Самостоятельная работа. Двугранный угол

Двугранный угол многогранника.

Пересечения скатов крыши образуют двугранные углы.

Самостоятельная работа. Двугранный угол.

1. Сформулируйте определение двугранного угла [Фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей (модель).

2. Перечислите элементы двугранного угла [ребро, грани (показать на модели)].

3. Сформулируйте определение линейного угла [Угол с вершиной на ребре, стороны которого перпендикулярны этому ребру (показать на модели)].

4. Для чего применяется линейный угол? [Для измерения величин двугранных углов]

5. Зачем доказывается утверждение, что все линейные углы данного двугранного угла равны? Откуда это следует? [Корректность определения величины двугранного угла; следует из равенства углов с сонаправленными сторонами]

6. Как построить линейный угол другим способом?

[Провести плоскость, перпендикулярную ребру двугранного угла]

7. Верно ли, что двугранные углы с соответственно параллельными гранями равны? [Нет, так как их линейные углы – с соответственно параллельными сторонами, то либо они равны, либо в сумме составляют 180°]

8. Что такое прямой двугранный угол? Почему плоскости его граней перпендикулярны? [Угол, величиной 90°. По определению перпендикулярных плоскостей]

9. В каких границах лежит величина двугранного угла?

[φ∈(0; 180°)]

10. Сформулируйте определение угла между плоскостями

[A) Угол между параллельными плоскостями равен 0°. Б) Угол между пересекающимися плоскостями равен величине наименьшего из двугранных углов, образующихся при их пересечении]

У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре.

Величины двугранных углов правильных многогранников:

Название	точный двугранный угол в радианах	приближённое значение в градусах
Тетраэдр	arccos(1/3)	70.53°
Гексаэдр или куб	р/2	90°(точн.)
Октаэдр	р − arccos(1/3)	109.47°
Додекаэдр	2·arctg(ц)	116.56°
Икосаэдр	2·arctg(ц + 1)	138.19°

где ц = (1 + √5)/2 — золотое сечение.

 

 

Анализ этапа введения понятия двугранный угол.

Тема: « Двугранный угол»

Цель: Ввести понятие двугранного угла, дать студентам возможность сформулировать алгоритм построения линейного угла двугранного угла.

Этап введения понятия можно разбить на 9 подэтапов. Работа осуществляется по плану нахождения ответов на вопросы о любом угле : «Как назвать? (определение )» «Как построить?» «Как измерить?»

1. «Мотивация»

Цель: Рассмотреть новый вид углов в стереометрии (в пространстве). Выясняем план работы над новой темой (вопросы учитель выписывает на доске). Ученики настраиваются на работу Устанавливается связь прошлого с новым по линии «единый план».

2. «Связи - проблема»

Цель: Установить связь прошлого материала с новым через прослеживание логической и конструктивной цепочки «углы в геометрии» с выходом на проблему «новый угол в пространстве».Организована практическая работа для актуализации прошлого, мотивированная фразой: «чтобы найти новых...практическую работу проведем». Цели заданий носят подготовительный характер. Ученики работают с моделями плоскостей и прямых, вспоминают определения различных углов и на плоскости и в пространстве. Наглядно (важно в стереометрии видеть фигуру) приходят к выводу, что углы существуют, и значит, их надо охарактеризовать. Используем аналогию (связь) с углом на плоскости.

3. «Практическая работа по построению двугранного угла»

Цель: Преодолеть проблему «стереометрического видения» через практический опыт учеников (наглядно) построить двугранный угол. Выделить характерные признаки угла (граница, 2 полуплоскости). Мотивом служит фраза «Изучим один из этих углов». Работа с классом ведется фронтально по наводящим вопросам учителя. Заполняется таблица «Угол на плоскости - угол на модели».

4. «Работа по изображению двугранного угла»

Цель: Изобразить на бумаге двугранный угол. Ответить на вопрос «Как построить?» Связываем практику с теорией, наглядную фигуру с ее чертежом. Ученики учатся чертить двугр. угол. Учитель дает возможность изобразить двугр. углы, находящиеся у учеников на столах. Далее называют и одновременно изображают основные элементы двугр. угла используя выше заполненную таблицу.

5. «Работа над введением определения»

Цель: Проанализировав ход и результат построения дать имя углу и сформулировать его определение. Мотивом является фраза «Попытайтесь проанализировав... дать имя».Ученики устанавливают логическую связь (через мыслительные операции) практики с теорией. Разрешают первый вопрос плана урока. Учитель выделяет эту запись цветным мелом на доске. Результатом работы также является формулировка темы урока: «Двугранный угол». В тетрадях ученики делают записи темы и определения двугр. угла.

6. «Отвечаем на третий вопрос плана урока»

Цель: Используя практический опыт учеников с помощью известных им чертежных инструментов (транспортира и чертежного треугольника) ответить на вопрос сначала о мере двугранного угла, а потом о способе его измерения. Через постановку проблемы (интрига): «Как использовать транспортир? » задаем мотив деятельности по разрешению вопроса № 3.Ученики работают с моделями и чертежным треугольником. Учитель выполняет все операции параллельно классу.

7. «Введения понятия линейного угла двугранного угла»

Цель: Ответить на вторую часть вопроса о способе измерения двугранного угла.

Организована практическая фронтальная работа, мотивированная вопросом «Как измерить любой двугранный угол?» Уточнив основные действия операции по использованию чертежного треугольника выходим на правило (алгоритм ) построения линейного угла (используем конкретно-индуктивный метод).Вводим вспомогательную схему имени двугр. угла.

8. «Работа с учебником»

Цель: Продолжить рассмотрение свойств линейного угла двугранного угла, используя другой источник информации - учебник. Мотивом этой деятельности стала фраза (вопрос): «Интересно, а зависит ли величина двугр. угла от того какой линейный угол будем строить? » С помощью рисунков в учебнике учащиеся делают вывод о равенстве всех линейных углов двугр. угла. Учитель дает домашнее задание: самостоятельно доказать это утверждение (оно предварительно записывается в тетрадь). Восстанавливая связи с видами линейных углов, приходим к необходимости классифицировать по видам и двугр. углы.

9. «Промежуточное подведение итогов введения понятия двугранный»

Цель: Обобщить все знания полученные на уроке в ходе работы над разрешением вопроса: «Двугранный угол - это.. . Что о нем надо знать?»

«Еще раз вспомним, все ли...» - это мотив этого этапа. В ходе повторения задействуем

слово (вслух повторяем определение, комментируем шаги построения линейного угла двугр. угла)

действие ( изображаем двугр. угол, строим его линейный угол)

зрение (модели лежат на партах, рисунки в учебнике и тетрадях, выделенные цветным мелом вопросы плана исследования двугр. угла)

Работа организована фронтально. На всех этапах использовался поисковый метод:студенты находят связи, актуализируют свои действия, ставятся проблемы, решаемые с помощью практического опыта учащихся.