5].
Перейдём теперь к некоторым результатам расчёта по нашей модели. Для сравнения с экспериментом и расчётами по другим моделям мы рассмотрим изохору 0.43 г/см3 для серебра в области температур 10-50 кК. (Нормальная плотность серебра 10.5 г/см3). Электропроводность и давление были измерены именно на этой изохоре в работе [2]. На рисунке 1 представлен средний заряд иона <Z> (степень ионизации плазмы) для этой изохоры.
Рис.1. Средний заряд иона <Z> на изохоре серебра 0.43 г/см3. Кружки - наш расчёт, квадраты - расчёт по модели среднего атома SQAA [2], сплошная линия – расчёт по модели Томаса – Ферми (TF) [2].
На рисунке 2 представлена электропроводность серебра на той же изохоре
Рис. 2 Электропроводность на изохоре серебра 0.43 г/см3. Эксперимент и расчёт SQAA – данные [15], сплошная линия – наш расчёт
Из рисунка 1 видно, что предложенная нами модель хорошо согласуется с моделью среднего атома, рассмотренной в [2]. А модель Томаса – Ферми имеет тенденцию завышать средний заряд. Электропроводности, представленная на втором рисунке, показывают, что наша модель находится в хорошем согласии с экспериментом и описывает его даже лучше, чем модель среднего атома, рассмотренная в [2].
ЛИТЕРАТУРА
1. , , и др. Теплофизические свойства рабочих сред газофазного ядерного реактора. М.: «Энергоатомиздат», 1980.
2. J. Clerouin et al. Phys. Plasmas 19 (2012) 082702.
3. . М., . Курс теоретической физики. Том Х: Физическая Кинетика. Москва: «Наука», 1979.
4. E. M. Apfelbaum. Phys. Rev. E. 84 (2011) 066403.
5. E. M. Apfelbaum. Contrib. Plasma Phys. 53 (2013) 371.
6. L. Spitzer, R. Harm. Phys. Rev. 89 (1953) 977.
7. и др. ЖЭТФ 124 (2003) 288.
8. S. D. Toshich et. al. NIMB 267 (2009) 283.
9. V. Gedeon et. al. Phys. Rev. A 85 (2011) 022711.
