Задания

1-й уровень

1. Задано уравнение sin x = – 1. Выберите правильное утверждение.

А. х = 0 является корнем данного уравнения.

Б. х = является корнем данного уравнения.

В. Все корни данного уравнения можно записать в виде х = – + 2πk, где k — любое целое число.

Г. Все корни данного уравнения можно записать в виде х = π + 2πk, где k — любое целое число.

2. Выберите правильное утверждение относительно существования и количества корней уравнения cos х = a.

А. Уравнение cos х = не имеет корней.

Б. Уравнение cos х = может иметь корни.

В. Одним из корней уравнения cos х = является x = 0.

Г. Уравнение cos х = имеет бесконечное количество корней.

3. Чтобы решить уравнение 4sin2 x – 3 sin x – 1 = 0, сделали замену sin x = t. Укажите уравнение, которое получили после этой замены.

А. 4t2–3t–1=0.

Б. 4t2–t–1=0.

В. t2–3t–1=0.

Г. 4t2–3t=0.

2-й уровень

4. Известно, что соs = соs = . Учитывая, что 0 ≤ arcсоs a ≤ π, отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

А. аrcсоs = .

Б. аrcсоs — это число из промежутка [0; π], косинус которого равен .

В. аrcсоs = –.

Г. аrcсоs — это любое число, косинус которого равен .

5. Задано уравнение 2tg х = –6. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

А. Все корни заданного уравнения можно записать так:
x = arctg (–3) + 2πn, где n — любое целое число.

Б. Все корни заданного уравнения можно записать так:
x = arctg 3 + πn, где n — любое целое число.

В. Все корни заданного уравнения можно записать так:
x = arctg (–3) + πn, где n — любое целое число.

Г. Заданное уравнение имеет бесконечное количество корней.

6. Чтобы решить уравнение 4sin2 x – 7sin x – 2 = 0, выполнили замену sin x = t. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

А. После замены получили уравнение 4t2 – 7 t – 2 = 0.

Б. Корнями заданного уравнения являются только корни уравнения sin x = – .

В. При t = 2 уравнение sin x = t имеет корни.

Г. Полученное уравнение относительно t имеет корни t1 = 2, t2 = –.

3-й уровень

7. Задано уравнение 2cos2 x + 7sin x + 2 = 0. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

А. Все корни заданного уравнения можно записать так:
x = (–1)n + πn, где n∈Ζ.

Б. Заданное уравнение равносильно уравнению sin x = –.

В. Заданное уравнение можно свести к квадратному заменой sin x = t.

Г. Заданное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением.

8. Задано уравнение sin2 x + sin x cos x – 2cos2 x = 0. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

А. Корни уравнения cos x = 0 могут быть корнями заданного уравнения.

Б. Заданное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением.

В. Одним из корней заданного уравнения является число arctg(–2).

Г. Если разделить обе части заданного уравнения на cos2 x ≠ 0, то получим уравнение, равносильное заданному.

9. Задано уравнение = 0. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

А. Областью определения переменной в заданном уравнении является х ≠ π + 2πm, m∈Z.

Б. Все числа х = , k∈Z являются корнями заданного уравнения.

В. Все корни заданного уравнения можно записать так:
x = + , n∈Ζ, х = , где k ≠ 3 + 6m, m∈Ζ.

Г. Корнями заданного уравнения будут только те корни уравнения sin 3x соs 2х = 0, которые входят в область определения заданного уравнения.

4-й уровень

10. Задано уравнение 5sin x – 12cos x = 13. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

А. Заданное уравнение можно свести к виду sin (x + φ) = 1,
где φ — некоторое число.

Б. На промежутке [0; π] заданное уравнение имеет два корня.

В. Заданное уравнение можно свести к однородному тригонометрическому уравнению 10sin cos – 25cos2 – sin2 = 0.

Г. Заданное уравнение равносильно уравнению tg2 + 10tg + 25 = 0.

11. Задана система тригонометрических уравнений

Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

А. Заданную систему можно свести к равносильной системе:

Б. Все решения заданной системы можно записать так:

В. Одним из решений заданной системы является .

Г. Заданную систему можно свести к равносильной системе:

12. Задано неравенство 8sin2 x – 4 > 0. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

А. Заданное неравенство можно свести к равносильному неравенству: < .

Б. Все решения заданного неравенства можно записать так:
< x < , n∈Ζ.

В. Заданное неравенство можно свести к равносильному неравенству: cos 2x < 0.

Г. Все решения заданного неравенства можно записать так:
< x < или < x < , k∈Ζ.