Степенные ряды от матриц
Начало к теории аналитических функции от матриц было положено в работе -Данилевского [1]. В этой работе при помощи мажорантной матрицы были исследованы области сходимости степенного ряда от матриц. Г. Худайберганов при помощи спектральной нормы исследовал области сходимости степенного ряда от матриц [2, 3].
Рассмотрим степенной ряд от одной матрицы:
(1)
где 
постоянные численные коэффициенты, 
переменная матрица.
Определение 1 (Г. Худайберганов [2],[3] ). Мы назовем ряд (1) абсолютно сходящимся, если ряд
(2)
сходится здесь 
-спектральная норма.
Теорема (Г. Худайберганов [2],[3]). Пусть дан степенной ряд матриц (1) и 
, где 
.
Тогда в любой точке 
, в которой 
, ряд (1) абсолютно сходится, а в любой точке 
, в которой 
ряд (2) расходится.
Здесь в случае 
, невозможно утверждать расходимость ряда (1) как это возможно в одномерном комплексном анализе. Рассмотрим например, матрицу выда 
. Тогда 
и поэтому при 
ряд (2) в точке 
расходится, а ряд (1) в точке 
сходится, так как матрица 
нильпотентная матрица степени 2.
Если дать определения абсолютной сходимости ряда следующим образом, то эффект который показано в предыдущем примере исчезает.
Определение 2. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если ряд 
сходится.
Основным результатом этой работы является следующая
Теорема. Пусть дан степенный ряд от матриц (1) и
,
где 
. Тогда в любой точке 
, в которой 
(или 
), ряд (1) абсолютно сходится, а в любой точке 
, в которой 
(или 
) ряд (1) расходится.
Литературы
-Даниловский. Применение функций от матриц теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. –М.: 1957.-456 с. Голоморфные функции от матриц и некоторые связанные с ними геометрические задачи комплексного анализа, 2 // Узб. мат. журн.-1991-№4.-с.51-59. Степенные ряды и голоморфные функции от нескольких матриц. Препринт Института физики СО АН СССР. –Красноярск, 1988.-37 с.