, д-р физ.-мат. наук

Югорский НИИ информационных технологий

(Россия, 628011, Ханты-Мансийск, ул. Мира, 151),

, *****@***ru

,

Югорский гос. университет

(Россия, 628011, Ханты-Мансийск, ул. Чехова, 16),

, *****@***ru

Югорский гос. университет

(Россия, 628011, Ханты-Мансийск, ул. Чехова, 16),

, *****@***ru

Численное восстановление плотности в обратной динамической задаче методом граничного управления

Приведены результаты численных экспериментов решения дискретного аналога обратной динамической задачи для волнового уравнения: восстановление плотности неоднородной мембраны по данным волновой томографии.

Прямая и обратная задача. Пусть - ограниченная, односвязная область в с границей Обозначим через решение начально-краевой задачи для волнового уравнения

               (1)

где - плотность (предполагается кусочно-гладкой), - нормальная производная (управление). Отображение определенное равенством

называется оператором реакции. Известно, что оно ограничено в [1].

Обратная задача состоит в определении плотности по оператору реакции при достаточно большом точнее при - оптический диаметр области При этом волны, возбужденные всевозможными граничными источниками из к финальному моменту заполнят всю область Следуя терминологии метода граничного управления (BC - метод; [2,3]) функцию

будем называть состоянием. В основе BC-метода лежит следующее равенство, связывающее управления и состояния:

где

а симметричная билинейная форма явно выражается через

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Известно, что при достаточно больших задача граничного управления

               (2)

разрешима в [4]. Если - произвольная гладкая гармоническая функция в , то равенство (2) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется граничное равенство

               (3)

где функционал определяется функцией по формуле

Восстановление плотности может быть реализовано по следующей схеме, предложенной в [5].

1. Для всевозможных гладких гармонических функций решается задача граничного управления (3). Тем самым определяются управления такие, что

2. Тогда для восстановления плотности получаем уравнение

где - произвольные гладкие гармонические функции. Поскольку множество всевозможных произведений образует плотное множество в то плотность однозначно восстанавливается из последнего уравнения.

Подчеркнем, что при этом решение обратной задачи достигается с помощью двух линейных процедур.

Прямая и обратная задача в дискретной постановке. Численные эксперименты. Описанная выше схема использовалась для решения обратной динамической задачи, которая получается в результате проектирования прямой задачи (1) на конечномерное подпространство со стандартными базисными функциями метода конечных элеменов. В круге выбиралась нерегулярная сетка треугольников Делоне, решение прямой задачи раскладывалось по стандартным кусочно-линейными базисным функциям FEM :

где - узлы триангуляции. Метод Галеркина сводит исходную прямую задачу к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

               (4)

где

После решения задачи на собственные значения

где - диагональная матрица собственных значений, решение задачи Коши выписывается в явном виде.

При проведении расчетов использовались следующие управления

где - смещенный прямоугольный импульс на шаг - кусочно-линейные функции на граничной окружности, причем и в остальных граничных узлах. В дальнейшем управления нумеруются единым индексом где - количество базисных управлений.

Восстановление плотности по рассчитанным решениям прямой задачи  на множестве граничных узлов (

проводилось по схеме, близкой к описанной выше схеме решения обратной задачи в непрерывной постановке. При этом использовалась кусочно-постоянная модель плотности (в каждом треугольнике - константа). Алгоритм решения обратной задачи в дискретной постановке состоял в следующем:

1. Рассчитывались сеточные "гармонические функции" где - количество граничных узлов:

где векторы - могут быть произвольными линейно-независимыми граничными векторами (их компоненты равны нулю во внутренних узлах), удовлетворяющих условию разрешимости задачи Неймана В работе выбиралось

где а точки задавались на близкой к окружности, большего радиуса.

2. Для каждой решалась задача граничного управления

               (5)

относительно управлений . Как и в непрерывном случае, эти уравнения эквивалентны уравнениям, использующим только данные обратной задачи (состояния в обратной задаче неизвестны). Можно показать, что (5) выполняется тогда и только тогда, когда управление удовлетворяет линейному уравнению,

               (6)

где билинейная форма явно выражается через данные обратной задачи

и условию

               (7)

Во всех рассмотренных численных экспериментах задача граничного управления решалась с хорошей точностью. Точнее, в результате решения системы линейных уравнений (относительно коэффициентов разложения ), получающихся из (6), когда пробегает базисные управления с условими (7)

находились управления . Вычисленные по ним состояния отличались от в относительной норме на величины порядка менее .

3. Как и в случае непрерывной постановки BC - метод приводит к равенству

где правая часть явно вычисляется через данные обратной задачи. Подставляя сюда и заменяя на для нахождения значений плотности в каждом треугольнике получаем систему уравнений

               (8)

Фактически, это система линейных алгебраических уравнений с матрицей размерности Количество управлений выбиралось так, чтобы соблюдалось условие В приведенных ниже примерах эта система решалась с помощью алгоритма псевдообращения Мура-Пенроуза. Ниже приведены графические результаты численных экспериментов восстановления плотности. На рисунках слева представлена модель, справа – результат реконструкции. Величина означает относительную среднеквадратическую погрешность.

Рис. 1. Модель с одним включением.

Рис. 2. Результат восстановления, 4,5%

Рис. 3. Два включения.

Рис. 4. Результат восстановления, 6,7%

Рис. 5. Исходная модель плотности.

Рис. 6. Результат восстановления,

Рис. 7. Модель с четырьмя включениями.

Рис. 8. Результат восстановления,

Численные эксперименты показали, что первая задача - задача граничного управления при достаточно большом и достаточно большом количестве управлений решается с хорошей точностью. Качество решения второй задачи - восстановление распределения плотности из (8) зависит от ранга матрицы

Список литературы

1. Lasiecka I., Lions J-L. and Triggiani R. Non homogeneous boundary value problems for second order hyperbolic operators. J. Math. Pures Appl. 65 (1986). p. 149-192.

2. , Благовещенский обратные задачи теории волн. Изд-во Санкт-Петербургского университета, (1999), 265 с.

3. Belishev M. I. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BC-method). Inverse Problems, 13 (1997), R1-R45.

4. Bardos C., Lebeau G. and Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observation control and stabilization of the waves from the boundary. SIAM J. Contr. Opt., 30 (1992), p. 1024-1065.

5. Pestov L. N. On reconstraction of the speed of sound from a part of boundary. Journal of inverse and ill-posed problems, 1999, n 5, v. 7, pp. 481-486, Netherland.