Контрольная работа №2. Непрерывная случайная величина

Контрольная работа №2. Непрерывная случайная величина.

Вариант №4.

1.Плотность вероятности  распределения случайной величины имеет вид . Найти вероятность того, что из 4 независимых случайных величин, распределенных по данному закону, 2 окажутся на интервале (0;∞).

2.Найти вероятность того, что из 140 человек в понедельник родилось от 19 до 23 .

3.Плотность вероятности  распределения случайной величины Х имеет вид  . Найти: 1) значение ; 2) математическое ожидание Х; 3)дисперсию Х; 4) вероятности P[1<X<2],  P[2<X<10].

Контрольная работа №2. Непрерывная случайная величина.

Вариант №5.

1.Плотность вероятности  распределения случайной величины имеет вид . Найти вероятность того, что из 4 независимых случайных величин, распределенных по данному закону, 3 окажутся на интервале (-4;5).

2.Найти вероятность того, что из 160 человек ровно 40 родилось летом.

3.Плотность вероятности  распределения случайной величины Х имеет вид  . Найти: 1) значение ; 2) математическое ожидание Х; 3)дисперсию Х; 4) вероятности P[-1<X<2],  P[1<X<5].

Решение

Контрольная работа №2. Непрерывная случайная величина.

Вариант №4.

№1.

Плотность вероятности указывает, что случайные величины распределены по нормальному закону:

Таким образом, - математическое ожидание и - среднеквадратическое отклонение.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал находится по формуле:

В случае интервала (0;∞) вероятность попадания случайной величины в него будет следующая:

Здесь – значения функции Лапласа, находятся из таблицы значений функции Лапласа. 

Вероятность того, что из 4-х независимых случайных величин, распределенных нормально, 2 окажутся в интервале (0;∞) определяется по формуле вероятности появления независимых событий одновременно и равна произведению вероятностей этих событий.

В нашем случае есть 4 независимых события: А, В – cобытия, при которых случайные величины, распределенные нормально, попадают в интервал (0;∞).

P(A)=P(B)=0,1587

C, D – cобытия, при которых случайные величины, распределенные нормально, не попадают в интервал (0;∞), то есть попадают в интервал (-∞;0).

P(C)=P(D)=1-P(A)=1-0,1587=0,8413

– вероятность того, что из 4-х независимых случайных величин, распределенных нормально, 2 окажутся в интервале (0;∞)

Ответ: 0,0178.

№2.

В данном примере все события являются независимыми, так как рождение человека не зависит от рождения других людей.

Вероятность рождения человека в понедельник равна .

Вероятность того, что из 140 человек в понедельник родилось от 19 до 23, находится по интегральной теореме Лапласа: , где

– вероятность того, что при n независимых испытаниях событие А появится не менее и не более раз. Здесь Ф(x) – функция Лапласа.

,

В нашем случае n=140, , .

Тогда

Таким образом,

Ответ: 0,359.

№3.

Плотность вероятности обладает следующим свойством:

Применим данное свойство для нахождения а.

Математическое ожидание Х определяется по формуле:

В нашем случае,

Дисперсия Х определяется по формуле:

В нашем случае, (как показано выше). Найдем .

Значит, – среднеквадратическое отклонение.

Вероятность P[1<X<2] находится по формуле, указанной в задании №1:

Контрольная работа №2. Непрерывная случайная величина.

Вариант №5.

№1.

Плотность вероятности указывает, что случайные величины распределены по нормальному закону:

Таким образом, - математическое ожидание и - среднеквадратическое отклонение.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал находится по формуле:

В случае интервала (-4;5) вероятность попадания случайной величины в него будет следующая:

Вероятность того, что из 4-х независимых случайных величин, распределенных нормально, 3 окажутся в интервале (-4;5) определяется по формуле вероятности появления независимых событий одновременно и равна произведению вероятностей этих событий.

В нашем случае есть 4 независимых события: А, В, С – cобытия, при которых случайные величины, распределенные нормально, попадают в интервал (-4;5).

P(A)=P(B)=P(С)=0,8185

D – cобытие, при котором случайная величина, распределенная нормально, не попадает в интервал (-4;5).

P(D)=1-P(A)=1-0,8185=0,1815

– вероятность того, что из 4-х независимых случайных величин, распределенных нормально, 3 окажутся в интервале (-4;5)

Ответ: 0,1.

№2.

В данном примере все события являются независимыми, так как рождение человека не зависит от рождения других людей.

Вероятность рождения человека летом равна P=1/4=0,25.

Вероятность рождения человека весной, осенью или зимой Q=1-P=0,75.

Вероятность того, что из 160 человек ровно 40 родилось летом находится по формуле вероятности появления независимых событий одновременно и равна произведению вероятностей этих событий.

Пусть событие А - из 160 человек ровно 40 родилось летом.

Тогда , здесь , …, – независимые события рождения 40 человек летом, ,…, – независимые события рождения 120 людей весной, осенью или зимой.

Таким образом,

Ответ:

№3.

Плотность вероятности обладает следующим свойством:

Применим данное свойство для нахождения а.

Математическое ожидание Х определяется по формуле:

В нашем случае,

Дисперсия Х определяется по формуле:

В нашем случае, (как показано выше). Найдем .

Значит, – среднеквадратическое отклонение.

Вероятность P[1<X<2] находится по формуле, указанной в задании №1:

Будем также применять при решении свойство нечетности функции Лапласа: Ф(-x)=-Ф(x)