Методическая разработка.
Задачи на признаки делимости.
,
учитель математики, методист ГБОУ СПО «СПб УОР №2 (техникум)»
С этого учебного года в ЕГЭ по математике входят задания на признаки делимости. В связи с тем, что в программе 10 и 11 классов нет задач на эту тему, и материал изучался давно, необходимо выделить время на повторение признаков делимости и решение типовых задач, предлагаемых в экзаменационных вариантах.
Ученики хорошо помнят признаки делимости на 2, на 5.
Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа 0, 2, 4, 6 или 8.
Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа 0 или 5.
Признаки деления на 3 и на 9 необходимо напомнить.
На 3 или на 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9.
Признаки делимости на 4, на 8, на 11 и на 25 практически никто не помнит. Их необходимо записать в тетрадях и показать на примерах, как их можно применять при выполнении различных упражнений.
На 4 или 25 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4 или 25.
Например, число 12675 делится на 25, но не делится на 4; число 5510224 делится на 4, но не делится на 25.
В число 4 587 94* вставьте вместо звездочки цифру так, чтобы число делилось на 4. В число 124 587 9 * * вставьте вместо звездочек цифры так, чтобы число делилось а) на 4 и на 5; в) на 4 и на 25; с) на 25 и на 3.Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три его цифры образуют число, делящееся на 8.
Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.
Например: число 120 340 528 делится на 11, т. к. 1+0+4+5+8=18, 2+3+0+2=7, а 18-7=11 и 11 делится на 11.
В числа 7 405 *31, 8683*5, 1*8556 вставьте вместо звездочки цифру так, чтобы число делилось на 11.
Для решения заданий, предлагаемых в вариантах ЕГЭ базового уровня необходимо разобрать общий признак делимости на составное число: Пусть a – составное число, являющееся произведением двух взаимно простых чисел b и с: а = bс. Тогда число n делится на а тогда и только тогда, когда n делится и на b, и на с.
Отсюда следует, что на 12 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 4 (но не на 2 и на 6, так как 2 и 6 не взаимно простые числа).
Примеры заданий на признаки делимости чисел из вариантов, представленных на различных сайтах.
Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12.В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 24624
Вычеркните в числе 191284734 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 191844 Вычеркните в числе 51488704 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 54870 Вычеркните в числе 58521304 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 58530 Вычеркните в числе 58521314 две цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 585211 Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 5112 Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого больше 25, но меньше 30. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 7212 Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 4215 Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 132 Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ:221112(Применить признаки делимости на 9 и на 8)
(Применить признаки делимости на 4 и на 8)
Приведите пример трёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: 1) сумма цифр числа А делится на 6; 2) сумма цифр числа А+3 также делится на 6; 3) число А больше 350 и меньше 400. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 369 Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: 1) сумма цифр числа А делится на 8; 2) сумма цифр числа А+2 также делится на 8; 3) число А меньше 3000. В ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 2499Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 600, которое при делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 3 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 3, на 5 и на 7 даёт в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 4 и на 15 даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5?
Признак деления на 3 и на 9. На 3 или на 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9.
Признак делимости на 4 и 25. На 4 или 25 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4 или 25. Например, число 625 делится на 25, но не делится на 4; число 10244 делится на 4, но не делится на 25.
Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три его цифры образуют число, делящееся на 8.
Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.
Например: число 120 340 528 делится на 11, т.к. 1+0+4+5+8=18, 2+3+0+2=7, а 18-7=11 и 11 делится на 11.
Общий признак делимости на составное число: Пусть a– составное число, являющееся произведением двух взаимно простых чисел b и с: а = bс. Тогда число n делится на а тогда и только тогда, когда n делится и на b, и на с.
Отсюда следует, что на 12 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 4 (но не 2 и на 6, так как 2 и 6 не взаимно простые числа).
Например: число 47 184 делится на 12, т.к. оно делится на 3 и на 4.
Примеры заданий на признаки делимости чисел из вариантов, представленных на различных сайтах.
Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 4 и на 15 даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 500, которое при делении на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.Вариант 2
Вариант 3
Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого больше 40, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число. Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример трёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: 1) сумма цифр числа А делится на 6; 2) сумма цифр числа А+3 также делится на 6; 3) число А больше 350 и меньше 400. В ответе укажите ровно одно такое число Приведите пример четырёхзначного натурального числа, кратного 45, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе укажите ровно одно такое число Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2457. Приведите пример такого числа. Ответ: ___________________________.9
свойств делимости.
Чтобы попасть на этот остров, ученики должны сформулировать свойства делимости:
Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.
Обратите внимание, что обратное утверждение: Если сумма делится на какое-то число, то и каждое из слагаемых обязательно делится на это же число - неверно, например, сумма чисел 17 +27 делится на 4, а каждое слагаемое – нет.
Если каждое слагаемое, кроме одного делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.
Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на какое-нибудь число, то и разность разделится на это же число.
Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое - делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это же число.
Если хоть один из множителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.
какие числа делятся на 12? Ответ: на 12 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 4 (но не 2 и на 6, так как 2 и 6 имеют общий множитель).
Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого больше 40, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число. Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Вычеркните в числе 24029618 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите ровно одно получившееся число.Вариант 1
Вариант 2
Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого больше 25, но меньше 30. В ответе укажите ровно одно такое число Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 600, которое при делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 3 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 3, на 5 и на 7 даёт в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример трёхзначного натурального числа большего 500, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: 1) сумма цифр числа А делится на 8; 2) сумма цифр числа А+2 также делится на 8; 3) число А меньше 3000. В ответе укажите ровно одно такое число.Вариант 3
Вариант 4
Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 500, которое при делении на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число. Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 1458. Приведите ровно один пример такого числа Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала координат? Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 4 и на 15 даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
Образовательные:
- Расширить знания о признаках делимости Научить применять полученные знания при решении задач
Воспитательные:
- Продолжить формирование творческого потенциала учащихся Продолжить формирование таких качеств личности как сопереживание, коммуникабельность
Развивающие:
- Способствовать развитию культурной устной и письменной речи учащихся. Развивать навыки рефлексивной и оценочной деятельности обучающихся. Способствовать развитию критического мышления.
