Законы распределения непрерывных случайных величин

6. Законы распределения непрерывных случайных величин

6.1. Нормальное распределение

Наиболее важным распределением непрерывных СВ является нормальное распределение. Множество явлений в практической жизни можно описать с его помощью, например, высоту деревьев, площади садовых участков, массу людей, дневную температуру и т. д. Оно используется для решения многих проблем в экономической жизни, например, число дневных продаж, число посетителей универмага в неделю, число работников в некоторой отрасли, объемы выпуска продукции на предприятии и т. д.

Нормальное распределение находит широкое применение и для аппроксимации распределения дискретных СВ, например, доходы от определенных видов рискованного бизнеса.

Нормальное распределение иногда называют законом ошибок, например, отклонения в размерах деталей от установленного.

Нормальная СВ имеет плотность распределения:

                (6.1)

где | х<∞, а=М(Х), л=у(Х).

Основные свойства W(x):

а)        W(x)>0 и существует при любых действительных значениях х;

б)        при | х|→∞ limW(x)=0;

в)        W(x=а)=Wmax(x).

г)        W(x) симметрична относительно прямой х=а.

д)        W(x) имеет две точки перегиба, симметричные относительно прямой х=а; с  абсциссами а–л и а+л и ординатами 1/(л√2р).

Формула (6.1) содержит два параметра: математическое ожидание а=М(Х) и стандартное отклонение л=у. Существует бесконечно много нормально распределенных СВ с разными M(Х) и у(X).

Математическое ожидание а характеризует положение кривой распределения на оси абсцисс. Изменение параметра а при неизменном у приводит к перемещению оси симметрии (х=а) вдоль оси абсцисс и, следовательно, к соответствующему перемещению кривой распределения. М(Х)=а иногда называют центрам распределения или параметром сдвига.

Изменение среднего квадратического отклонения при фиксированном значении математического ожидания приводит к изменению формы кривой распределения. С уменьшением л вершина кривой распределения будет подниматься, кривая будет более «островершинной». С увеличением л кривая распределения менее островершинная и более растянута вдоль оси абсцисс.

Одновременное изменение параметров a и л приведет к изменению и формы, и положения кривой нормального распределения.

Условимся о форме записи СВ X~D(X;М(Х),у2), что означает: СВ X подчиняется закону распределения D с математическим ожиданием М(Х) и стандартным отклонением, либо дисперсией у2.

6.2. Стандартное (нормированное) нормальное распределение

Если в формуле (6.1) а=0; л=1, то

=                                        (6.2)

– стандартное (нормированное) нормальное распределение.

Стандартная нормальная СВ обозначается Z~N(X;0,12). Оно табулировано.

Свойства функции ц(z):

а)        функция щ(z) – четная, т. е. щ(z)= щ(–z);

б)        при |z|→∞ W(z)→0; при |z|>5 можно считать, что щ(z)=0. В связи с этим таблицы ограничиваются аргументами z=4 или z=5;

г)        максимальное значение функция щ(z) принимает при z=0.

Любая нормально распределенная СВ может быть преобразована в стандартную (нормированную) нормально распределенную СВ действием:

Z=(X-a)/ л.                                                (6.3)

Обратное преобразование стандартной нормальной СВ Х~N (X;a, л2):

X=a+Z∙л.                                                (6.4)

6.3. Вероятность попадания в интервал нормально распределенной СВ. Интегральная функция Лапласа–Гаусса и ее свойства. Связь нормальной функции распределения с интегральной функцией Лапласа–Гаусса

Если СВ задана плотностью распределения W(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (б, β), определяется:

P(αX).

Если СВ X~N(X; a, л2), то

P(αX)=dx.

Чтобы пользоваться таблицами для вычисления вероятностей, преобразуем X в Z и найдем новые пределы интегрирования. При х=α, z=(α–а)/л; при х=β, z=(β–а)/л, x=a+лz, dx=лdz. Тогда

P(αX)=

Функция вида

                       (6.5)

называется интегралом вероятностей или функцией Лапласа.

       Функция Лапласа в общем виде не берется. Ее можно вычислить одним из способов численного интегрирования. Эта функция табулирована. Пользуясь функцией Лапласа, окончательно получим:

P(αX)=.                                (6.6)

Формула (6.6) называется интегральной теоремой Лапласа.

Свойства Φ0(z):

а) Φ0(z) – нечетная; т. е. Φ0(–z)=-Φ0(z);

б) при z=0 =0;

в) при z→+∞ Φ0(z)→ 0,5; при z→–∞ Φ0(z)→ –0,5. Ф0(4)=0,499997,

Ф0(–4) = –0,499997, т. е. при ⎥z⎥>4 можно считать, что Ф0(z)≈±0,5.

Следовательно, все возможные значения интегральной функции Лапласа-Гаусса принадлежат интервалу (0,5; +0,5).

Итак, функция распределения СВ, подчиняющейся нормальному закону распределения, представленная через функцию Лапласа есть:

F(x)=0,5+Фо[(x–a)/л].                                        (6.7)

Во многих ситуациях может быть рассмотрена задача обратная предыдущей: определение z по заданной вероятности попадания случайной величины в интервал.

7.4. Правило «трех сигм»

Если обозначить (X–a)/у=Z, Д=(X–a)=уZ, то:

P(|X–a|<Zу)=2Ф0(z),                                        (6.8)

где 2Ф0(z) – вероятность того, что отклонение СВ от ее математического ожидания М(Х)=а по абсолютной величине будет меньше z сигм.

Пусть z равно: 1; 2; 3. Пользуясь формулой (6.8) и таблицей интеграла вероятностей, вычислим вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше у, 2у и Зу:

при z=1, Д=у и P(|X–a|< у)=2Ф0(1)=0,6826;

при z=2, Д=2у и P(|X–a|<2у)=2Ф0(2)=0,9544;

при z=3, Д=3у и P(|X–a|<3у)=2Ф0(3)=0,9973.

Вероятность того, что СВ попадет в интервал (а–3у; а+3) равна 0,9973.

Т. е. вероятность того, что отклонение СВ от математического ожидания по абсолютной величине превысит утроенное у, очень мала и равна 0,0027. В этом состоит правило «трех сигм»: если СВ распределена по нормальному закону, то ее отклонение от математического ожидания практически не превышает ±3у.

6.5. Понятие о теоремах, относящихся к группе «центральной предельной теоремы»

В теоремах этой группы выясняются условия, при которых возникает нормальное распределение. Общим для этих теорем является следующее: закон распределения суммы достаточно большого числа независимых СВ при некоторых условиях неограниченно приближается к нормальному.

Познакомимся с содержанием (без доказательства) с одной из теорем.

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых (теорема П. Леви).

Теорема.  Если независимые СВ Х1, Х2,… Хn, имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием а и дисперсией у2, то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы Х1+Х2+…+Хn неограниченно приближается к нормальному.

Теорема Ляпунова. Если СВ Y представляет собой сумму большого числа независимых СВ Y1, Y2,… Yn, влияние каждой из которых на всю сумму равномерно мало, то величина Y имеет распределение, близкое к нормальному, и тем ближе, чем больше п.

Ценно то, что законы распределения суммируемых СВ могут быть любыми, заранее не известными исследователю. Практически данной теоремой можно пользоваться и тогда, когда речь идет о сумме сравнительно небольшого числа СВ. Опыт показывает, что при числе слагаемых около 10 закон распределения суммы близок к нормальному.

Теорема Ляпунова имеет важное практическое значение, поскольку многие СВ можно рассматривать как сумму независимых слагаемых (ошибки измерений, отклонения размеров деталей, распределение числа продаж некоторого товара, валютные курсы и т. д.)

6.6. Показательное (экспоненциальное) распределение

Экспоненциальное (показательное) распределение связано с распределением Пуассона, используемым для вычисления вероятности появления события в некоторый период времени. Распределение Пуассона – это распределение числа появления событий в заданный интервал времени длиной t. Параметр распределения Пуассона л характеризует интенсивность процесса, с его помощью вычисляют среднее число появления события.

Например, в банк в среднем входит пять посетителей в час. Предположим теперь, что вместо числа появления события в заданный промежуток времени нас интересует длина промежутка времени до появления первого посетителя в банке. Такая задача решается при помощи экспоненциального распределения, а не распределения Пуассона.

Другие примеры. Интервалы времени до первого телефонного звонка на станцию, время ожидания такси – подчиняются экспоненциальному закону.

Обозначив среднее значение появления событий в некоторый промежуток времени через л, а время до появления первого события х=t, можно получить дифференциальную функцию экспоненциального распределения:

                                               (6.9)

где х≥0, л>0 – параметр. Функция экспоненциального закона:

       .                                        (6.10)

Числовые характеристики экспоненциально распределенной СВ X: М(Х)=1/л, D(x)=1/л2,σ(x)=1/л.

6.7. Закон равномерного распределения (равномерной плотности)

Если известно, что значения непрерывной СВ принадлежат определенному интервалу, а ее плотность распределения на интервале постоянна, то СВ распределена по равномерному закону.

В равномерном распределении вероятность того, что СВ будет принимать значения внутри заданного интервала, пропорциональна длине этого интервала.

Пусть непрерывная СВ X распределена на интервале (б;в) с равномерной плотностью. Ее плотность W(х) на этом участке постоянна и равна C. Вне этого интервала она равна нулю, так как СВ X за пределами интервала (б; в) значений не имеет. Найдем значение постоянной С. Площадь, ограниченная кривой плотности распределения вероятностей и осью абсцисс, должна быть равна единице, т. е. С(в–б)=1.

Следовательно, С=1/(в–б) и плотность для равномерного распределения:

                                       (6.14)

Функция распределения                                (6.15)

Числовые характеристики равномерно распределенной СВ: М(Х)=(б+в)/2, D(x)=(в–б)2/12, σ(x)=√D(x)=(в–б)/2√3.        

Для непрерывной равномерно распределенной СВ X, заданной на интервале (a<X<b)

P(a<X<b)=(b–a)/(в–б).                                                (6.19)