Лабораторная работа № 10
Изучение явлений интерференции.
Получение интерференционной картины
(полосы равной толщины)
Цель: изучение распределения интенсивности в интерференционной картине на примере колец Ньютона; компьютерное моделирование трехмерной интерференционной картины в MathCAD.
Краткие сведения, необходимые для выполнения работы
Две параллельные монохроматические световые волны, накладываясь друг на друга, возбуждают в каждой точке пространства колебания одинакового направления:
и 
. (10.1)
Под хi в данном случае следует понимать модуль напряженности электрического (
) или магнитного (
) поля, создаваемого соответствующей волной. Векторы 
и 
колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях. Амплитуда результирующего колебания в точке:
. (10.2)
Так как волны когерентны, то 
имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки пространства) значение. Интенсивность результирующей волны:
. (10.3)
В точках, где 
, интенсивность 
, а там, где 
, интенсивность 
. Следовательно, при наложении двух (или нескольких) когерентных световых волн происходит пространственное перераспределение светового потока, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией света.
Для некогерентных волн разность фаз 
непрерывно изменяется с течением времени. Среднее по времени значение 
равно нулю, а интенсивность результирующей волны всюду одинакова и при 
равна 
(для когерентных волн в максимумах 
, в минимумах 
).
Рассмотрим интерференцию двух когерентных волн, полученных от одного источника методом разделения волны на две части, которые накладываются после прохождения разных оптических путей. Пусть разделение на две когерентные волны происходит в некоторой точке О. До точки М, в которой наблюдается интерференционная картина, одна волна проходит путь s1 в среде с показателем преломления n1, вторая – s2 в среде с показателем преломления n2. Если в точке О фаза колебаний равна 
, то в точке М первая волна возбудит колебание 
, а вторая волна – колебание 
, где 
и 
– фазовые скорости первой и второй волн соответственно. Разность фаз колебаний в точке М равна:
, (10.4)
где 
– длина волны в вакууме, 
– оптическая разность хода.
Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме
, (10.5)
то 
, колебания протекают в одинаковой фазе, и условие (10.5) является условием интерференционного максимума. Число m определяет порядок максимума.
Если оптическая разность хода:
, (10.6)
то 
, колебания протекают в противофазе, и условие (10.6) является условием интерференционного минимума.
Для наблюдения интерференции можно использовать методы Юнга, бипризму Френеля, зеркало Френеля, интерферометры Майкельсона, Жамена и т. д. Интерференция может наблюдаться как радужное окрашивание мыльных, бензиновых, оксидных и других тонких пленок.
При отражения света от воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны образуются кольца Ньютона, которые являются классическим примером интерференционных полос равной толщины (рис. 10.1). Параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность линзы и частично отражается от верхней и нижней поверхностей воздушного зазора между линзой и пластинкой. При наложении отраженных лучей возникают полосы равной толщины, которые имеют вид концентрических окружностей.
Рис. 10.1
Принимая, что показатель преломления воздуха 
, а угол падения равен нулю, оптическая разность хода отраженном свете (с учетом потери полуволны при отражении), составляет
, (10.7)
где d – ширина зазора. Из рис. 10.1 следует, что 
, где R – радиус кривизны линзы, r – радиус кривизны окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор d. Учитывая, что d мало, получим 
.
Следовательно,
. (10.8)
Учитывая условия максимума и минимума, получим выражения для радиусов 
-го светлого и темного колец соответственно:
(10.9)
Измеряя радиусы соответствующих колец и зная радиус кривизны линзы R, можно определить длину волны падающего света 
и, наоборот, по известному значению 
– найти радиус кривизны линзы 
.
Как для полос равной толщины, так и для полос равного наклона положение максимумов зависит от длины волны 
. Поэтому система светлых и темных полос получается только при освещении монохроматическим светом. При наблюдении в белом свете получается совокупность смещенных друг относительно друга полос, образованных лучами разных длин волн, и интерференционная картина приобретает радужную окраску. Все рассуждения были проведены для отраженного света. Однако интерференцию можно наблюдать и в проходящем свете. В этом случае не наблюдается потери полуволны, поэтому оптическая разность хода для проходящего и отраженного света различается на 
, т. е. максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в проходящем, и наоборот. В лабораторной работе предлагается с помощью программы MathCAD смоделировать интерференционную картину, которую можно наблюдать в проходящем и отраженном свете.
Порядок выполнения работы
В документ MathCAD введите исходные данные в соответствии с номером варианта. Рекомендуется использовать величины с размерностями. В документ MathCAD введите формулу, описывающую зависимость разности фаз интерферирующих волн от расстояния до центра интерференционной картины (можно использовать формулы (10.4) и (10.7)). При выводе формулы выберите первый порядок интерференционного максимума. Для получения зависимости интенсивности от разности фаз примите интенсивности падающих волн одинаковыми и равными единице. Постройте график этой зависимости в полярной системе координат с отображением радиальных и угловых линий сетки. Повторите пункт 3 для случая различных интенсивностей падающих волн. Используя зависимости, полученные в пунктах 2 и 3, можно проследить, как изменяется интенсивность в зависимости от расстояния до центра интерференционной картины. Продемонстрируйте это на графике, выполненном в декартовой системе координат. Расстояние задайте в виде ранжированной переменной, взятой с небольшим шагом. Реальные размеры интерференционных картин в таких экспериментах составляют
м. Объясните полученную зависимость. Для моделирования интерференционной картины необходимо реализовать алгоритм, описанный в лабораторной работе № 6. Рекомендуемое число строк и столбцов в матрице интенсивности – 60, максимальный размер интерференционной картины – 7·10–3 м. Для построения графика формируем матрицу значений фазы 
и матрицу значений интенсивности отраженного света 
. Обе величины являются функциями координат xi и yi, которые задаются как ранжированные переменные и должны быть выражены через максимальный размер интерференционной картины. Реально наблюдаемая в микроскоп картина колец Ньютона похожа на полученную карту линий уровня, построение которой и описано в этом пункте. График поверхности, задаваемой матрицей I, представляет распределение интенсивности отраженного света в пространстве. Постройте карту линий уровня и распределение интенсивности света в пространстве в кольцах Ньютона для случая наблюдения в проходящем свете. Сравните и объясните полученные графики. Таблица вариантов
Вариант | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Радиус линзы, м | 4 | 4,5 | 5 | 5,5 | 6 | 6,5 | 7 | 4,2 | 5,2 | 6,2 |
Длина волны падающего света, мкм | 0,6 | 0,58 | 0,72 | 0,65 | 0,8 | 0,55 | 0,5 | 0,45 | 0,38 | 0,85 |
Контрольные вопросы
Что представляет собой световая волна? Каковы границы видимого диапазона длин волн? Дайте определение интерференции. Каковы условия наблюдения интерференции? Что называют когерентностью? Дайте определение монохроматичности. Что называют интерференционной картиной? Что понимают под терминами “полосы равной толщины”и “полосы равного наклона”? Используя законы геометрической оптики, получите выражения для оптической разности хода двух интерферирующих лучей при отражении от плоскопараллельной пластинки (показатель преломления среды вокруг пластинки принять равным единице). Приведите примеры использования интерференции.